桁架弹塑性分析

1、2.4 拉伸和压缩杆系的弹塑性分析弹性极限载荷（屈服载荷）：弹性极限载荷（屈服载荷）：结构出现塑性变形时的载荷结构出现塑性变形时的载荷塑性极限载荷（极限载荷）：塑性极限载荷（极限载荷）：使整个结构屈服，从而丧失使整个结构屈服，从而丧失 承载能力时的载荷承载能力时的载荷理想弹塑性材料理想弹塑性材料,signsssE当时，当时，oss以一次超静定三杆桁架为例进行弹塑性分析以一次超静定三杆桁架为例进行弹塑性分析PABCD132l 解：解：在载荷在载荷P 较小时，杆系处于弹较小时，杆系处于弹性状态，各杆轴力为：性状态，各杆轴力为：已知：三杆材料相同，弹性模量均为已知：三杆材料相同，弹性模量均为E；横截

2、面积相同，均为横截面积相同，均为A，l1=l3，l2=l，试试讨论杆系的极限载荷和讨论杆系的极限载荷和A点的铅垂位移点的铅垂位移。PAF1F3F23231cos21cosPFF32cos21PF312FFF载荷增加时，杆载荷增加时，杆2首先屈服，此时首先屈服，此时2s，1、3杆仍处于弹性状态。杆仍处于弹性状态。屈服载荷屈服载荷Pe：超静定结构超静定结构静定结构静定结构PABCD13l sA继续加载，杆继续加载，杆1、3也达到屈服，结构丧失承载能力。也达到屈服，结构丧失承载能力。极限载荷极限载荷Pl：32cos21esPAF)cos21 (3APsecos231APFFs)cos21 (APsl

3、3cos21cos21elPPA点位移点位移分析分析P小于或等于小于或等于Pe时，时，当当Pe PPl时，时，)cos21 (322EAPllElylEsyeEllsscos/131lElsyl21coscos2cos1/yeyllEAAPlEllsy321111cos2coscoscosP=Pl时时l 当当PPPPe e时，时，三杆处于弹性状态，结构的刚度比较大；三杆处于弹性状态，结构的刚度比较大；l 当当P Pe ePPP0ipirirE/由于由于 水平加载水平加载QFFsinsin310coscos231FFF平衡方程平衡方程几何协调几何协调sin31xllABCDQ物理方程物理方程ii

4、illEAF/02l 水平加载水平加载ABCDQ, 0 ,sin2/231FQFF0 ,sin2/231AQesQAQsin2当杆杆1和和3进入塑性变形状态进入塑性变形状态由于杆由于杆2始终不受力，此时继续加载，变形无限制。故始终不受力，此时继续加载，变形无限制。故elQQ )cossin2/(sin/21EAQllx)cossin/(Elsxsin/1lsx 不同加载路径的影响不同加载路径的影响路径路径1:路径路径2:加竖向载荷至极限状态，保持竖向位移不变，再加水平载荷至极限状态加竖向载荷至极限状态，保持竖向位移不变，再加水平载荷至极限状态水平载荷和竖向载荷成比例加载至极限状态水平载荷和竖向

5、载荷成比例加载至极限状态ABCDPABCDAxlylyl加载步1加载步2ABCDFsin2tan路径路径1：中间态由前述分析，知：中间态由前述分析，知,321slEsyl2cos对加载步2，如果可实现，则必然存在竖向卸载必然存在竖向卸载。设此过程中竖向载荷增量为 ，水平载荷增量为 ，相应地各杆应变增量为 ，应力增量为 PQ321,321,平衡方程：AQ/sinsin31AP/coscos231几何关系：cossincos/1yxlyl2cossincos/3yxl在加载步在加载步2过程中，过程中，A点竖向位移不变，则点竖向位移不变，则0y,cossin31xll02而而 ，这说明在此过程中，杆

6、，这说明在此过程中，杆1和和2仍处于塑性状态，只仍处于塑性状态，只有杆有杆3卸载卸载, 所以所以0 x, 021,/sin3AQAP/cos3,sin/sin/3AQAQcotQP,sin/,321AQss当当 ，杆，杆3进入反向屈服，进入反向屈服，s3sin2AQsl)cossin/(2EAQlx)cossin/(2Elsxl最终态为最终态为s321cossin2Elsxl,cos2lEsylEllsylxl3coscossin2122cosElsylEllsylxl23coscossinsin2AQsfAPPPslf路径路径2平衡方程QFFFsinsinsin31PFFFFcoscosco

