2020届天津市南开区九年级数学中考压轴题练习(2)有答案(已审阅)

1、/九年级数学中考综合题 30 题1 .如图，在4ABC中，以AB为直径的。O分别于BC,AC相交于点D,E,BD=CD,过点D作。的切线交边 AC于点 F(1)求证：DH AQ的长(结果保留兀)(2)若。的半径为5, /CDF=30 ,求2 .如图，AB是。的直径，/ BAC=90 ,四边形EBO%平行四边形，EB交。于点D,连接CD并延长交AB 的延长线于点F(1)求证：CF是。的切线；(2)若/ F=30。，EB=4,求图中阴影部分的面积(结果保留根号和兀)/3 .如图，AB是。的直径，AD是。的弦，点F是DA延长线的一点，AC平分/ FAB交。于点C,过点C 作CH DF,垂足为点E.(

2、1)求证：CE是。的切线；(2)若 AE=1, CE=2,求O。的半径.4 .如图，AB为。的弦，若 OAL OD,AB OD相交于点 C,且CD=BD.(1)判定BD与。的位置关系，并证明你的结论；(2)当OA=3 OC=1时，求线段 BD的长.5 .如图，A呢0O勺直径，弦CCL A叶点E,点P在。Ok, / 1 = Z BCD(1)求证：CB/ PD(2)若 BC=3 sin /BPD=0.6,求O O勺直径.6 .如图，已知 AB是。的直径，AC是弦，点P是BA延长线上一点，连接 PC, BC. / PCA= / B (1)求证：PC是。的切线；( 2)若 PC=6 ， PA=4 ，求

3、直径 AB 的长7 .已知P是。外一点，PO交。于点C, OC=CP=2弦AB，OC / AOC勺度数为60° ,连接 PB.(1)求BC的长；(2)求证：PB是。的切线.8 .如图，RtAABC中，/ ABC=90 °,以AB为直径作半圆。交AC与点D,点E为BC的中点，连接DE.(1)求证：DE是半圆。O的切线.(2)若/ BAC=30 °, DE=2,求 AD 的长.9 .如图，在矩形 ABCM, AB=88 AD=122过点 A D两点的。与BC边相切于点E,求。的半径.10.如图，在。中，半径O4 OR过点OA的中点C作FD/ OB交。于D F两点，且C

4、D=,以。为圆心，OE半径作(1)求。O的半径OA的长;2)计算阴影部分的面积11 .如图，AB是以BC为直径的半圆 。的切线，D为半圆上一点，AD=AB AD, BC的延长线相交于点 E. (1)求证：AD是半圆。的切线；(2)连结 CD，求证：/ A=2/ CDE的长.(3)若/ CDE=27 , OB=2 求12 .如图，O。是 ABC的外接圆，圆心 O在这个三角形的高 AD上,AB=10, BC=12. 求。O的半径.13 .如图，。0的直径AB的长为10,弦AC的长为5, / ACB的平分线交。O于点D.1）求 BC 的长；（2 ）求弦BD 的长 .14 .如图，O O的半径OD，弦

5、AB于点C,连结AO并延长交。O于点 巳 连结EC.若AB=8, CD=2,求 EC 的长15如图，四边形 ABCDJ接于。，点E在对角线AC上，EC=BC=DC(1)若/ CBB39。，求/ BAD的度数；(2)求证：/ 1 = /2。16. (1)如图1,将直角的顶点E放在正方形ABCDJ对角线AC±,使角白一边交CDF点F,另一边交C城其延 长线于点G,求证：EF=EG(2)如图2,将(1)中的“正方形 ABCD改成“矩形ABCD ,其他条件不变.若 AB=m BC=n,试求EF:EG 的值；( 3 分)(3)如图3,将直角顶点EM在矢I形ABCD勺对角线交点，EF、EGiJ交

6、CDWCB点F、G,且ECF分/ FEG若 AB=2, BC=4 求 EG EF 的长.17 .将正方形ABCD：在如图所示的直角坐标系中，A点的坐标为(4,0),N点的坐标为(3,0) , MNF行于y轴，弱BC勺中点，现将纸片折叠，使点湍在MNt,折痕为直线EF.(1)求点G勺坐标；(2)求直线£用勺解析式；(3)设点 以直线EF上一点，是否存在这样的点P,使以P, F, G的三角形是等腰三角形？若存在，直接写出P点的坐标 ; 若不存在，请说明理由 .18 .如图，在矩形 ABC冲，B (16,12) , E, F分别是OC, BC上的动点，EC+CF=8.(1)当/ AFB=6

