最新13平面向量数量积最值问题的求解策略

1、平面向量数量积最值问题的求解策略近几年,平面向量数量积的最值问题频频出现在各地的高考卷上，成为高考中的一个热点问题，现以几例具体阐述此类问题的解决途径.、利用函数思想方法求解 例1、给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角为120°.如图所示，点C在以O图1为圆心的圆弧AB上变动若OC =xOA yOB,其中 x, y R ,则x y的最大值是分析：寻求刻画 C点变化的变量，建立目标 x y与此变量的函数关系是解决最值问题的常用途径。1 J3解:设.AOC - v ,以点O为原点，OA为x轴建立直角坐标系，则A(1,0)，B(,)，2 2C(cos psin J)。x- =

2、cos-_2” si n，2t OC = xOA yOB ,1(cossin 旳二 x(1,0) y(, 22x y=cos 3sin 八 2sin()(0)。63因此，当二=3时，x y取最大值2。T T T例2、已知OA =(1,7),OB =(5,1),OP =(2,1),点Q为射线OP上的一个动点，当qaLqb取最小值时，求OQ.分析：因为点Q在射线OP上，向量OQ与OP同向，故可以得到关于 OQ坐标的一个关系式，再根据QAlQB取最小值求oQ.解：设 OQ =xOP =(2x,x),(x _0)，则 QA =(1 2x,7 x),QB =(5 2x,1 x).QAQ=(12x)(52

3、x) (7x)(1 x)= 5x2 20x 12 = 5(x 2)2 一8.当x = 2时，QA|_QB取最小值-8，此时OQ二(4, 2).二、利用向量的数量积 m，n兰m n求最值例3、厶ABC三边长为a、b、C,以A为圆心,r为半径作圆,PQ为直径，试判断 P、Q 在什么位置时，BP_CQ有最大值。分析：用已知向量表示未知向量，然后用数量积的性质求解。:AB bp =AP,AC CQ=AQ 一 -APFT t t t.BPLCQ =(APAB)£AP 一 AC)二r2 - AB_AC； r ' = -r2 ABH解:AC)AB - AC)2 rAP与CB同向时,巳AQB

4、CQ有最大值。三、利用向量模的性质当且仅当求解例4：已知：一3 =2,b = (cosT,sin日),求a1的最大值与最小值。分析：注意到a =(a - b) b，考虑用向量模的性质求解。解：由条件知设 ab 二 c，贝 y a=b c，:c； ；b C+b 彳：1 书 ,1兰兰3。所以当b与c同向时,a取最大值3 ；当b与c反向时,取最小值1。四、利用几何意义，数形结合求解例5、如图，已知正六边形T TPP2P3P4P5P6，下列向量的数量积中最大的是(A) PR PP3(B ) RP2 日卩4T(C) RP2 pP5(D ) pP2，pP6分析：平面向量数量积PPLrRQ =1,2,3,4

5、,5,6)的几何意义为"pplpg等于RP2的长度与帚在PP2方向上的投影Pp1 cos pp2,PP；的乘积。显然，由图可知，"PP3在"PP2方向上的投影最大，故选(A)。例6、a与b是两个夹角为1200的单位向量，且p+q=1pa qb的最小值是分析：如图 3，设oA =a,oB =b,oc = pa ,b则OC =pOA+(i_ p)oB 即BC =pBA 因此点C在直线AB上，显然当OC_AB时,Apa+qb'最小，其最小值为1。【经典例题赏析】一、借助基本的向量运算降低问题难度例1:(05年江苏高考试题)在厶ABC中,O为中线AM上一个动点,若

6、AM =2,则 T T TOA (OB +OC)的最小值是.分析:(如图)本题的突破口关键在于 AM为ABC的中线,故易知OB OC =2OM ,所以：OA (OB OC) =OA (2OM ) = 2(OA OM )从而把不共线向量数量积的问题转化为共线向量数量积的问题.解：；AM 为 ABC 的中线.OB OC 二 2OMOA (OB OC) =OA (2OM ) =2(OA OM 2|OA| |OM | cos =2|OA | | OM |又 |OA | |OM | 乞(|OA| |OM |)224=1 OA (OB OC) - -2例2:（04年湖北高考试题）在Rt ABC中，BC =

7、 a若长为2a的线段PQ以A点为中点，问PQ与bC的夹角r取何值时BP CQ的值最大？并求出分析:本题的突破口关键在于 P, A,Q三点共线,从而联想到把BP和CQ作如下的分解 :BP总AP忌PQ ,CQ = CA + AQ =2 2T T T T 1 T T T 11 BP CQ 二 BA CA PQ (BA - CA) PQ 24PQ|BC |cos日- a2 = a2 cos日- a2这个最大值.分解之后，真可谓是海阔天空.故:BPCQmPQ BC-a2|pq2 2” _TT T t r T r 1 r 1+212PQ(BA-CA) PQ 二 BA CA 二又：BA _CAPQ |= 2

8、a,| BCa解:;BP CQ =(BA AP) (CA AQ)二(BAPQ) (CA PQ)BP CQ 二 BA CA 12；PQ£忌 24 .BP CQ PQ BCa2 =1|PQ|BC|cosr a2 二a2cosr -a当cos“=1,即“ -0（ PQ与BC同向）时,BPCQ取到最大值0.二、建立直角坐标系降低问题门槛对于上述两道高考试题，应用向量的基本运算把不共线的数量积问题转化为 共线的或者是易求的数量积问题，从而达到解决问题的目的.但是从纯几何的角 度出发,对学生的思维层次要求较高，对于此类问题我们还可以借助建立直角坐 标系的方法，降低问题的难度.JrAc例1:另解：

9、以M点为圆心，AM所在直线为y轴,建立如图所示的直角坐标系.设 A(0,2), B(x,y),O(0,z),则 C(-x,-y)TTTOA =(0,2z),OB =(x,yz),OC =(x,yz)；OB OC =(0, -2z) (0 乞 z 2)2 OA (OB OC) =(2-z)(-2z) =2(z-1) -2故OA （OB OC）的最小值为-2例2:另解：以A点为原点,AB边所在直线为x轴,建立如图所示的直角坐标系 设.CAB 二:-,PQ与 AB 的夹角为-则 B(acos： ,0), C(O,asin ：)P( -a cos :, -as in :), Q(acos :, as in :),asin 7 -asin ：).BP =(-a cos ：-acos ： ,-asin -), CQ = (acosBP CQ - -a2 cos2 -a2 cos cos ： -a2sin2 ： a2sin ： sin :.当COS（二亠卩）=_1即'：亠:=二（PQ与BC同向）时,BP CQ的最大值为0-a21 cos(_：1 - )点评:通过建立适当的