控制理论考试

1、一、简答（1）如何由一个传递函数来给出其对应的状态空间模型，试简述其解决思路？ 答：（1）单输入单输出线性时不变系统传递函数的一般形式是 若，则通过长除法，传递函数总可以转化成将 分解成等效的两个特殊环节的串联： 可得一个状态空间实现 串联法 其思想是将一个n阶的传递函数分解成若干低阶传递函数的乘积，然后写出这些低阶传递函数的状态空间实现，最后利用串联关系，写出原来系统的状态空间模型。并联法 其的思路是把一个复杂的传递函数分解成若干低阶传递函数的和，然后对每个低阶传递函数确定其状态空间实现，最后根据并联关系给出原来传递函数的状态空间实现。（2）状态转移矩阵的意义是什么？简述状态转移矩阵的任意两

2、个性质。答：意义：利用状态转移矩阵，可以从任意指定的初始时刻状态 矢量求得任意时刻t的状态矢量。性质一：或性质二：或性质三：或性质四：或性质五：对于方阵A和B，当且仅当时，有；而当时，（3）简述对偶系统的定义及对偶原理。答：对偶系统的定义：若给定的两个线性定常连续系统 ，满足下列关系：，则称系统和互为对偶。对偶原理：系统和是互为对偶的两个系统，则的能控性等价于的能观性， 的能观性等价于的能控性。或者说，若是状态完全能控的（完全能观的），则是完全能观的（完全能控的）。（4）介绍两种求解线性定常连续系统状态转移矩阵的方法。答：1.幂级数法设的解是的向量幂级数式中，都是维列向量，则，且，故状态转移矩

3、阵，记为：2.拉普拉斯变换法, , （5）什么是系统的能控性？简述判断线性定常连续系统能控性的两种方法。答： 如果存在一个分段连续的输入，能在有限时间区间内，是系统由某一初始状态转移到任一终端状态，则称此状态是能控的。若系统的所有状态都是能控的，则称此系统是完全能控的，或简称系统是能控的。 线性定常系统能控性判别准则有两种形式，一种是先将系统进行状态变换，把状态方程化为约旦标准型，再根据阵，确定系统的能控性；另一种方法是直接根据状态方程的阵和阵，确定其能控性。（6）什么是系统的能观性？简述判断线性定常连续系统能观性的两种方法。答： 如果对任意给定的输入，在有限观测时间,使得根据期间的输出能唯一

4、地确定系统在初始时刻的状态，则称状态是能观测的。若系统的每一个状态都是能观测的，则称系统是状态完全能观测的，或简称是能观的。 定常系统能观性的判别有两种方法，一种是对系统进行坐标变换，将系统的状态空间表达式变换成约旦标准型，然后根据标准型下的 C 阵，判别其能观性，另一种方法是直接根据 A 阵和 C 阵进行判别。yy（7）对一个由状态空间模型描述的系统，能够通过状态反馈实现任意极点配置的条件是什么？简述一种极点配置状态反馈制器的设计方法。答：采用状态反馈对系统任意配置极点的充要条件是完全能控。 极点配置状态反馈制器的设计方法找不到。（8）利用李雅普诺夫第二法判断线性定常系统稳定的充分必要条件是

5、什么？答：充分必要条件为：对任意给定的对称正定矩阵，李雅普诺夫矩阵方程有唯一的对称正定解。二、判断（ ）1. 由一个状态空间模型可以确定惟一一个传递函数。 （ ）2. 若一个对象的连续时间状态空间模型是能控的，则其离散化状态空间模型也一定 是能控的。 （ ）3. 对一个给定的状态空间模型，若它是状态能控的，则也一定是输出能控的。 （ ）4. 对系统，其Lyapunov意义下的渐近稳定性和矩阵A的特征值都具有负实部是一致的。 （ ）5. 根据线性二次型最优控制问题设计的最优控制系统一定是渐近稳定的。 （ ）6. 对一个系统，只能选取一组状态变量； （ ）7. 由状态转移矩阵可以决定系统状态方程的

