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文档简介

1、四大类问题中数形结合思想的应用一、数形结合思想在函数中的应用例1 已知二次函数的图像以原点为顶点且过点，反比例函数的图像与直线的两个交点间的距离为，. 求的表达式; 证明:当时,关于的方程有三个实数解.解:由已知,设, 由,得,. 设,它的图像与直线的交点分别为,由,得, .故 证明:法一:由得, 即 在同一坐标系内作出和的大致图像,其中的图像是以坐标轴为渐近线,且位于第一、三象限的双曲线,的图像是以为顶点,开口向下的抛物线.因此, 与的图像在第三象限有一个交点,即有一个负数解.又,当时,当时,在第一象限的图像上存在一点在图像的上方.与的图像在第一象限有两个交点,即有两个正数解.因此,方程有三

2、个实数解.法二:由，得，即，得方程的一个解.方程化为,由,得,.若,即则,即.得或，故不成立.时, 有三个实数根.点评 证明或探求方程的根的个数问题是课标新增的内容,解决这类问题的常用方法有两种,一是将方程转化为,然后研究函数零点的个数；二是将方程转化为然后画出与的图像.结合函数图像研究与交点的个数,即方程根的个数.二、数形结合思想在三角问题中的应用例2 求下列函数的定义域 解: 若使函数有意义,则. .利用余弦函数的简图 得原函数的定义域为. 若使函数有意义,则. 法一:在同一坐标系中画出上和的图像,如下图所示 由图像知,原函数的定义域为. 法二:, 将视为一个整体,由正弦函数的图像知,解得

3、, 所以原函数的定义域为. 点评 解三角不等式,利用三角函数线和图像很方便、直观，要注意利用数形结合的思想.三、数形结合思想在不等式中的应用例3 若不等式恒成立,求实数的取值范围. 解:在同一坐标系中画出函数及的图像(如图所示),由不等式恒成立知函数的图像总在函数的图像的下方,所以,函数函数的图像也必须经过点,因此,.点评 此题属于不等式恒成立问题,利用图像的上下位置关系,确定直线的位置,再还原即可.解不等式或证明不等式问题经常联系函数的图像.根据不等式中量的特点,选择适当的两个(或多个)函数, 利用两个图像的上下位置关系解决不等式的解的问题,往往可以避开繁琐的运算,获得简洁明快的解答.四、数形结合思想在解析几何中的应用例4 设是抛物线上的点，若点到直线的距离最小，求点的坐标. 解:法一:设点的坐标为,如图平移直线至其过点与抛物线相切,则点到直线的距离最小. 过点的切线的斜率为 故点的坐标为. 法二：设点的坐标为,有点到直线的距离公式得 由上式可知，当时，. 点的坐标为. 点评 (1)利用待定系数法设出抛物线上点的坐标,在利用二次函数求最值,是解决关于距离问题的常用方法,注意利用导数求过抛物线上一点的切线的斜率是非常

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