2019年高考数学(文科)二轮复习专题5 第3讲 圆锥曲线中的热点问题

1、3讲圆锥曲线中的热点问题高考定位1.圆锥曲线中的定点与定值、最值与范围问题是高考必考的问题之一，主要以解答题形式考查，往往作为试卷的压轴题之一；2.以椭圆或抛物线为背景，尤其是与条件或结论相关存在性开放问题.对考生的代数恒等变形能力、计算能力有较高的要求，并突出数学思想方法考查.真题感悟x2yFF1.(2015全国卷)已知M(x0，0)是双曲线C：2y21上的一点，1，2是C的两个焦点，若MF1MF20，则y0的取值范围是()33B.A.33，33，662222C.，332323D.，33x2x20解析由题意M在双曲线C：2y21上，则20y21，00即x222y2.000由MF1MF20，得

2、(3x0，y0)(3x0，y0)x23y23y210，即3y0b0)，四点P1(1，1)，P2(0，1)，P31，中恰有三点在椭圆C上.(1)求C的方程；(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为1，证明：l过定点.(1)解由于点P3，P4关于y轴对称，由题设知C必过P3，P4.1113又由a2b2a24b2知，椭圆C不经过点P1，所以点P2在椭圆C上.11，22因此解得24ba224Ak1k2y1yA1241则k1k2y1y21kx1m1kx2m1mmm由题设可知16(4km1)0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x22，x1x22.4

3、k14k1x1x2x1x2x2故C的方程为y21.(2)证明设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2.如果直线l的斜率不存在，l垂直于x轴.设l：xm，A(m，yA)，B(m，yA)，1，得m2，此时l过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足.从而可设l：ykxm(m1).x2将ykxm代入y21得(4k21)x28kmx4m240.8km4m24222kx1x2（m1）（x1x2）.x1x2由题设k1k21，故(2k1)x1x2(m1)(x1x2)0.4m248km1(2k1)4k2(m1)4k210.解之得m2k1，此时32(m1)0，方程有解，当且仅当m1时，0，直线l的方程为ykx

4、2k1，即y1k(x2).当x2时，y1，所以l过定点(2，1).考点整合1.圆锥曲线中的范围、最值问题，可以转化为函数的最值问题(以所求式子或参数为函数值)，或者利用式子的几何意义求解.温馨提醒圆锥曲线上点的坐标是有范围的，在涉及到求最值或范围问题时注意坐标范围的影响.2.定点、定值问题(1)定点问题：在解析几何中，有些含有参数的直线或曲线的方程，不论参数如何变化，其都过某定点，这类问题称为定点问题.若得到了直线方程的点斜式：yy0k(xx0)，则直线必过定点(x0，y0)；若得到了直线方程的斜截式：ykxm，则直线必过定点(0，m).(2)定值问题：在解析几何中，有些几何量，如斜率、距离、

5、面积、比值等基本量和动点坐标或动直线中的参变量无关，这类问题统称为定值问题.3.存在性问题的解题步骤：(1)先假设存在，引入参变量，根据题目条件列出关于参变量的方程(组)或不等式(组).(2)解此方程(组)或不等式(组)，若有解则存在，若无解则不存在.(3)得出结论.热点一圆锥曲线中的最值、范围【例1】(2016浙江卷)如图所示，设抛物线y22px(p0)的焦点为F，抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|1.2xsy1，故yAyB4，B2，.2t2ttN2，.(1)求p的值；(2)若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，AN与x轴交于点M，求M的横坐标

6、的取值范围.解(1)由题意可得，抛物线上点A到焦点F的距离等于点A到直线x1的距离，p由抛物线的定义得1，即p2.(2)由(1)得，抛物线方程为y24x，F(1，0)，可设A(t2，2t)，t0，t1.AF不垂直于y轴，可设直线AF：xsy1(s0)，y24x，由消去x得y24sy40.12tt2t1又直线AB的斜率为t2，t21故直线FN的斜率为，t212从而得直线FN：y(x1)，直线BN：y.t232t1tt22t2tmt23设M(m，0)，由A，M，N三点共线得t2，t2t212t2211于是mt22t2，m0或m2.经检验知，m0或m2满足题意.综上，点M的横坐标的取值范围是(，0)

7、(2，).探究提高求圆锥曲线中范围、最值的主要方法：(1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质数形结合求解.(2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，或者不等关系，或者已知参数与新参数之间的等量关系等，则利用代数法求参数的范围.x2y23【训练1】已知点A(0，2)，椭圆E：a2b21(ab0)的离心率为2，F是椭圆E的右焦点，直线AF3c3a244即k2时，x1，2.从而|PQ|k21|x1x2|4k2123的斜率为，O为坐标原点.(1)求E的方程；(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当OPQ的面积最大时，求l的方程.223解(

8、1)设F(c，0)，由条件知，得c3.c3又，所以a2，b2a2c21.x2故E的方程为y21.(2)当lx轴时不合题意，故设l：ykx2，P(x1，y1)，Q(x2，y2).x2将ykx2代入y21，得(14k2)x216kx120.当16(4k23)0，38k24k2344k214k214k23.又点O到直线PQ的距离d2k21.所以OPQ的面积OPQd|PQ|.144k2324k21t244t设4k23t，则t0，OPQ4t4.tt247因为t4，当且仅当t2，即k时等号成立，且满足0.22所以当OPQ的面积最大时，l的方程为y77x2或yx2.4a2x0令y0，得xN，从而|AN|2x

