中考数学一轮复习知识点+题型专题讲义08整式的乘除与因式分解(学生版)

1、专题08整式的乘除和因式分解【思维导图】考点总结同底数耨强王乒的运茸高四我方积的秉方同底敬相除期彘去和因式分解单X电二邈心单式姿白多算多单小华 第十单涅公闪式造囚式分解公:式' 会一暇多财相垂特殊多项式相乘:平方若公式完全平方公式平方差公式二;全平方公式一 1JS的运算法则的应用一 .-印墓的原酸去则匕恢大小i三利用多蛔与多项式乘限中项的恃征求特定字母的值的方法|4乘法公式的合理运用整式的乘方与因式分解考查题型at招量徵熨眦睚加建艇meB正法公式的变形在解抖中的应用 ' 了衰式的化简求值一 .，且属去公式和几何圈哪话台的应用方，如"'' ' 一

2、1 9利用公式法解决代数式挛倩问题的方法【知识要点】知识点一整式乘法哥的运算性质（基础）：am - an = am+n （m n为正整数）同底数哥相乘，底数不变，指数相加.【同底数哥相乘注意事项】1）底数为负数时，先用同底数哥乘法法则计算，根据指数是奇偶数来确定结果的正负，并且化简到底。2）不能疏忽指数为1的情况。3）乘数a可以看做有理数、单项式或多项式（整体思想）。4）如果底数互为相反数时可先变成同底后再运算。1 . （2018 河北中考真题）若 2n+2n+2n+2n=2,贝U n=（）八1A. - 1B, - 2C. 0D.42. （2012江苏中考真题）若 3X9mX27m=3'

3、;一，则巾的值是（）A. 3 B. 4 C. 5 D. 63. （2019山东中考模拟）化简（-a2）?a5所得的结果是（）A. a7B. - a7C. a10D. - a10（a m）n = amn（m n为正整数）哥的乘方，底数不变，指数相乘.【同底数哥相乘注意事项】负号在括号内时，偶次方结果为正，奇次方为负，负号在括号外结果都为负。1. （2019浙江省温岭市第四中学中考模拟）下列计算正确的是（）A, a2?a3=a6B. （a2） 3=a6C, a6-a2=a4D, a5+a5=a102. （2019辽宁中考模拟）下列运算正确的是（）A.a2?W=2a2B.a2+a2=a4C.（a3）

4、2=a6D,a8+2=a43. （2018浙江中考模拟）计算（-a3） 2的结果是（）A .a5B.- a5C.a6D.- a6（ab） n= anbn（n为正整数）积的乘方等于各因式乘方的积.1. （2018湖南中考真题）下列运算正确的是（）2_3cA.x3x3x9B.x8x4x2C.ab3ab6 D. 2x 8x3D. 3a2- 2a2=12. （2018贵州中考真题）下列运算正确的是（）A . ( -a2)3= -a5B.a3?s5=a15C.( a2b3)2=a4b6am +an=a" n （aw0, mr n都是正整数，且 m> n）同底数哥相除，底数不变，指数减【同

5、底数骞相除注意事项】1 .因为0不能做除数，所以底数 aw0.2 .运用同底数哥法则关键看底数是否相同，而指数相减是指被除式的指数减去除式的指数。3 .注意指数为1的情况，如x8 + x= x7 ,计算时候容易遗漏或将 x的指数当做0.4 .多个同底数塞相除时，应按顺序计算。a°=1 （ aw 0）任何一个不等于零的数白零指数哥都等于l .1. （2016江苏中考真题）下列计算正确的是（）A . ?+ ?= ?B ? ? = ?C. (2?2)3 = 6? D. ? +?= ?2. （2018丹东市第十八中学中考模拟）下列计算正确的是).A. x1 2C.22D. ( x) x 03

6、. （2016福建中考模拟）下列运算正确的是A . 2a2+a=3a3B. (m2)3=m5C.(x+y) 2=x2+y2D. a6+3=a3考查题型一哥的运算法则的应用1. （2019浙江杭州外国语学校中考模拟）若2m=5, 4n=3,贝U43nm的值是（）9A .1027B. 25C. 2D.2. （2019海口市长流中学中考模拟）已知x+y 4=0,贝(J 2y?h 的值是(3.A.4.16B. - 16（2012山东中考真题）若 3?=4, 97B- 4?=71C. 一8,则3?-2y的值为(D.D.（2018江苏中考模拟）若（ambn）3a9b15,则m, n的值分别为A . 9,

7、5B. 3, 5C. 5, 3D, 6, 125. （2018湖南中考模拟）已知am=2, an=3 ,则 a3m+2n 的值是(A. 24 B. 36 C. 72 D. 6考查题型二 运用哥的原酸法则比较大小9991 19,人一a ）, by0 ,则下列结论正确是（9990D. ab 1B. a bC. a>b2741, c 961,则a、B c的大小关系是（A . a> b> cB. a>c>bC. a<b<cD. b>c>a知识点二整式乘除单项式x单项式单项式的乘法法则:单项式相乘，把系数、同底数哥分别相乘，作为积的因式；对于只在一个

