2020-2021学年内蒙古高考数学一模试卷(理科)及答案解析

1、内蒙古高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共 12小题，每小题5分，共6分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 .若集合 M= 2, - 1, 0, 1, 2, N=x|/x- li<1,则 MAN 等于（）A. 1 B. 0, 1 C. 1, 2D. - 2, - 1, 0, 12 .复数z=- 3+ （1+i） 2在复平面内对应的点在（）A.第一象限B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3 .下列函数中，不是偶函数的是（）A. y=1 - x2B. y=tanxC. y=cos2x D. y=3x+3 x224.双曲线 L -工=1的左焦点到右顶点的距离为

2、（）45A. 1B. 2 C. 4 D. 55 .已知变量x与y线性相关，且由观测数据算彳#样本平均数分别为x=4, y =3,则由该观测数据算得的线性回归方程不可能是（）-4A. y =0.2x+2.2 B, y| =0.3x+1.8C. y =0.4x+1.4 D. y =0.5x+1.26 .若变量x、y满足约束条件则z=4x+y的最大值为（）LA. - 8 B. 10 C. 12D. 157 .某几何体的三视图如图所示.则该几何体的体积等于（）B2C- D 3兀8 .在 ABC中，a, b, c 分别为内角 A, B, C 的对边，3cosA-cos （ B+Q =1, a巾区，B=-

3、,则b等于（）A. . i B. 3C. 2 , D.二9 .执行如图所示的程序框图，若输入n=10,则输出的S=（）A.5n.B.2021C.1021D.101110.已知函数 f (x) =2sin (收+4) (0. | 4|v2）的图象如图所示，则函数y=f (x) +=的对称中心坐标为（）2 万 3A. （yk-T,飞）（kC Z）Li 四位C.（吊兀+一不）（kCZ）3兀2B. （3kL 二丁，一）（kC Z）2耳）d）11.设“为锐角，则tan a> 2”是tan2 a< 0” 的(A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件1门行112

4、.若直线y=a与函数y=|一1|的图象恰有3个不同的交点，则实数Dd1Ta的取值范围为（二、填空题（本大题共 4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡中的横线上）13 .设；与石的夹角为60。，且百=26, ibl=/j,则W%=.14 . （1-%） 7的展开式中x2的系数为.15 .过原点且与直线.平行的直线l被圆所截得的弦长为.16 .在底面为正方形的四棱锥 S-ABCD中，SA=SB=SC=SD异面直线 AD与SC所成的角为60°, AB=2,则四棱锥S- ABCD的外接球的表面积为.三、解答题（本大题共 5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17

5、.设S为等比数列4的前n项和，a1二1, a2=3.（1）求 an, Sn；（2）若a3, Sn+5, %成等差数列，求n的值.18 .为调查了解某药物使用后病人的康复时间，从1000个使用该药的病人的康复时间中抽取了24个样本，数据如下图中的茎叶图（单位：周） .专家指出康复时间在 7周之内（含7周）是快 效时间.（1）求这24个样本中达到快效时间的频率；（2）以（1）中的频率作为概率，从这 1000个病人中随机选取 3人，记这3人中康复时间达到 快效时间的人数为 X,求X的分布列及数学期望.01223S667891 0 1223 44 5 672 0 11219.如图，在四棱锥 A- EF

6、CB中，4AEF为等边三角形，平面 AEF，平面EFCB BC=4, EF=2,四边形EFCB是高为 右的等腰梯形，EF BC,。为EF的中点.(1)求证：AOXCF;(2)求二面角 F- AE- B的正弦值.怖 X11 ly-/八 / 。I /工L 1,20.设椭圆工T=1 (a>b>0)的离心率为且左焦点在抛物线 y2=4/5x的准线上./ / 2(1)求椭圆的方程；(2)若在y轴上的截距为4的直线l与椭圆分别交于 A, B两点，O为坐标原点，且直线 OA,OB的斜率之和等于 2,求直线AB的斜率.9x21 .已知函数 f (x) =-T (a>0).227：(1)若a&

