2020年上海市杨浦区中考数学一模试卷-解析版

1、2020年上海市杨浦区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6小题，共24.0分）1 .将抛物线y = 2向左平移1个单位，所得抛物线解析式是（）A. y = （% - I）2 B. y = （% + I）2 C. y = x2 + 1 D. y = x2 - 12 . 在Rt 力BC中，乙C =90。,如果力C = 2, cosA = 那么AB的长是（）a4B.c.学D. M2，3 .已知Z、E和工都是非零向量，下列结论中不能判定的是（）A. a/c, b/cC. a = 2bD- a = br T 1 1 V* T B Q =/, b=2c4.如图，在6X6的正方形网格中，联结小正方形中两个

2、顶 点A、B,如果线段A8与网格线的其中两个交点为M、 N,那么AM： MM N8的值是（）A. 3： 5：B. 3： 6：C. 1 ： 3：D.1： 4：5 .广场上喷水池中的喷头微露水而，喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的高度y（米）关于水珠和喷头的水平距离”（米）的函数解析式是y =-|%2 + 6x（0 % V3 1.732、旗欠 2.449)四、解答题(本大题共5小题，共58.0分)21 .如图，已知在梯形ABC。中，/8CD,力8 = 12, CD = 7, 点E在边A。上，第=：,过点E作EFn8交边8C于 点F.(1)求线段EF的长；(2)设方=2,而=1，联结A凡 请用向量

3、2、石表示 向量寿.22 .如图，己知在ABC 中，乙4C8 = 90。，sinB = 延长边 BA 至点 Q, AD =AC,联结CD.(1)求，D的正切值：(2)取边AC的中点E,联结BE并延长交边CO于点F,求宾的值.23 .如图，已知在力BC中,是力8c的中线，乙ZMC =乙8,点E在边A。上,CE = CD.求证：。喑(2)求证：AC2 = 2AE-AD.24 .已知在平面直角坐标系屹y中,抛物线y = m/ - 2mx + 4(mH 0)与x轴交于点A, 8(点A在点3的左侧)，且力8 = 6.(1)求这条抛物线的对称轴及表达式：(2)在,，轴上取点E(0,2),点尸为第一象限内抛

4、物线上一点，联结8凡EF,如果,四边形OEFB = 1，求点尸的坐标；(3)在第(2)小题的条件下，点尸在抛物线对称轴右侧，点P在x轴上且在点5左侧， 如果直线列7与y轴的夹角等于NE8F,求点P的坐标.7 6 - D - 4 .3 - 2 - 1 -_6 _5 -4 -5 -2-1.0 1 2 3 4 5 6 汗-1 - -2- 一 3 25.已知在菱形ABC。中，AB = 4,乙8/D = 120。，点尸是直线AB上任意一点，联结 PC.在CD内部作射线CQ与对角线BD交于点Q(与B、D不重合)，且4PCQ = 30。. (1)如图，当点P在边AB上时，如果8P = 3,求线段尸。的长：(

5、2)当点P在射线上时，设8P = x, CQ=y,求y关于x的函数解析式及定义 域；(3)联结PQ,直线P。与直线交于点E,如果 QCE与 8CP相似，求线段8P 的长.第6页，共19页答案和解析1 .【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关 键.根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可.【解答】解：将抛物线y = /向左平移1个单位，所得抛物线解析式是y = (x + l)2, 故选：B.2 .【答案】B【解析】【分析】本题考查锐角三角函数的定义，解题的关犍是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.根据cosA = * = ：,求

6、出A3即可.AB 4【解答】解：在RtZk/BC中， Z.C = 90, AC = 2,又cos A =AB 4故选：B.3 .【答案】D【解析】【分析】根据平行向量的定义判断即可.本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.【解答】解：4由ZX b/c可以推出ZW本选项不符合题意.8.由乙b = 2c可以推出Z江本选项不符合题意.C由1=2石，可以推出Z式本选项不符合题意.D.a = b,不可以推出.本选项符合题意.故选：D.4.【答案】C【解析】【分析】此题考查了平行线分线段成比例，作出辅助线，找准对应关系是解决本题的关键.过A 点作4E_LBE,交于点E,连接MC、