6、状态矩阵，进而决定系统的动态特性； （ ）8. 若传递函数存在零极相消，则对应的状态空间模型描述的系统是不能控不能观的；（ ） 9. 若一个系统是李雅普诺夫意义下稳定的，则该系统在任意平衡状态处都是稳定的； （ ）10. 状态反馈不改变系统的能控性。 （ ）11. 具有对角型状态矩阵的状态空间模型描述的系统可以看成是由多个一阶环节串联组成的系统； （ ）12. 要使得观测器估计的状态尽可能快地逼近系统的实际状态，观测器的极点应该比系统极点快10倍以上； （ ）13. 若传递函数存在零极相消，则对应状态空间模型描述的系统是不能控的； （ ）14. 若线性系统是李雅普诺夫意义下稳定的，则它是大范围

7、渐近稳定的； （ ）15. 若线性二次型最优控制问题有解，则可以得到一个稳定化状态反馈控制器。（ ）16. 互为对偶的状态空间模型具有相同的能控性。 （ ）17. 一个系统的平衡状态可能有多个，因此系统的李雅普诺夫稳定性与系统受扰前所处的平衡位置无关。 （ ）18. 若一线性定常系统的平衡状态是渐近稳定的，则从系统的任意一个状态出发的状态轨迹随着时间的推移都将收敛到该平衡状态。 （ ）19. 反馈控制可改变系统的稳定性、动态性能，但不改变系统的能控性和能观性。 （ ）20. 如果一个系统的李雅普诺夫函数确实不存在，那么我们就可以断定该系统是不稳定的。（ ）21. 相比于经典控制理论，现代控制理

8、论的一个显著优点是可以用时域法直接进行系统的分析和设计。 （ ）22. 传递函数的状态空间实现不唯一的一个主要原因是状态变量选取不唯一。 （ ）23. 状态变量是用于完全描述系统动态行为的一组变量，因此都是具有物理意义。 （ ）24. 输出变量是状态变量的部分信息，因此一个系统状态能控意味着系统输出能控。 （ ）25. 等价的状态空间模型具有相同的传递函数。三、计算分析1、已知系统的传递函数为 （1） 采用串联分解方式，给出其状态空间模型，并画出对应的状态变量图； （2） 采用并联分解方式，给出其状态空间模型，并画出对应的状态变量图。 答:（1）将G(s)写成以下形式：这相当于两个环节和串连，

9、它们的状态空间模型分别为： 和 由于，故可得给定传递函数的状态空间实现是： 将其写成矩阵向量的形式，可得： 对应的状态变量图为： 串连分解所得状态空间实现的状态变量图（2）将G (s)写成以下形式： 它可以看成是两个环节和的并联，每一个环节的状态空间模型分别为：和 由此可得原传递函数的状态空间实现： 进一步写成状态向量的形式，可得： 对应的状态变量图为： 并连分解所得状态空间实现的状态变量图 2、已知系统的微分方程如下，写出其状态空间表达式解： (1)选择状态变量注意：状态变量可以任意选取，状态变量选取的不一样，就会导致状态空间表达式不一样。(2)写出微分方程组 (3)写出状态空间表达式3、试

10、建立图示电路的状态空间表达式。解 根据基尔霍夫定律列写回路、节点电压、电流方程为： 设状态变量 状态空间表达式 4、试建立图示系统的状态空间表达式。解 根据牛顿第二定律，列写出： 设状态变量 状态空间表达式 5、已知，求。此题解法非常多，此处仅给出课文中常用的三种方法。解法一：根据的定义直接计算 解法二：变换为约旦标准型 求特征值 解得 求的变换阵 解法三：拉氏反变换方法 6、考虑由下式确定的系统： , 试求其状态空间实现的能控标准型、能观标准型和对角线标准型。 解： 能控标准形为 能观测标准形为 对角标准形为 7、确定使下列系统为状态完全能控和状态完全能观的待定常数解：构造能控阵：要使系统完

