对数函数第三讲

1、复旦基础教育中心寒假班讲义编写人：吴老师对数函数第三讲上海市重点高中难题新题精讲精练高一对数与对数函数第三讲对数函数：1 .对数函数的定义：函数尸。&'（>。且°"）叫做对数函数;它是指数函数 y = a x （a > 0且+ 1） 的反函数.对数函数y = log«x （a>0且a*l）的定乂域为（0,+s）,值域 为/ （一。0,46）.2 .对数函数的图象由于对数函数尸gX与指数函数尸，互为反函数,所以）,=log, X的图象与、的图象关于直线10对称.因此，我们只要画出和厂的图象关于尸入对称的曲线，就可以得到产叱户的图象，

2、然后根据图象特征得出对数函数的性质.3.对数函数的性质由对数函数的图象,观察得出对数函数的性质见a>l0<a<l定义域：（0, +°°）值域：R过点（1, 0）,即当x=l时，y=0a- e (0,1)时 y<0x (l,+oo) y > 0x e (0,1)时 y >0x e (1,-hz>) y < 0在（0, +°°）上是在（0, +°°）上是减函数增函数基础篇：1.求下列函数的定义域:（1）y = 1咆 x解：由x>0log2 x e R得x>0，所求函数定义域为：x

3、|x>0由4x-3>0Jogo.5(4x 3)N。以-3>04x-3<fx>-4x<3工所求函数定义域为WiVxQ(3) y=(4)y = Jlog3 x解：由）占>°得M，所求函数定义域为x|x13xhO '由J，所求函数定义域x> 1为x|x212.比较下列各组数中两个值的大小:（1 ） 10go31.8,1O&3 2.7 ； （ 2 ） log4 5.1,log“ 5.9（ > 0,4 W1）.（3）lo 7,log7 6 ； （4）log3 r,log2 0.8解：考查对数函数” =因为它的底数2>1

4、,所以它在（0, +8）上是增函数，于 Mlog23.4<log28.5.考查对数函数y-因为它的底数 0<0. 3<1,所以它在（0, +8）上是减函 数，于是10go J8>10&.3 2.7.小结1:两个同底数的对数比较大小的一般 步骤：确定所要考查的对数函数；根据对数底数判断对数函数增减性;比较真数大小，然后利用对数函数的增 减性判断两对数值的大小当”时，）T°gx在（0, +OO）上是增函数, 于是logu 5.1 <lo5.9当0<a<l时，y = lo&x在（0, +8）上是减函数, 于是1。& 5.1

5、> log0 5.9小结2：分类讨论的思想.对数函数的单调性取决于对数的底数是 大于1还是小于L而已知条件并未指明，因 此需要对底数进行讨论，体现了分类讨论的 思想，要求学生逐步掌握.分析：由于两个对数值不同底，故不能直 接比较大小，可在两对数值中间插入一个已知 数，间接比较两对数的大小.解：（l）vlog6 7 >106 = 1 9 log7 6 < log7 7 = 1,.-.log67>log76.（2） / log3 tc > log31=0, log2 0.8 < Iog21 = 0, log3 冗 > log2 0.8 ； 小结3：引入中间

6、变量比较大小例3仍是利用对数函数的增减性比较两个对数的大小，当不能直接比较时，经常在两个对数中间插入1或0等，间接比较两个 对数的大小.3.求下列函数的定义域、值域：(1) y = log( (-X2 + 4x + 5)(2)y = Jloga"-%)(。 1).解：要使函数有意义，则须：-x2 +4x + 5>0=>x2 -4.v-5<0=>-1 <x<5由-l<x<5,在此区间内(-x2 +4x + 5)nux =9工 0<-x2 +4x + 5<9.从而 log1 (x2 +4x4-5) > logj 9 = 2

7、即：值域为心一 2六定义域为T, 5,值域为22).要使函数有意义，则须：tx).o S由 D ： - 1 < A- < 0由：T 0 < 4 < 1 时则须-x2 -x< 1 , xeR 综合得-卜.0 < -X2 -A < 4当一 1 < x < 0 时(犬-x)max =1 、 1.loga(-x-,)>logfl-，定义域为(-1, 0),值域为小嗝卜8).4,已知下列不等式，比较正数m、n的大小：(1) iogdm<iog<zn(0<a<l)(2) iogf/m>iogrtn(a>l) .

8、解：考查函数y=bg.xV0<a<l,二函数y=io&x在(0, +8)上是减函数 k)& mV io& n，(4)考查函数y=b&xVa>l,函数y=i°&x在(0, +8)上是增函数 loamAio&n,Am>n.5 .求函数y = logj (x2 - 2x - 3)的单调区间，并用单调定 2义给予证明.解：定义域 x2 -2工-3>0 =工>3%-1单调减区间是(3,+s) 设X仁(3,+o3)J V/贝1)兄=logj(x)2 - 2$-3)%=log (x22 - 2xi - 3)22(x

9、 J - 2X1 3) -2x2 3) (x2 Xj )(x2 +x 2) x2 > %) >3 x2 - Xj > 0 x2 + - 2 > 0 (xj - 2Xj -3) > (a2' - 2x, - 3)底数。< 5 < 1 力 一 y V ° BP 乃 < )1 ，了在(3,+S)上是减函数.同理可证:上是增函数.6 .已知y=i。&(2-1)在0, 1上是x的减函数,求a的取值范围.解：Va>0Kal当a>l时，函数t=2-小>0是减函数由y=iog (2-优)在0,1上x的减函数，知y=io

10、gt是增函数，Aa>l由 X, 0, 11时，21n2-a>0,得 aV2, Al<a<2当0<a<l时，函数长2-，>0是增函数 由 yiog.(2-/)在0,1上 x 的减函数，知 y=iog<It 是减函数，A0<a<l.由 X, 0, 11时，2-. >2-1>0, A0<a<l 综上述，0al或lVaV2.7 .已知/也詈且皿是奇函数(1)求m的值；(2)根据(1)的结果，判断幻在)上的单调性，并加以证明;解：(1)由f(-x) = -f(x)>loga +1nx = -loga J"

11、 O I -nrx2 = 1-x2对一切实数X都成立 -x-1x-1检验知(2)设g(x) = W = l +三，并设任意的 X| > Lx、> 1. JLXj < x、, x-1x-1222（x-x.） 八所以g（x）在（1什）上是减函数，从而al 时， f（x,）f（x2） 9 f（x）在（1,2）上是减函数。0<a<l 时， f(Xl)<f(X2) ff（X）在 （1,+s）上是增函数。8,已知函数/(x) = logaF"(a>0,4Hl) (10，) -x（1）求/的定义域；（3，）（2）判断函数的奇偶性，并加以证明；（3，）(3)当0<<1时,求使心）。的的取值范围。（4）解：(1) j2，1-x，(x + l)(x-l) <0/. -1 < x< 1即定义域为(山)3，(2)任取一(一1,1)“ 、11+XJ(X)= log。-1 X” 、