7、gt;,且曲线y=f (x)在点(2, f (2)处的切线的斜率为-,求函数f (x)的单 3调区间；9+1 nit(2)求证：当 x> 1 时，f (x) >281 4-1请考生在22、23、24三题中任选一题作答，选彳4-1 :几何证明选择22 .如图，圆O的直径AB=8,圆周上过点 C的切线与BA的延长线交于点 E,过点B作AC的平 行线交EC的延长线于点P.(1)求证：bc2=ac?bp；(2)若EC=2?后，求EA的长.一1 v "Mr选彳4-4 :坐标系与参数方程比二一 4H523 .已知直线l的参数方程为I(t为参数)，在直角坐标系xOy中，以。为极点，x产

8、3t - 1轴正半轴为极轴建立坐标系，圆N的方程为p2- 6psin0 = -8.(1)求圆N的直角坐标方程；(2)判断直线l与圆N的位置关系.选彳4-5 :不等式选讲24 .设函数 f (x) =|x - a|+|x- 2|.(1)当a=2时，求不等式f (x) w 14的解集；(2)若f (x) > a2对xCR恒成立，求实数a的取值范围.参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 12小题，每小题5分，共6分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的）1 .若集合 M= 2, - 1, 0, 1, 2, N=x|/x- 11<1,则 MAN 等于（）A. 1 B. 0

9、, 1 C. 1, 2D. - 2, - 1, 0, 1【考点】交集及其运算.【分析】解不等式求出集合N,结合已知中集合 M,和集合的交集运算，可得答案.【解答】解：.集合 M=-2, -1,0, 1, 2, N=x|/x- 1|<1=1, 2）,.MnN=1,故选：A2 .复数z=- 3+ （1+i） 2在复平面内对应的点在（）A.第一象限B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义.【分析】直接由复数代数形式的乘法运算化简复数z,求出复数z在复平面内对应的点的坐标,则答案可求.【解答】解：由Z=- 3+ （1+i） 2,得 z=

10、- 3+2i.则复数z=- 3+ （1+i） 2在复平面内对应的点的坐标为：（-3, 2）,位于第二象限.故选：B.3 .下列函数中，不是偶函数的是（）A. y=1 - x2 B. y=tanx C. y=cos2x D. y=3x+3 x【考点】函数奇偶性的判断.【分析】根据函数奇偶性的定义进行判断即可.【解答】解：y=tanx在定义域内是奇函数，其余都是偶函数，故选：B224.双曲线呈一 -匚=1的左焦点到右顶点的距离为（）45A. 1B. 2C. 4D. 5【考点】双曲线的简单性质.【分析】求得双曲线的 a, b,由c=/a2 + b可得c，即可得到左焦点和右顶点，进而得到它 们的距离.

11、22【解答】解：双曲线 三一一匚=1的a=2, b=/5,45c=j4+5=3,可得右顶点为（2, 0）,左焦点为（-3, 0）,可得左焦点到右顶点的距离为5.故选：D.5 .已知变量x与y线性相关，且由观测数据算彳#样本平均数分别为工=4, y =3,则由该观测数据算得的线性回归方程不可能是（）A.=0.2x+2.2 B ，=0.3x+1.8C. . =0.4x+1.4 D. =0.5x+1.2【考点】线性回归方程.【分析】将样本平均数代入回归方程逐一验证.【解答】解：由最小二乘法原理可知样本平均数（4, 3）在线性回归方程上.对于 A,当 x=4 时，y=0.8+2.2=3,对于 B,当