11、全能控，则，即构造能观阵：要使系统完全能观，则，即8、求下列传递函数阵的最小实现。 （1） 解： ，系统能控不能观取，则所以，所以最小实现为，验证：9、给定系统状态空间模型，（1） 试问如何判断该系统在李雅普诺夫意义下的稳定性？ （2） 试通过一个例子说明您给出的方法；（3） 给出李雅普诺夫稳定性定理的物理解释。 答： （1）给定的系统状态空间模型是一个线性时不变系统，根据线性时不变系统稳定性的李雅普诺夫定理，该系统渐近稳定的充分必要条件是：对任意给定的对称正定矩阵Q，矩阵方程有一个对称正定解矩阵P。因此，通过求解矩阵方程，若能得到一个对称正定解矩阵P，则系统是稳定的；若得不到对称正定解矩阵P

12、，则系统是不稳定的。一般的，可以选取Q = I。 （2）举例：考虑由以下状态方程描述的二阶线性时不变系统： 原点是该系统的惟一平衡状态。求解李雅普诺夫方程：，其中的未知矩阵 将矩阵A和P的表示式代入李雅普诺夫方程中，可得 为了计算简单，选取Q =2I，则从以上矩阵方程可得：求解该线性方程组，可得：即判断可得矩阵P是正定的。因此该系统是渐近稳定的。 （3） 李雅普诺夫稳定性定理的物理意义：针对一个动态系统和确定的平衡状态，通过分析该系统运动过程中能量的变化来判断系统的稳定性。具体地说，就是构造一个反映系统运动过程中能量变化的虚拟能量函数，沿系统的运动轨迹，通过该能量函数关于时间导数的取值来判断系

13、统能量在运动过程中是否减少，若该导数值都是小于零的，则表明系统能量随着时间的增长是减少的，直至消耗殆尽，表明在系统运动上，就是系统运动逐步趋向平缓，直至在平衡状态处稳定下来，这就是李雅普诺夫意义下的稳定性。10、已知二阶系统的状态方程：，试确定系统在平衡状态处大范围渐进稳定的条件。解：方法（1）：要使系统在平衡状态处大范围渐进稳定，则要求满足A的特征值均具有负实部。即：有解，且解具有负实部。即：方法（2）：系统的原点平衡状态为大范围渐近稳定，等价于。取，令，则带入，得到若 ，则此方程组有唯一解。即其中要求正定，则要求11、试用lyapunov第二法确定下列系统原点的稳定性。（1） （2）解：（

14、1）系统唯一的平衡状态是。选取Lyapunov函数为，则 是负定的。，有。即系统在原点处大范围渐近稳定。（2）系统唯一的平衡状态是。选取Lyapunov函数为，则 是负定的。，有。即系统在原点处大范围渐近稳定12、已知系统状态方程为：，试设计一状态反馈阵使闭环系统极点配置为-1，-2，-3。解：依题意有： ，系统能控。系统的特征多项式为：则将系统写成能控标准I型，则有。引入状态反馈后，系统的状态方程为：，其中矩阵，设，则系统的特征多项式为：根据给定的极点值，得到期望特征多项式为：比较各对应项系数，可解得：则有：。13、使判断下列系统通过状态反馈能否镇定。（1）解：系统的能控阵为： ，系统能控。

15、由定理5.2.1可知，采用状态反馈对系统任意配置极点的充要条件是完全能控。又由于，系统能控，可以采用状态反馈将系统的极点配置在根平面的左侧，使闭环系统镇定。14、试用研究如下系统，在原点的稳定性。解：由题可知，且可对和求偏导数。确定系统的平衡点。由和可得系统平衡点为，即原点。计算。（3） 判断原点的稳定性。由和可以断定原点是渐进稳定的。当时，所以原点是大范围渐进稳定的。15、已知系统的状态空间描述如下：其中、均为实数： ，1 求当系统既可控又可观时，、应满足的条件。2 求系统的输入-输出传递函数。3 系统是否渐进稳定？解：1 系统能控性判据为： 系统能控的条件为： 即：， （1）系统能观测性矩阵为： 系统能观的条件为： 即：， （2）由式（1）和（2）可得系统