7、ND、BE,根据已知条件得出MCNDBE,再 根据平行线分线段成比例即可得出答案.【解答】解：过A点作/El. BE,交于点连接MC、N。、BE, 是一个正方形， MC/ND/BE, 力M： A/N： NB = AC： CD： DE = 1： 3： 2, AM： MN： NB = 1： 3： 2.故选C.5.【答案】B【解析】【分析】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是掌握二次函数的顶点式.根据二次函数 的顶点式即可求解.【解答】解：方法一：根据题意，得y = -1%2+6%(0%HA =乙 CPF, . CFPs力ph,故正确， 乙CPA = 600 + 75 = 135 丰乙CPF,

8、 .PFC与不相似，故错误， , CH = LPCB - Z.BCH = 75 - 45 = 30。， LPCH = ZTBC,v Z.CPH =乙BPC,:.APCHsAPBC,pc PH： = PB PCA CP2 = PH-PB,故正确， 故选：c.7 .【答案】30【解析】【分析】直接利用特殊角的三角函数值进而得出答案.此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键. 【解答】解：,1 cot a = /3锐角 a = 30.故答案为：30.8 .【答案】1【解析】【分析】把原点坐标代入y = -x2+3x-1 + rn中得到关于m的一次方程，然后解一次方程即可.本题考查

9、了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式.【解答】解：抛物线尸=一/ + 3%-1 +加经过点(0,0),-1 + m = 0,m = 1.故答案为L【解析】【分析】根据)，轴上点的坐标特征计算自变量为。时的函数值即可得到交点坐标.本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式.【解答】解：当x = 0时，y = -l,所以二次函数y = 2x2 + 5x- 1的图象与y轴的交点坐标为(0, 1).故答案为(0,-1).10.【答案】【解析】【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数y = ax2 + bx + c(a W 0)的图

10、象为 抛物线，则抛物线上的点的坐标满足其解析式；当a0,抛物线开口向上：对称轴为 直线4 = -：，在对称轴左侧，y随x的增大而减小，在对称轴右侧，y随x的增大而增 大.根据二次函数的性质得到抛物线y = (x 2的开口向上，对称轴为直线x = 2,则 在对称轴左侧，y随X的增大而减小，所以X1V&V2时，y1y2.【解答】解：7 = (% - 2)2, Q = 1 0.抛物线开口向上，抛物线y = (%- 2对称轴为直线 = 2,V 工2 V 2,yi y2- 故答案为.11.【答案】320【解析】 【分析】根据比例尺=等普代入数据计算即可.本题考查了比例线段，熟练掌握比例尺=T谭是解题的关

11、键.【解答】解：设甲、乙两地的实际距离为比例尺回图上距离实际印肉 1： 8000000 = 4： x, x = 32000000,二甲、乙两地的实际距离为是320酎, 故答案为:320.第9页，共19贞12 .【答案】(5再一 5)【解析】 【分析】根据点P是线段”上的一点，且8P2=/p./8,列方程即可求解. 本题考查了根据线段之间的等量关系列方程，解决本题的关键是解方程.【解答】解：，,点P是线段A8上的一点 AP = AB - BP = 10- BP, v BP2 = AP - AB. AB = 10cm.BP2 = (10- BP) X 10, 解得8P = 5逐一 5. 故答案为：