7、s231几何方程21coscossinllyxly223coscossinllyx弹性分析:物理方程（见前述）,)cos21 (32AP332321cos21cos2cos1sin2)cos21 (cosAPAQAP332323cos21cos21cossin2)cos21 (cosAPAQAP可以看出，杆1中应力的绝对值最大，故先进入塑性变形状态233coscos21cos21APse杆杆1刚进入塑性状态时各杆的应力应变状态刚进入塑性状态时各杆的应力应变状态,1s,coscos21232s32323cos2cos1cos21coss)cos2cos1 (32Elsye,)cos2cos1 (

8、cossin)cos21 (3223Elsxe,1s,coscos21232s32323cos2cos1cos21coss继续加载，继续加载， 于是由平衡方程于是由平衡方程, 01,/23AP,/ )cos21 (2AP若在此过程中，杆若在此过程中，杆2先屈服，则先屈服，则),cos21 (coscos2123APss232coscos21cosAPs杆杆3先屈服，则先屈服，则APss2cos2cos1cos21cos3232232coscos21cosAPs杆杆2和杆和杆3同时同时屈服，故达到屈服，故达到极限状态极限状态达到最终极限态时达到最终极限态时s321cossin)cos1 (2El

9、sxllEsylEllsylxl)cos21 (coscossin221Elsyl2Ellsylxl23coscossinsin2AQsfAPPPsef路径路径2sin2sin2APQAPPPsTTseT,321s,2s),cos21 (21scossin)cos1 (2Elsxl, lEsyls31,cos22ss3sin2AQsfAPsf,321s路径路径1 cossin2Elsxl,cos2lEsylPQ12塑性变形过程，应力应变状态与加载路径相关塑性变形过程，应力应变状态与加载路径相关,3s 小结 对拉压杆系进行弹塑性分析时, 一般先进行弹性分析,根据屈服准则判断塑性变形杆件,在塑性变

10、形过程中, 一般还需要判断是处于加载还卸载阶段 卸载为弹性变形1)塑性变形与加载路径相关2.5 弹性极限曲线弹性极限曲线 考虑桁架同时受垂直载荷考虑桁架同时受垂直载荷P和水平和水平载荷载荷Q作用，三根杆都处于弹性变作用，三根杆都处于弹性变形，则可求出各杆中应力形，则可求出各杆中应力,)cos21 (32APsin2)cos21 (cos321AQAPsin2)cos21 (cos323AQAPPABCD132l 各杆处于弹性变形要求各杆处于弹性变形要求si |则则P和和Q应满足应满足(利用利用)cos21 (3APsesAQAPsin2)cos21 (cos32sAP)cos21 (3sin2

11、AQsesAQAPsin2)cos21 (cos321cos2eeQQPP1ePP1cos2eeQQPP取等式定义了六边形边界取等式定义了六边形边界ePP/若载荷超出弹性极限曲线后卸载若载荷超出弹性极限曲线后卸载, ,则杆件中存在残余应力则杆件中存在残余应力eQQ/cos*2*,*231ss在含残余应力的情况下在含残余应力的情况下, ,重新加载重新加载, ,则不产生新的塑性变形要则不产生新的塑性变形要求求P P和和Q Q满足满足ePP/eQQ/, 1*cos2eeQQPP, 1cos*2ePP1*cos2eeQQPP可见可见, ,在加载方向一侧屈服载荷有所提高而与加载方向相反在加载方向一侧屈服载荷有所提高而与加载方向相反一侧屈服载荷有所下降一侧屈服载荷有所下降, ,类似于晶体中的包氏效应类似于晶体中的包氏效应当前述三杆桁架结构中有两杆件的应力达到屈服强度，则当前述三杆桁架结构中有两杆件的应力达到屈服强度，则结构丧失进一步的承载力结构丧失进一步的承载力, ,相应载荷即为塑性极限载荷，相应载荷即为塑性极限载荷，该极限载荷在该极限载荷在(Q,P)(Q,P)平面上的轨迹为一曲线，成为平面上的轨迹为一曲线，成为极限载极限载荷曲线荷曲线( (面）。面）。它有如下特点：它有如下特点：PQsP1 1）极限载荷曲线唯一，与加载路径）极限载荷曲线唯一，与加载路径无关无关2