七年级数学下册全等三角形判定二(提高)知识讲解

1、全等三角形判定二（SA9 （提高）【学习目标】1 .理解和掌握全等三角形判定方法4 “边角边”；2 .能把证明角相等或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等3 .探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式；【要点梳理】【高清课堂：379109全等三角形判定一，基本概念梳理回顾】要点一、全等三角形判定 4 “边角边”1 .全等三角形判定4 “边角边”两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或"SA6）要点诠释：如图，如果 AB = A'B',/A= / A',AC = A'C',则

2、AB黄A'B'C'. 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角2 .有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等如图， ABC与4ABD中，AB= AB, AC= AR /B=/B,但 ABC< ABD不完全重合， 故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等要点二、判定方法的选择1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表:已知条件可选择的判定方法一边一角对应相等SAS AAS ASA两角对应相等ASA AAS两边对应相等SAS SSS要点三、如何选择三角形证全等1 .可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、

3、角）在哪两个可能全等 的三角形中，可以证这两个三角形全等；2 .可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；3 .由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；4 .如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形要点四、全等三角形证明方法全等三角形是平面几何内容的基础，这是因为全等三角形是研究特殊三角形、四边形、相似图形、圆等图形性质的有力工具，是解决与线段、角相关问题的一个出发点.运用全等三角形，可以证明线段相等、线段的和差倍分关系、角相等、两直线位置关系等常见的几何问题.可以适当总结证明方法.1 .证明线段相等的方法：(1)证明两条线段所在的两个三角形全等

4、.(2)利用角平分线的性质证明角平分线上的点到角两边的距离相等(3)等式性质.2 .证明角相等的方法：(1)利用平行线的性质进行证明.(2)证明两个角所在的两个三角形全等.(3)利用角平分线的判定进行证明 .(4)同角(等角)的余角(补角)相等 .(5)对顶角相等.3 .证明两条线段的位置关系(平行、垂直)的方法；可通过证明两个三角形全等，得到对应角相等，再利用平行线的判定或垂直定义证明.4 .辅助线的添加：(1)作公共边可构造全等三角形；(2)倍长中线法；(3)作以角平分线为对称轴的翻折变换全等三角形；(4)利用截长(或补短)法作旋转变换的全等三角形.5 .证明三角形全等的思维方法 ：(1)

5、直接利用全等三角形判定和证明两条线段或两个角相等，需要我们敏捷、快速地发 现两条线段和两个角所在的两个三角形及它们全等的条件(2)如果要证明相等的两条线段或两个角所在的三角形全等的条件不充分时，则应根据 图形的其它性质或先证明其他的两个三角形全等以补足条件(3)如果现有图形中的任何两个三角形之间不存在全等关系，此时应添置辅助线，使之 出现全等三角形，通过构造出全等三角形来研究平面图形的性质【典型例题】类型一、全等三角形的判定4 “边角边”歌1、如图，AD是4ABC的中线，求证： AB+ AO 2AD【思路点拨】 延长AD到点E,使AD= DE,连接CE通过证全等将 AB转化到 CEA中，同时也

6、构造出了 2AD.利用三角形两边之和大于第三边解决问题【答案与解析】证明：如图，延长 AD到点E,使AD= DE连接CE在 ABDn ECD, AD= DE, / ADB= Z EDC BD= CD . .AB阴 ECD(SAS).AB= CE. AC+ CE> AE,AC+ AB> AE= 2AD,即 AC+ AB>2AD.【总结升华】 证明边的大小关系主要有两个思路：（1）两点之间线段最短；（2）三角形的两边之和大于第三边.要证明AB+ AC>2AD,如果归到一个三角形中，边的大小关系就是显然的，因此需要转移线段，构造全等三角形是转化线段的重要手段.可利用旋转变换，

7、把4ABD绕点D逆时针旋转180°得到 CED也就把AB转化到 CEA中，同时也卞造出了 2AD若题目中有中线，倍长中线，利用旋转变换构造全等三角形是一种重要方法. 2、已知，如图：在 ABC中，/ B= 2/C, AD! BG【思路点拨】在DC上取一点E,使BD= DE则ABN AED所以AB= AE,只要再证出EC=AE即可.【答案与解析】证明：在DC上取一点E,使BD= DE ADXBC,/ ADB= Z ADE在 ABDD AED中，BD= DE, AD= AD. .AB阴 AED (SAS).AB= AE, / B= / AED又. / B=2Z C= / AED= / C

