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文档简介
1、勾股定理(提高)【学习目标】1 .掌握勾股定理的内容及证明方法,能够熟练地运用勾股定理由已知直角三角形中的两条 边长求出第三条边长.2 .掌握勾股定理,能够运用勾股定理解决简单的实际问题,会运用方程思想解决问题.3 .熟练应用勾股定理解决直角三角形中的问题,进一步运用方程思想解决问题.【要点梳理】【高清课堂勾股定理知识要点】要点一、勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为 一.222a, b ,斜边长为c,那么a b c .要点诠释:(1)勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系(2)利用勾股定理,当设定一条直角边长为未知数后,根据题目已知的线
2、段长可以建立方程求解,这样就将数与形有机地结合起来,达到了解 决问题白目的.(3)理解勾股定理的一些变式:22,2,2222.2a c b , b c a , c a b 2ab.要点二、勾股定理的证明方法一:将四个全等的直角三角形拼成如图(1)所示的正方形.图(1)中牙正才皿£3=(。+&尸=苫+4,而,所以M +E2 -c2 .方法二:将四个全等的直角三角形拼成如图(2)所示的正方形.图(2)中染才小二3=9一' +,所以/ =方法三:如图(3)所示,将两个直角三角形拼成直角梯形1.2.3.利用勾股定理,作出长为金的线段.【典型例题】类型一、勾股定理的应用、如图所
3、示,在多边形 ABCD43, AB= 2 边形ABCD勺面积./A= 45° , /B=/D= 90°,求多【答案与解析】解:延长AD BC相交于点E/B=90° , / A= 45/E=45° , ABZADC= 90° , . CD = DE= 1Sa abe 1 2 2=BE= 2/DCE= 45° ,2,S*A DCESi边形 ABCDS»A ABES»A DCE21212要点三、勾股定理的作用已知直角三角形的任意两条边长,求第三边; 用于解决带有平方关系的证明问题;5(如直角三角形、正方形、【总结升华】
4、求不规则图形的面积, 关键是将其转化为规则的图形 等腰三角形等),转化的方法主要是割补法,然后运用勾股定理求出相应的线段,解决面积 问题.举一反三:【变式】(2015?西城区模拟)已知:如图,在 ABC BC=2 S:aabc=3, /ABC=135 ,求 AG AB的长.【答案】解:如图,过点 A作ADLBC交CB的延长线于 D, 在4ABC中,二飞 aab(=3, BC=2, .ADJ=3, BC 2 . /ABC=135 , ./ABD=180 - 135° =45° , .AB由AD=3,BD=AD=3在 RtADC中,CD=2+3=5由勾股定理得,ac=/au?+
5、CD ?,卜? + 52寸乳,2,周长为2 J6 ,求此三角形的面积.娓,【思路点拨】 欲求Rt的面积,只需求两直角边之积,而由已知得两直角边之和为结合勾股定理又得其平方和为4,于是可转化为用方程求解.【答案与解析】解:设这个直角三角形的两直角边长分别为a、b ,则ab22>/6 口口 abZ 即a2 b2 22a2 b2 4 将两边平方,得a2 2ab b2 6 r11,得2ab 2,所以-ab -221因此这个直角三角形的面积为 1.2【总结升华】 此题通过设间接未知数 a、b,通过变形直接得出 ab的值,而不需要分别求2出a、b的值.本题运用了方程思想解决问题.3、(2015春?黔
6、南州期末)长方形纸片ABCM, AD=4cmg AB=10cmg按如图方式折叠,使点B与点D重合,折痕为EF,求DE的长.【思路点拨】 在折叠的过程中,BE=DE从而设BE即可表示AE.在直角三角形 ADE中,根 据勾股定理列方程即可求解.【答案与解析】解:设 DE=xcm 贝U BE=DE=x AE=AB- BE=10- x, ADE中,DE2=AE2+AD2,即 x2= (10-x) 2+16. x= ( cmi). 5答:DE的长为二Jcm.【总结升华】注意此类题中,要能够发现折叠的对应线段相等.类型二、利用勾股定理解决实际问题 4、如图所示,在一棵树的10 m高的B处有两只猴子,一只爬
7、下树走到离树 20m处的 池塘A处,另外一只爬到树顶 D后直接跃到A处,距离的直线计算,如果两只猴子所经过的 距离相等,试问这棵树有多高?【思路点拨】 其中一只猴子从 B- 8 A共走了(10+20)=30 m ,另一只猴子从 B-AA也共 走了 30 m,并且树垂直于地面,于是这个问题可化归到直角三角形中利用勾股定理解决.【答案与解析】解:设树高 CD为 x,则 BD= x -10, AD= 30( x 10)=40x,222在 RtACD中,20 x (40 x),解得:x = 15.答:这棵树高15m .【总结升华】本题利用距离相等用未知数来表示出DC DA然后利用勾股定理作等量关系列方程求解.举一反三:【变式】如图,有一个圆柱,它的高等于12cm ,底面半径等于 3cm ,在圆柱的底面 A点有一只蚂蚁,它想吃到上底面上与 A点相对的B点的食物,需要爬行的最短路程是多少 ?(
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