7、0时， ABF&着直线AFW叠，折叠后，落在平面内 G点处，求G点的坐标.(2)当F运动到什么位置时， AEF勺面积最小，最小为多少 ？ 当AAEFF勺面积最小时，直线 EF与y轴相交于点M, P点在x轴上，。内直线EFf切于点 求P点的坐标.19 .如图,在RtAB阱,/ B=90° ,AC=60cm,/A=60° ,点 W点C出发沿CAT向以4cm/秒的速度向点 A匀速运 动，同时点EM点AH发沿A昉向以2cm/秒的速度向点B匀速运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也随之 停止运动.设点D、E运动的时间是t秒(0Vt W 15).过点DDF, BCF点F,连接

8、DE, EF.( 1)求证：AE=DF；(2)四边形AEF帷够成为菱形口马?如果能，求出相应的t值，如果不能，说明理由；(3)当t为何值时，4DE叨直角三角形？请说明理由.20 .已知，四边形ABC诞正方形，/ MAN= 450,它的两边，边 AM A曲另1J交CB DCf点M N,连接MN作AH LMN垂足为点H(1)如图1,猜想AHWABW什么数量关系？并证明；(2)如图 2,已知/ BAC =45o, AD±BCF点 D,且 BD=2 CD=3 求AD勺长.小萍同学通过观察图发现， AB丽4AH集于AM寸称， AHtf口 ADN于AN寸称，于是她巧妙运用这个发现，将图形如图进行

9、翻折变换，解答了此题。你能根据小萍同学的思路解决这个问题吗？21 .两块等腰直角三角形纸片 AO*口 CO或图1所示放置，直角顶点重合在点。处，AB=25, CD=17保持纸片AO环动，将纸片CO璘点。逆时针旋转a ( 0° <a<90° )角度，如图2所示.(1)利用图 2 证明 AC=BD1 AC! BD;(2)当BD与CD在同一直线上(如图 3)时，求AC的长和a的正弦值.22 .如图，抛物线y=ax2+bx-5(a w 0)经过点A(4,-5),与x轴的负半轴交于点B,与y轴交于点C,且OC=5OB抛物线的顶点为D；1)求这条抛物线的表达式；(2)联结A

10、B BC CD DA求四边形ABCD1面积；(3)如果点E在y轴的正半轴上，且/ BEOh ABC求点E的坐标;23 .在平面直角坐标系 xOy中，抛物线y=ax2+bx+2过B ( - 2, 6) , C (2, 2)两点.( 1)试求抛物线的解析式；记抛物线顶点为 D,求 BCD的面积；(3)若直线y= - 0.5x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC(包括端点 B C)部分有两个交点,求 b 的取值范围24 .如图，已知一次函数y=0.5x+1的图象与x轴交于点 A与y轴交于点B;二次函数y=0.5x 2+bx+c的图象 与一次函数y=0.5x+1的图象交于 B C两点，与x轴交于

11、 D E两点且D点坐标为(1 , 0).(1)求二次函数的解析式；(2)求四边形BDEC勺面积S;(3)在x轴上是否存在点 P,使得 PBC是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点P,若不存在，请说明理由.25 .已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(-1 , 0),B(5 , 0),与y轴交于C(0, 3).直线y=x+1与抛物线交于 A、E两点，与抛物线对称轴交于点D.(1)求抛物线解析式及 E点坐标；(2)在对称轴上是否存在一点M使ACMK1等腰三角形？若存在，请直接写出M点坐标；若不存在，请说明理由.(3)若一点P在直线y=x+1上从A点出发向AE方向运动，速度为单位/

12、秒，过P点作PQ/y轴，交抛物线于 Q点.设时间为t秒(0wtw6), PQ的长度为L,找出L与t的函数关系式，并求出PQ最大值.26 .如图，已知在平面直角坐标系中，点A (4, 0)是抛物线y=ax2+2x-c上的一点，将此抛物线向下平移6个单位后经过点B (0, 2),平移后所得的新抛物线的顶点记为C,新抛物线的对称轴与线段 ABW交点记为P.(1)求平移后所得到的新抛物线的表达式，并写出点CW坐标；(2)求/ CAB勺正切值；(3)如果点Q是新抛物线对称轴上的一点，且BCQT AC相似，求点 Q勺坐标.27 .如图，已知抛物线与 x轴交于A(T, 0)、B (5, 0)两点，与y轴交于

13、点C ( 0, 5).( 1)求该抛物线所对应的函数关系式；(2) D是笫一象限内抛物线上的一个动点(与点C、B不重合)，过点 D作DF，x轴于点F,交直线BC于点E,连结BD CD.设点D的横坐标为 m, BCD勺面积为S.求 S 关于 m 的函数关系式及自变量m 的取值范围；当m为何值时，S有最大值，并求这个最大值；直线BC能否把 BDF分成面积之比为2: 3的两部分？若能，请求出点 D的坐标；若不能，请说明理由.28.对于某一函数给出如下定义：若存在实数p,当其自变量的值为 p时，其函数值等于 p,则称p为这个函数的不变值.在函数存在不变值时，该函数的最大不变值与最小不变值之差q称为这个