8、单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.单项式乘法易错点:易错息单项式乘法概念系数相乘同底一靠相乘只在一个单项式含有的字母.连同它的指数作为积的一个因式先确定税的符号，再计算税的绝对值底数不变.指数相加相乘结果数据遗漏（出现字母照抄,避免遗漏数据）【注意】1 .单项式乘以单项式的结果仍是单项式。2 .运算顺序：先算乘方，再算乘法。1. (2017安徽中考模拟)(am)m (am)不等于()A. (am 2)mB. (am a2)m- C. am2 m2D. (am)3. （2019广西中考真题）计算： x（x 1）（） (am 1)m2. (2018山东中考模拟)计算：(-x )

9、3 - 2X勺结果是A. -2x4 B. -2x3 C. 2x4 D. 2x33. （2018湖南中考模拟）如果单项式3x4aby2与x3ya+b的和是单项式，那么这两个单项式的积是（A . 3x6y4B, - 3x3y2C, - 3x3y2D, - 3x6y4单项式x多项式 单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加【单项式乘以多项式注意事项 】1 .单项式乘多项式的结果是多项式，积的项数与原多项式的项数相同。2 .单项式分别与多项式的每一项相乘时，要注意积的各项符号。（同号相乘得正，异号相乘得负）3 .不要出现漏乘现象，运算要有顺序。1. （2018湖北中考真题

10、）计算（a-2） （a+3）的结果是（D, a2 a+6A . a2- 6B.牙+a 6C, a2+63m3）的结果是（2.（2019山东中考真题）计算 （2m）2 （ m m2B. -8m5C. 8m6D, -4m4+12m5A . x3 1B. x3 xC. x3 xD. x2 x多项式X多项式 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加.【多项式乘以多项式注意事项】多项式与多项式相乘时，多项式的每一项都应该带上它前面的正负号。多项式是单项式的和，每一项都包括前面的符号，在计算时一定要注意确定各项的符号。1. (2018内蒙古中考模拟)计算 (x

11、 1)(x 2)的结果为()A x22B x2 3x 2 C x2 3x 3 D x2 2x 22. (2018湖北中考模拟)计算(x-2) (x+5)的结果是()A x2+3x+7Bx2+3x+10Cx2+3x 10D x2 3x 103. (2015 广东中考真题)若(x+2) (x-1) =x2+mx+n ,贝U m+n=()A 1B -2C-1D 2乘法公式 完全平方公式：(a + b) 2=a2+2ab+b2(a b) 2= a2 2ab+ b2【扩展】扩展一 (公式变化 ) ： ?2+ ?2 = (?+ ?)2-2ab?2+ ?2 = (?- ?2) +2ab扩展二： (?+ ?2

12、) + (?- ?)2 = 2( ?2+ ?2)(?+ ?2) - (?- ?)2 = 4ab扩展三：?2+ ?2 + ?2= (?+ ?+ ?2) -2ab-2ac-2bc 平方差公式：(a+ b) (ab) = a2b2【运用平方差公式注意事项】1. 对因式中各项的系数、符号要仔细观察、比较，不能误用公式如： (a 3b)(3a-b) ，不能运用平方差公式2. 公式中的字母a、 b 可以是一个数、一个单项式、一个多项式。所以，当这个字母表示一个负数、分式、多项式时，应加括号避免出现只把字母平方，而系数忘了平方的错误1. (2018河北中考真题)将 9.52变形正确的是()A. 9.52=9

13、2+0.52B. 9.52= (10+0.5) (100.5)C. 9.52=102 - 2X 10 X 0.5+0.5D. 9.52=92+9 X 0.5+0.52. (2018四川中考模拟)已知x2+mx+25是完全平方式，则 m的值为()A 10B± 10C 20D ± 203. (2018甘肃中考模拟)已知一个圆的半径为Rcm,若这个圆的半径增加2cm,则它的面积增加(A . 4 71cmB.(2 兀 R+4>cm2 C. (4兀 R+4kcm2 D.以上都不对4. (2019 上海中考模拟)下列各式的变形中，正确的是()A. (-x-y)(-x + y) =

14、 x （2017海南中考模拟）已知长方形的面积为-y2B. ?厂x=1?1C. x2- 4x+ 3= (x- 2)2+ 1D. x+()2+x)=.广 1单项式+单项式般地，单项式相除，把系数与同底数哥分别 相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则 连同它的指数作为商的一个因式.【同底数骞相除注意事项】1.因为0不能做除数，所以底数aw0.2.运用同底数哥法则关键3 .注意指数为1的情况,计算时候容易遗漏或将x的指数当做0.4 .多个同底数塞相除时,应按顺序计算。A.（2018陕西中考模拟）卜列各式中，计算正确的是2x+3y=5xy B , x6+ ?=x3看底数是否相同，而指数相减是

