考点16两角和与差的正弦、余弦和正切公式、简单的三角恒等变换

1、考点16 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 单的三角恒等变换、选择题1. （2012 山东高考理科T 7）若sin2 =辽4 2 ,8，则 sin (3(A) 54(B) 5(C) 43(D) 4【解题指南】本题考查同角三角函数的基本关系及二倍角公式cos2 12si n2 的sin变形1 cos 2【解析】选D.由于,所以cos20,sin 0sin 2因为cos2所以13.78又 cos21 2si n2sin,所以1 cos222. （2012 江西高考理科4)卄ta n若1tan,则 sin2=()1A. 5B.C.D.【解题指南】通过切化弦并通分化简,逆用倍角公式可得 sin2【解析

2、】选D .Q tan - tansincos,4 cossin1sin 22.2 2 sin cos3. （2012 江西高考文科T4)若 sin cos2，贝y tan2 a =(3A. - 4B.C.-D.【解题指南】先由已知条件求得tan,再用倍角公式求得tan2【解析】选B因为sinsin coscostan1所以tan112，解方程得tantan 2所以根据倍角公式得34，故选B.1b f (lg )5【解析】选C.f (lg5)2sin (lg5 -)1 cos(2lg5 21 si n( 2lg5)24. （2012 江西高考文科f(x) si n2(x )T 9)已知4 若 a

3、=f (lg5 ), 则（ ）A.a+b=0B.a-b=0C.a+b=1D.a-b=1【解题指南】将f x进行降幕，然后求得a、b.1 2 1f (lg 5) sin (lg- -)554f (x ) = sinx -cos<1 si n(2lg5)2 ，则可得a+b=1.5. （2012 湖南高考理科T 6）函数f （x） =sinx-cos（x+ 6）的值域为（）A -2 ,2 B 卜 3 3 C -1,1 D 卜2 ,2 【解题指南】先将f（x）利用两角的和差的正弦、余弦公式化为Asin（wx + f ）的形 式，再利用三角函数的有界性确定f（x）值域.【解析】选B.1+ sinx

4、21 sinx - - cosx =3 sin2 2P6 x 蝄 R,x- p蝄R, f (x)?犏|応血故选B。二、填空题6. (2012 江苏高考T 11)设 为锐角，若cos( )64 sin(2 )5，贝S12的值【解题指南】观察角之间的联系再从倍角公式,和角的变换角度处理。cos( )【解析】因为 66 (0,2) sin(所以sin(2 3) 2cos(6)Sin(6)22425cos(23)2cos2(6) 1 25所以sin(2 刁 sin(2 3)屮sin(217血 )cos cos(2 )sin34345017 .2【答案】苛7. (2012 福建高考理科17)(本小题满分

5、13分)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数.(1)22sin 13 cos 17 sin13 cos17 ；(2)2 2sin 15 cos 15 sin 15 cos 15 ；(3)2 2sin 18 cos 12sin18 cos 12 ；(4)2 2sin ( 18) cos 48 sin( 18) cos48 ；2 2sin ( 25) cos 55 sin( 25) cos55(I)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(H)根据(I)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论.【解题指南】 本题主要考查同三角函数的关系，两角和与差的三

6、角函数公式,二倍角公式等基础知识，考查运算求解能力、抽象概括能力、推理论证能力,考查特殊与一般思想、化归与转化思想.【解析】解法(I )选择(2)式,计算如下:sin215cos215sin 15 cos15 1-si n302(II )三角恒等式为.2 sin2, cccos (30)sincos(30证明如下:sin22cos (30sin cos(30sin2(cos 30cossin 30 sin)2 sin(cos 30 cossin 30 sin )sin23 2cos4、 3 .sin2cos1 . 2sin4 3 .sin2cos1 . 2sin23 .sin43 cos4解法

7、二(I)同解法sin2(II )三角恒等式为2cos (30)sincos(30证明如下:2 2sin cos (30) sin cos(301 cos 221 cos(60 2 )sin(cos 30 cos sin 30 sin1 1cos22 21(cos60 cos 2sin 60 sin 2 ) sin2cos1 . 2sin11c11小.3 . c1“c、cos 2cos 2sin 2sin 24(1 cos2 )222 44411ccos 211ccos 2344 448. （2012 广东高考理科T 16）（本小题满分12分）已知函数f(x) 2cos( x0,x R）的最小正

8、周期为10(1)求的值;(2)设0,2，f(55 )6,f(55 )35617，求cos()的值.T【解题指南】（1）根据周期公式21 |,可求出值.f （5（2）解本小题的关键是根据J 6f(5 J 1635 和617 求出 sin cos的值,然后再给，的范围，求出cos ,sin，再利用两角和的余弦公式即可求解【解析】（1）由于函数f（x）的最小正周期为1010Q f (5) 312cos (5即62cos(2）65sin5 、16仝f(5)又61712cos (55)2cos16Jcos856617174 .15又Q,o, 2】，cos,si n517cos()cos，cossin s

9、in483 1513359. （2012 广东高考文科T 16）已知函数f(x) Acos(4 6),x R,且 f(-)2（1）求A的值;0, ,f(4 么)3£,f(4 Z ) 8(2)设2335 求cos()的值.【解题指南】（1）将x=3代入函数f（x）的解析式，建立关于A的方程，解方程即可求解。（2）解本小题的关键是根据f（5 T）f（5丄）兰5和617求出sin ,cos的值，然后再给,的范围，求出cos ,sin,再利用两角和的余弦公式即可求解。【解析】Q £)2 Ac% F2,cos4Q f (4- 330172cos(2）3017,sin15仃又Qf(43

10、)2cos1 (4-4362coscos0, Jcos8 . ,sincos(45817cos1517cos1385sin sin10.(2012 湖北高考理科T17)已知向量a=b=I -cossin3cnsivr),设函数 f (x) =a b+的图象关于直线x= n对称，其中为常数，且(1) 求函数f (X)的最小正周期；s【解题指南】(2) 若y=f (x)的图象经过点求函数f (x)在区间上的取值范围.本题考查三角函数的图象与性质，解答本题的关键是把函数f ( X)化为Asin( x)k的形式，再利用它的图象与性质解答.sin2 x cos2 x 2、一 3 sin xcos【解析】

11、(1).Q f (x) a?b、3sin 2 x cos2 x2si n(2 x -)且直线x的图象的一条对称轴,所以f (X)(2).由 y=fk 2(kz)丿,即的最小正周期为(x)的图象过点0)，f(4)052sin( 6 2 62sin 4f (x)则()52sin(一 x3又x 0, T,则3X6 朮所以函数f (X)的值域为1、2、2 V11. (2012 天津高考理科T 15)已知函数f(x)引心+亍)亦(涙3)沁，x r.(I)求函数f(x)的最小正周期;(H)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值。4 4【解题指南】根据两角和与差的正弦公式、二倍角的余弦公式，及三角函数的性质进行变换、化简求值【解析】(I)f(x)sin