14、函数的不变长度.特别地，当函数只有一个不变值时，其不变长度q为零.例如：下图中的函数有 0,1两个不变值，其不变长度q等 于1.(1)分别判断函数y=x-1 , y=x-1,y=x 2有没有不变值？如果有，直接写出其不变长度；(2)函数 y=2x2-bx.若其不变长度为零，求b的值；若1w b< 3,求其不变长度q的取值范围；(3) 记函数y=x2-2x(x >m)的图象为G,将G沿x二m翻折后得到的函数图象记为G,函数G的图象由G和G两部分组成，若其不变长度q满足0wqw 3,则m的取值范围为 .29 .如图，直线y=0.5x与抛物线y=ax2+ b(a丰0)交于点A(-4,-2

15、)和B(6,3),抛物线与y轴的交点为C.(1)求这个抛物线的解析式；(2)在抛物线上存在点 M使 MABI以A时底边的等腰三角形，求点 M勺坐标；(3)在抛物线上是否存在点 P,使彳PAC勺面积是 ABC勺面积的四分之三？若存在，求出此时点P的坐标;若不存在，请说明理由.30 .如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 y=x2+bx+c过A, B, C三点，点A的坐标是(3,0)，点C的坐 标是(0,-3),动点P在抛物线上.(1) b =, c =，点B的坐标为；(直接填写结果)(2)是否存在点P,使彳ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，说

16、明理由；(3)过动点P作PE垂直y轴于点E,交直线AC于点D,过点D作x轴的垂线.垂足为 F,连接EF,当线段EF的长度最短时，求出点 P的坐标.参考答案1. (1)证明：连接OD如图所示.DF 是。的切线，D 为切点，ODL DF,，/ ODF=90 . BD=CD OA=OB OD> ABC的中位线，OD AC, ./ CFDW ODF=9O ,DF± AC.(2)解：. / CDF=30 ,由(1)得/ ODF=9O，/ ODB=180 - / CDF- / ODF=60 .的长. OB=OD .OB比等边三角形，BOD=60 ,2. (1)证明：如图连接 OD四边形 O

17、BE提平行四边形，OC/ BE,，/AOCh OBE / COD= ODB OB=OD / OBD= ODB / DOCW AOC,.CO星 COA在 CODF 口 4COA中, /CAOh CDO=90 , . CFL OD，CF 是。的切线.(2)解：. / F=30° , / ODF=90 , . . / DOFh AOCW COD=60 ,. OD=OB .OB/等边三角形， ./ DBO=60 , /DBOh F+/FDB / FDBW EDC=30 ,. EC/ OR .1- / E=180° / OBD=120 , ./ ECD=180 - Z E- / ED

18、C=30 ,. EC=ED=BO=DBEB=4,. OB=ODOA=Z 在 RTA AOO43,OAC=90 , OA=Z / AOC=60 , AC=OAtan60 °=2X2X S 阴=2?SaAOC- S 扇形 oa=2X3. （ 1 ）证明：连接CO，=2OA=OC / OCAW OAC. AC平分/ FAR/ OCAh CAE . . OC/ FD,. CE DF, . OCL CE. CE是。的切线；(2)证明：连接 BC在RtACE中，AC=. AB是。的直径， ./ BCA=90 , .BCA=Z CEA / CAEW CAB ABS ACE，AB=5,AO=2.5,

19、即。的半径为 2.5 .4.证明：连接OR OA=OB CD=DB / OACW OBC / DCBW DBC /OAC廿 ACO=90 , / ACOh DCB，/ OBC廿 DBC=90 .OE BD.即BD是。的切线.(2) BD=4.5. (1)证明：/ D=Z 1, Z 1=Z BCD -1 / D=Z BCD CB/ PD;(2)解：连接 AC, .”呢OO勺直径，ACB=90 , CDL AB, 弧 BD哪 BC, . . / BPDW CAB .sin / CAB=sin/BPD=,BC=3) .AB=5,即。O勺直彳5是5.6. (1)证明：连接OC如图所示：.AB是。的直径

20、，ACB=90 ,即/ 1 + /2=90° ,. OB=OC -1 Z 2=Z B,又. / PCAh B, / PCA至 2, / 1 + /PCA=90 ,即 PCXOC，PC是。的切线； (2)解：: PC是。O的切线，PC2=PA?PB,.62=4XPB,解彳导:PB=qAB=PB- PA=9 4=5.7. (1)解：如图，连接 OBAB± OC / AOC=60 , . OAB=30 , OB=OA / OBAh OAB=30 ,/ BOC=60 ,. OB=OC .OBC勺等边三角形，BC=OC 又 OC=2 . . BC=2;(2)证明：由(1)知， OBC