12、x=4 时,y=1.2+1.8=3,对于 C,当 x=4 时,y=1.6+1.4=3,对于 D,当 x=4 时，y=2+1.2=3.2w3.故选：D.6 .若变量x、y满足约束条件*9y>0则z=4x+y的最大值为（）L 乂A. - 8 B. 10 C. 12D. 15【考点】简单线性规划.z=4x+y 彳导 y=- 4x+z,根据【分析】利用线性规划的内容作出不等式组对应的平面区域，然后由 平移直线确定目标函数的最大值.【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=4x+y得y=-4x+z,平移直线y=- 4x+z,由图象可知当直线经过点 A时，直线的截距最大,此时z最大，(x=4

13、4由，_ ,解得即A (4, - 1),代入z=4x+y得最大值为z=16- 1=15.其+2v=2产 一 口故选：D.7.某几何体的三视图如图所示.则该几何体的体积等于(D. 3【考点】由三视图求面积、体积.【分析】几何体为四棱柱与三棱柱的组合体.【解答】解：由三视图可知该几何体上部分为四棱柱，下部分为三棱柱，四棱柱的底面为边长为1的正方形，高为2,三棱柱的底面为等腰直角三角形，直角边为 1,三棱柱的高为1 ,15所以几何体的体积 V=1 M >2专X! X 1 X =.故选C.8 .在 ABC中，a, b, c 分别为内角 A, B, C 的对边，3cosAcos ( B+Q =1,

14、 a=/15 , B=-,则b等于()A. . B 3C. 2 ,D.二【考点】两角和与差的余弦函数；余弦定理.【分析】由条件利用诱导公式，同角三角函数的基本关系求得cosA、sinA的值，利用正弦定理求得b的值.【解答】解： ABC 中，由 3cosA - cos ( B+C) =3cosA+cosA=4cosA=1,可得cosAj再根据a=/15, Bk，利用正弦定理可得a. = bsinA -sinB求得b=2 一 ", 故选：C.9 .执行如图所示的程序框图，若输入n=10,则输出的S=()A.11B.2021C.1021D.1011【考点】程序框图.可得程序框图的功能是计算

15、并输出击），模拟执行程序,的值,用裂项法计算即可得解. 1 1 1 1【解答】解：丁 丁 7=6十（一一近），.模拟执行程序，可得满足条件满足条件满足条件11n=10, S=O, i=2 （1-V），i=41 . .1 41 . c飞）+2（3-5），i=6i=8111 1、1 ,1 1，）+2（3 -5）+g（写一小11111111111满足条件 &10, S=2 （1-3） +2（35）+2（5-7）+2（7-9），i=10L11 1 1 11111； 1. 11 1 11满足条件&10, ST可）力（歹后）+，（后一7）百 斤一5）可6一元），i=12不满足条件V10,退

16、出循环，输出S=y (1 -)蒋母+小卷去年导白、1)一故选：A.10.已知函数 f (x) =2sin(GX+(f) ( w>0. |(j)|<2)的图象如图所示，则函数y=f (x) +3的对称中心坐标为(2 月A(目F一)(底Z)B. (3kL4)(代 Z)JC. ("jk 兀+z)(kJ)3_D. (k7T -4)(D【考点】正弦函数的图象.【分析】由周期求出 g由五点法作图求出 4的值,可得f (x)的解析式；再利用正弦函数的图象的对称性，求得 y=f (x) +3的对称中心坐标.【解答】解：根据函数 f (x)=2sin ( gx+ 4) ( w> 0.

17、7U2的图象,可得1 2兀15兀 3死再根据五点法作图可得二- -7T,求得4=1f (x)=2sin兀xM).则函数y=f (x)+ cj=2sin (x+7)十二2 兀令-x+=k Tt, 3k九 3元求得x=一2 一，k”,故函数y=f (x)+ g的对称中心坐标为(孙 rkC Z,故选:D.11.设“为锐角，则tan a>2”是-tan2 a< 0”的(A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合正切函数的图象和性质以及一元二次不等式的解 法进行求解即可.&l