12、(SVS-S).13 .【答案】I【解析】 【分析】此题考查三角形的重心，关犍是根据三角形的重心得出比例关系.根据三角形重心和相 似三角形的判定和性质解答即可.【解答】解：如图,第10页，共19页连接AG并延长交8c于点E,丁点G是A ABC的重心，AG 2 1 ，GE 1v MN/BC. AMNsABC,2 S“BC - 9故答案为：I14 .【答案】2.4【解析】【分析】过。作DG 1 48于 G,过。作CH 1 48于 H,贝ljDGCH, 根据相似三角形的性质即可得到结论.本题主要考查相似三角形的应用，解题的关键是熟练学 握相似三角形的判定与性质.【解答】解：过。作0GJ./8于G,过

13、C作CWJ./8于H, 则 DGC”. ODGs OCH DG OD 瓦oc* 栏杆从水平位置AB绕固定点0旋转到位置DC, CD = AB = 3.5m, OD = OA = 3m, CH = 0.3m, OC = 0.5m,DG 3 - ，0.30.5 DG = 1.8m OE = 0.6m.栏杆D端离地而的距离为1.8 + 0.6 = 2.4m.故答案为：2.4.15 .【答案】6.2【解析】【分析】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件, 利用锐角三角函数和数形结合的思想解答.根据题意和锐角三角函数可以求得8C的长, 从而可以解答本题.【解答】解:

14、在出 ABC中，, Z.ACB = 90, BC = AB sin乙BAC = 12 X 0.515 e 6.2（米）,答：大厅两层之间的距离BC的长约为6.2米.故答案为：6.2.16 .【答案】：【解析】【分析】延长A。和8C交于点邑 在直角中利用三角函数求得BE的长，则EC的长即可 求得，然后在直角ACDE中利用三角函数的定义求解.此题考查了相似三角形的判定与性质，含30度直角三角形的性质，熟练掌握相似三角 形的判定与性质是解本题的关键.【解答】解：延长A。和8C交于点E. 在直角力8E中，tanA = = AB = 3, AB 3 BE = 4,: EC = BE - BC = 4-2

15、 = 2, 力8后和4。5中,ZB = ZLEDC = 90% 乙E = 4E,:.Z-DCE =乙力， 直角4 CDE中，tanzDCE = tanA =-, DC 3 设。岳=4%,则DC=3x,在直角aCDE中，EC2 = DE2 +DC2. 4 = 16/+ 9”，解得：” =：，则 CD =故答案是：17 .【答案】145【解析】【分析】此题主要考查了相似三角形的性质，理解新定义“相似对角线”， 利用相似三角形的性质是解题的关键.依据四边形的相似对角线 的定义，即可得至IJ乙4BD =乙DBC,乙A = BDC,乙4DB =乙。， 再根据四边形内角和为360。，即可得到乙4DC的度数

16、.【解答】解：如图所示，.乙48。= 70。，8。平分乙4BC, Z.ABD =乙DBC,又对角线BD是它的相似对角线，/. ABD- DBC, * Zj4 =乙BDC,乙ADB =乙C, 乙4 +ZT = DC,又+ ZC + ADC = 360 - 70 = 290。， Z.ADC = 145%故答案为：145.18.【答案】4或【解析】【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），三角形的中位线定理、 勾股定理、轴对称的性质、等腰直角三角形的判定、直 角三角形斜边中线的性质，并利用分类讨论的思想解决 问题.当名EF为直角三角形时，存在两种情况：当乙4道尸= 90。时，如图1,根据对称的性质和平

17、行 线可得：iC=4E=4,根据直角三角形斜边中线的性质得：BC = 2AlB = 8.最后利用勾股定理可得A3的长：当hFE = 90。时，如图2,证明A8C是等腰直角三角形，可得/C =4.【解答】解：当尸为直角三角形时，存在两种情况：当乙EF = 90时，如图1, 力8。与4n8c关于BC所在直线对称， .aC = AC=4f 乙ACB =乙A1cB, 点。，E分别为AC, BC的中点，D、E是ABC的中位线， DE AB, 乙CDE =(MAN = 90% 乙CDE =乙力 AC A5Zj4 C B = Zj4 i E C,Zj41cB = /lAEC A1C = A1E = 4,Rt