21、勺等边三角形，则/ COB=60 , BC=OCOC=CP BC=PC / P=/ CBP又. / OCB=60 , / OCB=2/ P, .P=30° , . . / OBP=90 ,即 OBL PB.又OB是半径，PB是。的切线.8.1 ）证明：连接 OD OE BD,. AB为圆 O的直径， ./ ADB=/ BDC=90 , 在RtBDC中,E为斜边BC的中点，DE=BE在 OBE和 ODE中,.OB监 ODE(SSS ,，/ODEh ABC=90 ,贝U DE为圆O的切线;AC,(2)在 RtABC中，/ BAC=30 ,BC= BC=2DE=4 .1. AC=3又/ C

22、=60° , DE=CE. DEC为等边三角形，即 DC=DE=2则AD=AO DC=69.解：连接OE,并反向延长交 AD于点F,连接OA BC是切线，Oa BC,/ OEC=90 ,四边形 ABC虚矩形，/ C=Z D=90° , .四边形 CDFE矩形,EF=CD=AB=8 OF±AD,AF=AD=12=6,设。的半径为x,则OE=EF OE=8- x,在 RtOAF中，OP+AP=OA,贝U (8x) 2+36=x2, 解得：x=6.25 , .,.O O 的半径为：6.25 .10.解；（1）连接OD OU OR/ AOB=90 , CD/ OR / O

23、CD=90 ,在 RTA OC邛， C是 AO中点，CD=, . OD=2CO 设 OC=x.x2+ () 2= (2x) 2,x=1, OD=2 O O的半径为 2.(2) sin /CDO=CDO=30 , FD/ OR .1 / DOBW ODC=30 ,S 圆二Sa CDO+S扇形 OBD S 扇形 OC=11. (1)证明：连接OR BQ. AB是。的直径，AB± BC,即 / ABO=90 , AB=AD . - Z ABD=/ ADB OB=OD / DBOW BDO / ABD吆 DBOW ADB吆 BDQ/ADOh ABO=9O ,. AD是半圆 O的切线；(2)证

24、明：由(1)知，/ ADOh ABO=90 ,/ A=360° - / ADO / ABO / BOD=180 - / BOD. AD是半圆 O的切线， ./ ODE=90 , . ODC+CDE=90 ,. BC是。的直径， / ODC廿 BDO=90 , . . / BDOh CDE / BDOh OBD / DOC=2 BDQ / DOC=2 CDE，/ A=Z CDE(3)解：. / CDE=27 ,DOC=2CDE=54 , / BOD=180 54° =126° ,OB=2的长12.答案：6.25.13. （ 1）2)14.15.言 3 11解：二 J

25、'/ZBkC=ZCDB=39* ， ZCA0=ZCB>39 * ，:1cL,口=1。* 3中* =76 112) .EC=KC.匚EE - h匚EE而 JCEE$?一上BAE iiC5E-l-CBD Z-EfiE=l-C5LTVZBAt=CBD.'121 = W ：.16.17.18 .略19 .解：(1)证明：二.直角 ABGh / 0=90° - Z A=30° . CD=4t, AE=2t,又在直角 CD冲，/ 0=30° ,. DF=0.50D=2t, . DF=AE解：(2) DF/ AB DF=AE，四边形AEF/平行四边形，当A

26、D=AE寸，四边形AEFD菱形,即60-4t=2t ,解得：t=10 ,即当t=10时，？AEFD菱形; (3)当t=7.5时ADE思直角三角形(/ EDF=90 );当t=12时， DEF直角三角形(/ DEF=90 ).理由如下：当/ EDF=90 时,DE/ BC./ ADE4 0=30°AD=2AE CD=4t, . . DF=2t=AE, . . AD=4t, . 4t+4t=60 , . . t=7.5 时，/ EDF=90 .当 / DEF=90 时，DE! EF,二.四边形 AEFDI平行四边形，. AD/ EF,. DE± AQ， AD屋直角三角形，/ A

27、DE=90 ,/ A=60° , . . / DEA=30 ,. AD=0.5AE,AD=AO CD=60- 4t , AE=DF=0.5CD=2t,，604t=t ,解得 t=12 .综上所述，当t=7.5时ADE思直角三角形(/ EDF=90 );当t=12时，ADE屈直角三角形(/ DEF=90 )20. ( 1)答：AB=AH.证明：延长 CE或BE=DN连结AE.四边形 ABCD1正方形, ./ ABC=/ D=90° , . . / ABE=180 / ABC=90又,AB=AD. ABEiAEN(SAS)/ 1 = /2, AE=AN . / BAD=90 , / MAN=45 . . /