18、t; 0,所以，有，- Q< tan2 a< 0 ；【解答】 解：由 tan”>2, ”为锐角得 60°varctan2v “V 90°,贝U 120°<2“< 180°则 tan (2arctan2) <tan2 a< 0,而 tan (2arctan2)充分性成立. a 为锐角，0°<2a< 180°,< tan2 a< 0 .90 v2av 180 ,则 45 v “V 90 ,贝U tan”> 1由一2 、(1 tan a)矶 42篡1V<tan2

19、a< 0 得;， 33 1 - tan CL> 2tan a,即 2tan2” 3tana- 2>0,解得tan“> 2或tan“<一，（舍）,即必要性成立,故tan a> 2 "是"-< tan2 a< 0"的充分必要条件，故选：C12.若直线y=a与函数2I 2A. B. (0, -V)y=a的取值范围为（|一"1|的图象恰有3个不同的交点，则实数 x【考点】根的存在性及根的个数判断；函数的图象.【分析】先求得函数y=|1|的定义域为（0, +°0）,再分段yx匕F.Ce -1.十8),从而分

20、别求导确定函数的单调性，从而解得.10工41【解答】解：函数 y=|一1|的定义域为（0, +00）y=121 |=当 xC (0, e")31nz+2时，y= 刁一. x ( 0, e 1), lnx< - 1,31n父+2y= i < 0,x1口吐 1 , 一i 一一， -y=|3 |在(0, e )上是减函数;当 xC ( e-1, +°°)时，y'=-J-当 xC ( e-1,3")时，y'>0,e当 xC（ J了, +°°）时，y'<0,I_ _目 limf （3 ）工，兑I

21、3 |=0,UJKr 2故实数a的取值范围为（0,三）,J故选B.二、填空题（本大题共 4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡中的横线上）13.设晶用的夹角为60°,且|3=2a, |b|='l,则W%=_J8【考点】平面向量数量积的运算.【分析】根据向量数量积的定义计算.【解答】解：a* b = | a | | b |cos60fl 故答案为：JE.14 . （1-次）7的展开式中x2的系数为 7 .【考点】二项式定理的应用.【分析】在二项展开式的通项公式中，令 x的哥指数等于2,求出r的值，即可求得展开式中 x2 的系数.【解答】解：由于（1 -打）7的展开式的通

22、项公式为 T+1=C；? （ - 1） 喟,令号=2,求得r=6,可得展开式中X2的系数为C；=7, 故答案为：7.15 .过原点且与直线- V5y+l=0,平行的直线i被圆炉仃户力所截得的弦长为 2V&_.【考点】直线与圆的位置关系.【分析】先求出直线l: &L追认=0,再求出圆- J） 2二?的圆心、半径和圆心（0, 也）到直线1:小"箫.=0的距离d,由此能求出直线l被圆式丫一我:二?所截得的弦 长.【解答】解：设与直线 粕工一 45n1二0平行的直线i为日工i，5v+c=0,. i过原点， c=0,，直线1 4瓷产一 if =0,x2+（y-V3）2=7的圆心

23、（0, 6），半径r=/T，圆心（0, 灰）到直线l： 退了一百'=0的距离d4y=-一L=1,，直线 l 被圆 x2+（¥ - Jg） 所截得的弦长 |AB|=2.Jr - =2=2'1J 7 1 =2/6 - 故答案为：2册.16 .在底面为正方形的四棱锥S-ABCD中，SA=SB=SC=SD异面直线 AD与SC所成的角为60°,AB=2,则四棱锥S- ABCD的外接球的表面积为8兀.【考点】球的体积和表面积.【分析】作出直观图，根据所给条件寻找外接球的球心位置，计算球的半径，即可求出四棱锥S-ABCD的外接球的表面积为.【解答】解：取底面中心O,BC中