8、+ / EAC. . / C= / EAC AE= ECAB= AE= EC= CD- DE= CD- BD.【总结升华】 此题采用截长或补短方法.上升到解题思想，就是利用翻折变换，构造的全等 三角形，把条件集中在基本图形里面，从而使问题加以解决.如图，要证明AB= CD- BD,把CD- BD转化为一条线段，可利用翻折变换，把4ABDgAD翻折，使线段BD运动到DC上, 从而构造出CD- BR并且也把/ B转化为/ AEB从而拉近了与/ C的关系.举一反三：【变式】已知，如图，在四边形ABC邛,AC平分/ BAR CEL AB于E,并且AE= - （AB+2AD ,求证：/ B+Z D= 1

9、80【答案】证明：在线段 AE上，截取EF= EB,连接FC,.CE1AB, ./ CEB= / CEF= 90° 在 CB讶口 CFE中，EB EFCEB CEFEC =EC . CB讶口 CFE (SAS . B= / CFE 1 , 一 AE= (AB+ AD,2AE= AB+AD2 AD= 2AE- AB AE= AF+ EF,AD= 2 (AF+ EF) - AB= 2AF+ 2EF- AB= AF+ AF+ EF+ E- AB= AF+ A AB, 即 AD= AF 在 AFC和 ADC中AF ADFACDAC (角平分线定义)AC AC. AF集 ADC (SAS) .

10、/ AFC= / D /AFa Z CFE= 180° , / B= Z CFE. / AFJ / B=180° , / B+ Z D= 180° .类型二、全等三角形动态型问题【高清课堂：379111直角三角形全等的判定，巩固练习5】33、在 ABC中，/ ACB= 90° , AC= BC,直线l经过顶点C,过A, B两点分别作l的垂 线AE, BF,垂足分别为E, F.(1)如图1当直线l不与底边AB相交时，求证：EF=AE+ BF.(2)将直线l绕点C顺时针旋转，使l与底边AB相交于点D,请你探究直线l在如下位 置时,EF、AE、BF之间的关系，

11、 AD> BD;AD= BD;AD< BD.【答案与解析】证明：（1） . A已 l , BF± l , .AEG= / CFB= 90° , Z 1 + Z 2=90. /ACB= 90° , .2+/3=90°Z 1 = / 3。在 ACE 和 CBF 中，AEC CFB13AC BC. AC珞 CBF (AAS) AE= CF, CE= BF EF= CE+ CF,EF= AE+ BF。(2)EF= AE- BF,理由如下：. AE± l , BF± l ,，/AEC= Z CFB= 90° , /1 +

12、/2 = 90°. /ACB= 90° ,2+/3=90° ,1 = /3。在 ACE 和 CBF 中AEC CFB13AC BC. AC珞 CBF (AAS)AE= CF, CE= BF EF= CF- CE,EF= AE- BF。 EF= AE- BF EF= BF AE证明同.【总结升华】解决动态几何问题时要善于抓住以下几点：(1)变化前的结论及说理过程对变化后的结论及说理过程起着至关重要的作用；(2)图形在变化过程中，哪些关系发生了变化，哪些关系没有发生变化；原来的线段 之间、角之间的位置与数量关系是否还存在是解题的关键；(3)几种变化图形之间，证明思路存

13、在内在联系，都可模仿与借鉴原有的结论与过程, 其结论有时变化，有时不发生变化.举一反三：【变式】已知：在 ABC中，/ BAC= 90° , AB= AC,点D为射线BC上一动点，连结 AQ以 AD为一边且在AD的右侧作正方形 ADEF(1)当点D在线段BC上时(与点B不重合)，如图1,求证：CF= BD(2)当点D运动到线段BC的延长线上时，如图 2,第(1)问中的结论是否仍然成 立，并说明理由.【答案】证明：(1)二.正方形ADEFAD= AF, / DAF= 90° / DAF- / DAC= / BAG- / DAC 即 / BAD= / CAF在 AB/口 AGF

14、 中，AB AGBAD GAFAD AF . ABD AGF (SA9 BD= GF(2)当点D运动到线段BG的延长线上时，仍有 BD= GF 此时 / DA斗 / DAG= / BAO / DAG 即/ BAD= / GAF 在 AB/口 AGF 中，AB AGBAD GAFAD AF . ABD AGF (SA9 BD= GF类型三、全等三角形判定的实际应用C4、如图，公园里有一条" Z字形道路ABGD其中AB/ GD在AB, BG, GD三段路旁各有一个小石凳 E, M F,且BE= GF, M在BG的中点.试判断三个石凳 E, M F是否 恰好在一条直线上？为什么？【答案与解析】三个小石凳在一条直线上证明：AB平行CD （已知）B= Z C （两直线平行，内错角相等） M在BC的中点（已知） BM= CM （中点定义） 在 BM即 CM冲BE CFB CBM CM. BM孽 CMF（SAS）EMB= / F