导数的几何意义

1、创新设计创新设计1.1.3内容标准导数的几何意义导数的几何意义通过函数图象直观地理解导数的几何意义1课前预习课堂互动课堂反馈创新设计创新设计知识点1导数的几何意义函数yf(x)在点xx0处的导数的几何意义是曲线yf(x)在点斜率 也就是说，曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的_f(x0)相应地，切线方程P(x0，f(x0)处的切线的斜率是 _yf(x0)f(x0)(xx0)为_2课前预习课堂互动课堂反馈创新设计创新设计【预习评价】已知曲线f(x)x21上一点P(1，0)，则在点P处切线的斜率为_f（1x）f（1）（x） 2xlimlim解析 f(1)?x? 0?x? 0 xx?x?

2、02lim(x2)2，即斜率k2. 答案23课前预习课堂互动课堂反馈创新设计创新设计知识点2函数的导函数当xx0时，f(x0)是一个确定的数， 这样， 当x变化时，f(x)是x的一个函数，称f(x)是f(x)的导函数(简称导数)f(x)f（xx）f（x）也记作y，即f(x)ylim. x? x? 0 4课前预习课堂互动课堂反馈创新设计创新设计【预习评价】思考联系？提示导函数f(x)与函数在xx0处的导数f(x0)相同吗？它们有什么区别与不相同(1)两者的区别：由导数的定义知，f(x0)是一个具体的值，f(x)是由于f(x)在某区间I上每一点都存在导数而定义在 I上的一个新函数，所以两者的区别是

3、：前者是数值，后者是函数(2)两者的联系：在xx0处的导数f(x0)是导函数f(x)在xx0处的函数值，因此是函数在某一点处的导数.5课前预习课堂互动课堂反馈创新设计创新设计题型一求曲线在某点处的切线方程?1?1【例 1】 求曲线yx在点?2，2?处的切线方程 ? 11?2x2111limlim?2，?解 因为y|x=2? ， 所以这条曲线在点x? 0?x? 02?4? x2（2x）111处的切线斜率为 ，由直线的点斜式方程可得切线方程为y (x2)，424即x4y40. 6课前预习课堂互动课堂反馈创新设计创新设计规律方法 一般地，设曲线C是函数yf(x)的图象，P(x0，y0)是曲线C上的f

4、（x0 x）f（x0）ylim定点，由导数的几何意义知klim?，继而由点x?0 xx?x?0与斜率可得点斜式方程，化简得切线方程 7课前预习课堂互动课堂反馈创新设计创新设计【训练1】若曲线yx33ax在某点处的切线方程为y3x1，求a的值3解 yx3ax. （xx） 3a（xx）x3axylim x2233x x3x（x） （x） 3axlim222lim?x?03x 3xx(x) 3a3x3a. ?x? 0 x?x? 033设曲线与直线相切的切点为P(x0，y0)， ?3?23a1，2?2?3x03a3，2结合已知条件，得?3解得 ?a1. 2?x03ax0y03x01，3?4?x0，?2

5、8课前预习课堂互动课堂反馈创新设计创新设计题型二求过曲线外一点的切线方程22【例2】已知曲线y2x27，求曲线过点P(3，9)的切线方程2（xx） 7（2x7）ylimlimlim (4x2x)4x. 解 y?x?0 x?x?0?x?0 x由于点P(3，9)不在曲线上 设所求切线的切点为A(x0，y0)，则切线的斜率k4x0， 故所求的切线方程为yy04x0(xx0) 将P(3，9)及 2y02x07 代入上式，得29(2x07)4x0(3x0) 解得x02或x04，所以切点为(2，1)或(4，25)从而所求切线方程为8xy150或16xy390.9课前预习课堂互动课堂反馈创新设计创新设计规律

6、方法若题中所给点(x0，y0)不在曲线上，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程10课前预习课堂互动课堂反馈创新设计创新设计1【训练 2】 求过点A(2， 0)且与曲线yx相切的直线方程 解 易知点(2，0)不在曲线上，故设切点为P(x0，y0)，由 11x0 x x10limy|xx0?x?02， xx01得所求直线方程为yy0 x2(xx0) 0由点(2，0)在直线上，得2x0y02x0，再由P(x0，y0)在曲线上，得x0y01，联立可解得x01，y01， 所求直线方程为xy20. 11课前预习课堂互动课堂反馈创新设计创新设计题型三求切点坐标【