18、 力 1c8 中，E是斜边3c的中点， * BC = 2i41E = 8,由勾股定理得：AB2 = BC2 - AC2, AB = v82 42 = 4/3:当乙4/E = 90。时，如图2,: Z-ADF = =乙DFB = 90, Z,ABF = 90。, /8C关于BC所在直线对称, ABC = MBA=45% .ABC是等腰直角三角形， AB = AC = 4：综上所述，A3的长为4国或4：故答案为：4於或4：19 .【答案】解：(1)，抛物线/ =。42 + 以+。过点(_1,(), (0,-1), (1,-4),a b + c = 0 1a + b + c = 4,r = -1(a

19、 = -1解得上=2，;该抛物线的表达式为y = x2 2x 1 ；(2)向右平移3个单位，向上平移4个单位.【解析】【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，用待定系数法求二次函数的解析式等知识点，能 求出二次函数的解析式是解此题的关键.(1)将(一1,0), (0,-1), (1,一4)代入抛物线解析式尸=。/ + 6% +。中即可得解；(2)根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可.【解答】解：(1)见答案：(2):新顶点处2,4),/. y = -(%-2)2 + 4, y = r 2 - 2% - 1 = -(x + l)2, 抛物线的表达式为y = -x2-2x-1向右平移3个

20、单位，向上平移4个单位可得到y =-(%-2)2 + 4,故答案为：向右平移3个单位，向上平移4个单位.20 .【答案】解：设=v LMAC = 30,. MC x k 在Rt/iMnc中，力。=t-=亘=.3- 3 LMBC = 45。， 在RtZkMCB中，MC = BC = x,又：AB= DE= 40, AC - BC = AB 40, x = 40,解得：% = 20 +2073 54.6, MF = MC + CF = 54.6 + 1.5 = 56.1(米)，答：楼MF的高56.1米.【解析】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，涉及到等腰直角三角形的 判定与性质、锐角三

21、角函数的定义及特殊角的三角函数值，熟练掌握以上知识是解答此 题的关键.首先分析图形，根据题意构造直角三角形.本题涉及多个直角三角形，应利用其公共边 构造三角关系，进而可求出答案.21 .【答案】解：过D作DM/BC交EF于N,交AB于M, 则 8M = FN = CD = 7,力M =力8 - 8M = 12 7 = 5,DE 21 2 ，AE 3DE _EN _23 57 一丽一二EN = 2, EF = EN + FN = 2 + 7 = 9：(2) v EF = 9, AB = 12,EF 3 -，AB 4v AB = a9AE 3* 丁石=AD=b， q T AE = - b, sA

22、AF = Z? + EF = -K + -a. 54【解析】本题主要考查梯形，平面向量，平行线分线段成比例定理，熟练掌握定理并灵 活运用是解题的关键.(1)过。作DMBC交EF于N,交A8于M,则8M = FN = CD = 7,根据平行线分线 段成比例定理即可得到结论：(2)根据平行线分线段成比例定理即可得到结论.22.【答案】解:过点C作CG 1 AB, 垂足为G, LACB = 90,Z.ACG =乙B,在4力BC中，sinB = 设力C = 3x,5则48 = 5x, BC = 4%,.八一AG3.八 sinZ-ACG = = - = sinB, AC S912 AG = -% CG

23、= %, 5s994 DG = DA + AG = 3% +-% = 55在Rt DCG 中，tanZD =理=：； DG 2(2)过点。作。尸D8,交BF的延长线于点H,贝IJ有 又有七是AC的中点，可证ACHEEnBE, HC = AB = 5%,CHFsDBF得:CF _ CH _ 5x _ 5而一而3x+5x - 8【解析】考查直角三角形的边角关系、相似三角形的判定和性质以及全等三角形的判定 和性质等知识，作合适的辅助线将问题转化为已知是解决问题的关键.(1)作高构造直角三角形，设4c = 3”，表示出CG、AG、DG,再利用直角三角形的边 角关系，求出乙D正切值；(2)过点C作CFD