24、点E,连结SO,SE,OE,则OE!AB=1, OA=OB=OC=O喳，SOL面 ABCD,SOXOE,1. AD/ BC,，/SCB为异面直线 AD, SC所成的角，即/ SCB=60°,.SB=SC,.SBC是等边三角形，. BC=AB=2,SE=/3,SO丞联:EjP=/l.OA=OB=OC=OD=OS即O为四棱锥 S- ABCD的外接球球心.，外接球的表面积 S=4tiX 被）2=8兀.故答案为：8兀.三、解答题（本大题共 5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.设Sn为等比数列4的前n项和，ai=1, a2=3.(1)求 an, Sn；(2)若a3,

25、 Sn+5, %成等差数列，求n的值.【考点】等比数列的通项公式；等差数列的通项公式.【分析】(1)利用等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出.(2)由a3, Sn+5,%成等差数列，可得 2 (Sn+5) =&+a5,再利用等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出.【解答】解：(1)设等比数列an的公比为q, ai=1, a?=3.，q=-=3.al.an=3i.S为界J)(2) a3, Sn+5, a5成等差数列，2 (Sn+5) =a3+a5,3n- 1+10=32+34,化为3n=34,解得n=4.18.为调查了解某药物使用后病人的康复时间，从1000个使用该药的病人的康

26、复时间中抽取了24个样本，数据如下图中的茎叶图(单位：周) .专家指出康复时间在 7周之内(含7周)是快 效时间.(1)求这24个样本中达到快效时间的频率；(2)以(1)中的频率作为概率，从这 1000个病人中随机选取 3人，记这3人中康复时间达到 快效时间的人数为 X,求X的分布列及数学期望.012235667851 0 1 22 3 445672 0 112【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差.【分析】（1）由茎叶图得24个样本中，康复时间在 7周之内（含7周）的样本个数为8个，由 此能求出这24个样本中达到快效时间的频率.（2）由已知得X的可能取值为0,1, 2,

27、 3, XB （3,）,由此能求出X的分布列和EX.7周之内（含7周）的样本个数为8个,【解答】解：（1）由茎叶图得24个样本中，康复时间在P=24 飞,2, 3, X B (3,2)，J.这24个样本中达到快效时间的频率(2)由已知得X的可能取值为0, 1,P(X=0)=学蹑，P (X=D =C；铮)仔);卷P (X=2) =C：母)2(*), p (X=3) =Cg ty) 3=y,X的分布列为：3127s旦279X0122 g0491EX=O x 为+1 xX =+3-=1.z r ? 甘 z f19.如图，在四棱锥 A- EFCB中，AAEF为等边三角形，平面 AEFL平面EFCB B

28、C=4, EF=2,四边形EFCB是高为的等腰梯形，EF/ BC,。为EF的中点.（1）求证：AOXCF;（2）求二面角 F- AE- B的正弦值.K1 * f ' life.f八 / 1/01 /*L I【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系.【分析】（1）推导出A0± EF,从而AOL平面EFCB由此能证明 A0± CF.(2)取BC中点D,以。为原点，OB为x轴，OD为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角 F-AE- B的正弦值.【解答】证明：(1)二.在四棱锥 A-EFCB中，4AEF为等边三角形，。为EF的中点

29、, AOXEF,平面 AEF1平面 EFCB 平面 AEHA平面EFCB=EF .AO,平面 EFCB . CF?平面 EFCB AOXCF.解：(2)取BC中点D,以。为原点，OB为x轴，OD为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系,A (0, 0,亚：)，E (1, 0, 0), F ( - 1, 0, 0), B (2, 6, 0),话(1,0,-篇),AB=(2, 13,-V3),设平面ABE的法向量口二 (x, v, z),n-AE=x _n-AB=2x+V3V-V3i=0取 z=1,得 n= (V3, -1,1),平面AEF的法向量i=(0, 1, 0),设二面角F- AE- B的平