7、例3】在曲线yx2上哪一点处的切线，(1)平行于直线y4x5；(2)垂直于直线2x6y50；(3)与x轴成135的倾斜角？f（xx）f（x）（xx） xlimlim解 f(x)?2x，设P(x0，x?0?x?0 xxy0)是满足条件的点 22(1)因为切线与直线y4x5 平行， 所以 2x04，x02，y04，即P(2，4)是满足条件的点 12课前预习课堂互动课堂反馈创新设计创新设计(2)因为切线与直线 2x6y50 垂直， 139所以 2x0 1，得x0 ，y0 ， 324?39?即P?2，4?是满足条件的点 ?(3)因为切线与x轴成 135 的倾斜角， 11所以其斜率为1， 即 2x01，

8、 得x0 ，y0 ， 24?11?即P?2，4?是满足条件的点 ?13课前预习课堂互动课堂反馈创新设计创新设计规律方法解答此类题目时，明确所给的直线的倾斜角或斜率是解题的关键，由这些信息得知函数在某点处的导数，进而可求此点的横坐标解题时要注意解析几何知识的应用，如直线的倾斜角与斜率的关系，直线互相平行或垂直成立的条件等14课前预习课堂互动课堂反馈创新设计创新设计【训练3】已知抛物线y2x21，求(1)抛物线上哪一点处的切线平行于直线4xy20?(2)抛物线上哪一点处的切线垂直于直线x8y30?解 设点的坐标为(x0，y0)，则 y2(x0 x)22212x014x0 x2(x) . yx4x0

9、2x. y当 x无限趋近于零时，无限趋近于 4x0， x即f(x0)4x0. 15课前预习课堂互动课堂反馈创新设计创新设计(1)抛物线的切线平行于直线4xy20，切线斜率为4，即f(x0)4x04，得x01，该点为(1，3)(2)抛物线的切线与直线x8y30垂直，切线斜率为8，即f(x0)4x08，得x02，该点为(2，9).16课前预习课堂互动课堂反馈创新设计创新设计课堂达标课堂达标1已知曲线y2x2上一点A(2，8)，则点A处的切线斜率为(A4B16C82)D22（2x） 8limlim(82x)8，即斜率k8. 解析 y|x=2?x?0?x?0 x答案C17课前预习课堂互动课堂反馈创新设

10、计创新设计2若曲线yx2axb在点(0，b)处的切线方程是xy10，则(Aa1，b1Ca1，b1Ba1，b1Da1，b1)解析 由题意，知ky|x=0 （0 x） a（0 x）bblim?x?01，a1. x又(0，b)在切线上，b1，故选 A. 2答案A18课前预习课堂互动课堂反馈创新设计创新设计?3?123已知曲线yx 2 上一点P?1，2?，则在点P处的切线的倾斜角为 ( ) 2?A30 B45 C135 D165 ?12?12?x 2?（xx） 2212?2?lim解析 y2x 2，y?x?0 x12（x） xx?21limlim?x x?x. ?x?0?x?0?2?xy|x=11.点

11、斜角为 45 . ?3?P?1，2?处切线的斜率为?1，则切线的倾答案19B课前预习课堂互动课堂反馈创新设计创新设计4已知曲线y2x24x在点P处的切线斜率为16，则P点坐标为_解析 设点则y|xx0 ?x?02P(x0，2x04x0)， 2（x x）0lim2224（x0 x）（2x04x0）x 2（x） 4x0 x4xlim?x? 04x04， x令 4x0416 得x03，P(3，30) 答案(3，30)课前预习课堂互动课堂反馈20创新设计创新设计5曲线y2x21在点P(1，3)处的切线方程为_解析 y2(1x) 12(1) 1 2(x) 4x， y2x4， xlimylim(2x4)4， ?x?0 x?x?0222由导数几何意义知，曲线y2x1 在点(1，3)处的切线的斜率为4，切线方程为y4x1，即 4xy10. 2答案214xy10课前预习课堂互动课堂反馈创新设计创新设计课堂小结1导数f(x0)的几何意义是曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线的斜率，即kf（x x）f（x）00limf(x0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度 ?x?0 x2“函数f(x)在点x0处的导数”