15、指被除式的指数减去除式的指数C.(-2x （2019江苏中考真题）如图，数轴上有 O、A、y) 3= - 8x9y3D . x2y?x3y=x5y2.（2018湖南中考真题）下列运算正确的是（A.D.左3- 2a33a222a 3b 5ab B. ( ab) a bC.。为O原点，OA、OB分别表示仙女座星系、B表示的数最为接近的是（M87黑洞与地球的距离（单位：光年）.下列选项中，与点0 2.5x10A. 5 106B. 107C. 5 107D. 108多项式+单项式般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的 每一项 除以这个单项式，再把所得的商 相加.【解题思路】 多项式除以单项式问题转化

16、为单项式除以单项式问题解决。（2019河南中考模拟）下列运算结果正确的是（A.C.(x3-x2+x) +x=X-x B. (-a2) ?c3=a6(-2x2) 3= - 8x6D, 4a2 - ( 2a) 2=2a218x3y4+9xy2-27x2y2,长为 9xy,则宽为()A. 2x2y3+y+3xyB. 2x2y22y + 3xyC. 2x2y (2017江苏中考模拟)若(x+y)2=9, (x-y)2=5,则xy的值为()+2y 3xyD. 2x2y3+ y- 3xy3. (2015福建中考真题)下列运算正确的是()A .3 = ?B. ?+?= ?C .?+?= 1D . (?9 -

17、 ?)+ ?= ?整式的混合运算运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号时先算括号里面的。1. (2017安徽中考模拟)设 M=(x - 3)(x - 7), N=(x - 2)(x - 8),则M与N的关系为()A.MvNB.M>NC, M=ND,不能确定2. (2018广西中考模拟)点 A (a, 3)与点B (4, b)关于y轴对称，则(a+b) 2017的值为()A.0 B.T C.1 D, 720173. (2018 江苏中考真题)计算：(1) (-2) 2X 卜 3|- (J6) ° (2) (x+1) 2- (x2-x)考查题型三利用多项式与多项式乘积中项的特征求

18、待定字母的值的方法1. (2018山东中考模拟) 若(x-2) (x2+ax+b)的积中不含 x的二次项和一次项， 求(2a+b+1) (2a-b-1)-(a+2b) (- 2b+a) +2b 的值.考查题型四 乘法公式的合理运用1. (2019乌鲁木齐市第七十七中学中考模拟)计算：(1) (a+2b-c) (a-2b+c)(2)已知 6x-5y=10,求(-2x+y) (- 2x - y) - ( 2x-3y) 2 +4的值.考查题型五 乘法公式在解决数的计算问题中的巧妙应用。1 .( 2018 浙江中考模拟)计算：(-2018) 2+2017 X (- 2019).考查题型六 乘法公式的变

19、形在解题中的应用1 11. (2019甘肃中考模已知 x+=6,则x2+-2=()xxA. 38B. 36C. 34D. 322. (2018四川中考真题)已知实数a、b满足a+b=2, ab=3 ,贝U a-b=()4A . 1B. - -C.±lD. ±2 2A . -1B. 1C. -4D. 44 .(2019 浙江中考模拟)已知(m-n) 2=8, (m+n) 2=2,则 m2+n2=()A. 10B. 6C. 5D. 35 . (2015湖南中考真题)已知 a+b=3, ab=2,则a2+b2的值为()A. 3B, 4C, 5D, 6考查题型七整式的化简求值1 .

20、( 2019辽宁中考模拟)先化简，再求值：(x-2y) 2+ (x+y) (x-4y),其中x = 5, y =-.52 . (2017江苏中考模拟)先化简，再求值：2b2+(a + b)( a2b) (a b)2,其中a = 3, b =1.2考查题型八乘法公式和几何图形相结合的应用方法1) (2019浙江中考模拟)如图，将边长为m的正方形纸板沿虚线剪成两个小正方形和两个矩形，拿掉边长为n的小正方形纸板后，将剩下的三块拼成新的矩形.(1)用含m或n的代数式表示拼成矩形的周长；2) ) m=7, n=4,求拼成矩形的面积.2. (2018浙江中考真题)有一张边长为a厘米的正方形桌面，因为实际需

21、要，需将正方形边长增加 b厘米,木工师傅设计了如图所示的三种方案:小明发现这三种方案都能验证公式：a2+2ab+b2= (a+b) 2,对于方案一，小明是这样验证的: a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2= (a+b) 2请你根据方案二、方案三，写出公式的验证过程.万案、 . >_>_» k-方案三： 知识点四 因式分解(难点) 因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解.【因式分解的定义注意事项】1. 分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可；2. 因式分解必须是恒等变形；3.

22、因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止 因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式因式分解的常用方法：提公因式法 【提公因式法的注意事项】1 )定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数。2)定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母。3)定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂。4)查结果：最后检查核实，应保证含有多项式的因式中再无公因式。公式法 运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用；平方差公式：a 2b2= (a + b) (a b) 完全平方公式：a2+2ab+b2= (a+b) 2a2 2ab+ b2= ( a b) 21. (2019安徽中考模拟)下列分解因式正确的是()22A x 4x x(x 4)B x x