24、8,交3E的延长线于点H,相似三角形、全等三角形，进而得出HC = AB = Sx,将：蛋转化为求当即可.23.【答案】证明：(1CD = CE,乙CED =乙EDC,v Z-AEC + 乙CED = 180,乙ADB + 乙EDC = 180%：, Z-AEC =乙力D8,v AC =乙B， ACEA BADXAC CE - 9AB AD BD = CD = CE,AC _ BD 港-AD(2) v LDAC =乙B, ACD =乙BCA, ACDL BCA,AC CB : = ， CD CA AC2 = CDCB, ACEL BAD,AE CE -，BD AD AE-AD = BD-CE.

25、 2AE-AD = 2BDCE = BCCD, AC2 = 2AE -AD.【解析】本题考查了相似三角形的判定与性质.关键是利用己知相等角，等腰三角形底 角的外角相等，证明三角形相似.(1)先利用等腰三角形的性质，由CD = CE得到ED = 4EDC,则可根据等角的补角相 等得到乙=加上乙。/。=乙8,于是可根据有两组角对应相等的两个三角形相似判断进一步证明* =称： At5 AU(2)由4D=乙8及公共角相等证明ACDs BCA,利用相似比即可得到结论.24.【答案】解：(1)由y = 7H%2 - 2/nx + 4 = m(x 1)2 + 4-m得到：抛物线对称轴为 直线 = 1.,:

26、AB = 6,力(-2,0), 8(4,0).将点A的坐标代入函数解析式得到：4m + 4m + 4=0,解得zn =故该抛物线解析式是：y = -1%2+% + 4： (2)如图1,联结OF,设FS ?2 + t + 4),则S 四边形OEFB = SaOEF + SAOFB =2t+1X 4(- # + * + 4) = 10.= 1, I2 = 2二点F的坐标是(1,今或(2,4)：(2)由题意得,尸(2,4),如图2,设尸尸与y轴的交点为G,第16贞，共19页 tanZ.EBO = - = =tan乙HFB =OB 42FH 2 ，tanZ.EBO = tanZ.HFB. LEBO =

27、 zJiFB.又乙 PFH = Z.EGF =乙FBE, FB = BF. PF = PB.设P(a,0).则 PF = PB,(a - 4)2 = (a - 2)2 + 42,解得a = -1.P(TQ)【解析】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养.要 会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长 度，从而求出线段之间的关系.(1)根据抛物线解析式求得对称轴方程为4 = 1，结合48 = 6求得点A、8的坐标：然后 利用待定系数法确定函数解析式；(2)如图1 ,联结。凡设尸(t, 92 + t + 4),根据图形得到S四龙的EF8

28、= S&OEF + SaOFB，由三角形的面枳公式列出方程，利用方程求得点F的横坐标，结合二次函数图象上点的 坐标特征求得点F的纵坐标；(3)如图2,设尸产与y轴的交点为G.由tan乙E8。= tan/JiFB = 得到：乙EBO = U1FB.易推知尸8 = 8F.故PF = P8.设P(a,0).由两点间的距离公式求得相关线段的长度并 列出方程，通过解方程求得点尸的横坐标.25.【答案】解：(1)如图1中，作P” 1 BC于H.图1.四边形ABC。是菱形，AB = BC = 4, ADIBC, 乙4 +乙4BC = 180。， LA = 120。， BH = 60, PB = 3,乙PHB = 90。, BH = PB - cos600 = ：, PH = PB - sm60 =.22c-冷PC = jPH2 + CH2 = J(%产 + (1)2 = V13：(2)如图1中，作PHJ.BC于连接PQ,设PC交8。于。. .四边形A8CQ是菱形， Z.AB