30、面角为 0 ,20.设椭圆 当+%=1 (a>b>0)的离心率为 g,且左焦点在抛物线 y2=4ax的准线上. a b |I巳(1)求椭圆的方程；(2)若在y轴上的截距为4的直线l与椭圆分别交于 A, B两点，O为坐标原点，且直线 OA,OB的斜率之和等于 2,求直线AB的斜率.【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程.【分析】(1)根据抛物线的性质求得其准线方程，即可求得椭圆的焦点坐标， 跟据离心率的定义，求得可求a和b,求得椭圆方程；(2)根据椭圆方程，设出直线 AB的方程，代入椭圆消去 y得到关于x的一元二次方程，利用判 别式> 0,求得k的取值范围，根据韦达定理求

31、得X1+X2及xi?x2,分别求得直线 OA及OB的斜率，根据斜率之和等于 2,即可求得k的值.【解答】解：(1)由抛物线y2=4/lx的准线为，x= V3,，椭圆a>b>0)的左焦点坐标为(- 6,0),一 c二由 a2=b2+c2,求得 b=1,故椭圆的方程为:22设椭圆&m+J=1 (a>b>0)的离心率为且左焦点在抛物线y2=4旧x的准线上.(2)设直线 Iab： y=kx+4, A (x1,yi), B (x2, y2),将直线方程代入椭圆方程整理得:(1+4k2) x2+32kx+60=0, = (32k) 2 240 (1+4k2) >0,解

32、得k音或k<-竽32k |由韦达定理可知xi+x2=-一r2, l+4k60 x1?x2=1 2y2 1k量1+4)*产缶叼+&)当货/电kOA+kOB= +=2k+4 xX YX 1町K L x 2-32k=2”“-32k直线 OA OB的斜率之和等于 2,即2k+4* =2,解得k=- 15,直线AB的斜率-15.9支21 .已知函数 f (x) =-V-(a>0).ax 'hl227：(1)若a>,且曲线y=f(x)在点(2, f(2)处的切线的斜率为-,求函数f(x)的单jzb调区间；(2)求证：当 x> 1 时，f (x) >一.3X 4

33、-1【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程.【分析】(1)求出函数的导数，求得切线的斜率，解方程可得 a=1,由导数大于0,可得增区间,由导数小于0,可得减区间;9K9+lux.(2)要证当x> 1时，f (x)即有当 x> 1 时，9+lnxv 9x.ax? +1(a>0),即证当 x>1 时)丁一' > 一干'(a> 0),ax fl ax fl令g (x) =9+lnx-9x (x> 1),求出导数，判断单调性，即可得证.【解答】解：(1)函数f (x)=的导数为,9(1-a Jf (x)=(N+l)即有

34、在点(2, f (2)处的切线的斜率为2725(舍去)或a=1,9发即有M的导数为f'(x)由 f' (x) >0,可得1 vxv 1 ,由f x x) < 0,可得 x> 1 或 x< - 1 .则f (x)的增区间为(-1, 1),减区间为(-°°, - 1), (1, +8)；(2)证明：要证当 x>1 时，f (x) > =(a>0),ai +19 第9+1 nit即证当x>1时， T, >亍1-(a>0),ay +1 ay +1即有当 x> 1 时，9+lnxv 9x.令 g (x)

35、 =9+lnx- 9x (x>1),g' (x) =1 - 9< 0,即有 g (x)在(1, +°0)递减，则 g (x) < g (1) =0,即有当 x> 1 时，9+lnxv 9x.,9+1 nx故当 x>1 时，f (x) >-7.ax +1请考生在22、23、24三题中任选一题作答，选彳4-1 :几何证明选择22 .如图，圆O的直径AB=8,圆周上过点 C的切线与BA的延长线交于点 E,过点B作AC的平 行线交EC的延长线于点P.(1)求证：bc2=ac?bp；(2)若EC=2,求EA的长.产【考点】与圆有关的比例线段.【分析】(1)证明： ACB CBP,即可证明BC2=AC?BP.(2)由题意可得 EC2=EA?EB=EA ( EA+AB),即可解得EA的值.【解答】解：(1)证明：: AB为圆O的直径，/ ACB=90°.又 AC/ BP,/ ACB=Z CBP,