9、N2，y0x022y02y02x0x021x02y0y01x0221热点二定点、定值问题命题角度1圆锥曲线中的定值x2y2【例21】(2016北京卷)已知椭圆C：a2b21过点A(2，0)，B(0，1)两点.(1)求椭圆C的方程及离心率；(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值.(1)解由题意知a2，b1.x2所以椭圆方程为y21，又ca2b23.c3所以椭圆离心率e.(2)证明设P点坐标为(x0，y0)(x00，y00)，00则x24y24，y1由B点坐标(0，1)得直线PB方程为：y10(x0)，x01y0x0

10、y01由A点坐标(2，0)得直线PA方程为y0(x2)，令x0，得yM，从而|BM|1yM1，1所以S四边形ABNM2|AN|BM|202x24y04x0y04x08y042（x0y0x02y02）x2y22a【训练2】(2017唐山一模)已知椭圆C：221(ab0)的离心率为，点Qb，在椭圆上，O为坐2x0y02x04y042.x0y0x02y02即四边形ABNM的面积为定值2.探究提高1.求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.2.定值问题求解的基本思路是使用参数表示要解决的问题，然后

11、证明与参数无关，这类问题选择消元的方向是非常关键的.ab2b标原点.(1)求椭圆C的方程；(2)已知点P，M，N为椭圆C上的三点，若四边形OPMN为平行四边形，证明四边形OPMN的面积S为定值，并求该定值.x2y22(1)解椭圆a2b21(ab0)的离心率为2，e22，得a22b2，a又点Qb，在椭圆C上，椭圆C的方程为1.所以S|PN|OM|232226；所以x1x2，x1x212k212k2c2a2b21aa22bb2a2a2b41，联立、得a28，且b24.x2y284(2)证明当直线PN的斜率k不存在时，PN方程为x2或x2，从而有|PN|23，1122当直线PN的斜率k存在时，设直线

12、PN方程为ykxm(m0)，P(x1，y1)，N(x2，y2)，将PN的方程代入椭圆C的方程，整理得(12k2)x24kmx2m280，4km2m28，12k2，2mSd|PN|m|x1x2|12k（x1x2）4x1x22my1y2k(x1x2)2m，4km12k212k2由OMOPON，得M.将M点坐标代入椭圆C方程得m212k2.|m|又点O到直线PN的距离为d1k2，|PN|1k2|x1x2|，2248k2242k2126.化简得点P的轨迹方程为1.GH中点E1坐标为2，2k12k21，综上，平行四边形OPMN的面积S为定值26.命题角度2圆锥曲线中的定点问题【例22】(2017哈尔滨模

13、拟)已知两点A(2，0)，B(2，0)，动点P在y轴上的投影是Q，且2PAPB|PQ|2.(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)过F(1，0)作互相垂直的两条直线交轨迹C于点G，H，M，N，且E1，E2分别是GH，MN的中点.求证：直线E1E2恒过定点.(1)解设点P坐标为(x，y)，点Q坐标为(0，y).2PAPB|PQ|2，2(2x)(2x)y2x2，x2y2421(2)证明当两直线的斜率都存在且不为0时，设lGH：yk(x1)，G(x1，y1)，H(x2，y2)，lMN：yk(x1)，M(x3，y3)，N(x4，y4)，x2y21，联立42yk（x1），消去y得(2k21)x24k2x2k

14、240.则0恒成立.4k22k241x1x22k2，且x1x22k21.2k2k，2k同理，MN中点E2坐标为k22k2，lE1E2的方程为yx，过点，0，当两直线的斜率分别为0和不存在时，lE1E2的方程为y0，也过点，0，综上所述，lE1E2过定点，0.3a433又c22，a24，即椭圆C的方程为1.23kkE1E22（k21），3k222（k21）332233探究提高1.动直线l过定点问题.设动直线方程(斜率存在)为ykxt，由题设条件将t用k表示为tmk，得yk(xm)，故动直线过定点(m，0)2.动曲线C过定点问题.引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，

15、得出定点.x2y24【训练3】(2017菏泽调研)已知焦距为22的椭圆C：a2b21(ab0)的右顶点为A，直线y3与椭圆C交于P，Q两点(P在Q的左边)，Q在x轴上的射影为B，且四边形ABPQ是平行四边形.(1)求椭圆C的方程；N.D(2)斜率为k的直线l与椭圆C交于两个不同的点M，若M是椭圆的左顶点，是直线MN上一点，且DAAM.点G是x轴上异于点M的点，且以DN为直径的圆恒过直线AN和DG的交点，求证：点G是定点.(1)解设坐标原点为O，四边形ABPQ是平行四边形，|AB|PQ|，a|PQ|2|OB|，|AB|2|OB|，则点B的横坐标为，点Q的坐标为，代入椭圆C的方程得b22，x2y2

16、42(2)证明设直线MN的方程为yk(x2)，N(x0，y0)，DAAM，D(2，4k).则2x0，即x012k212k2x2y21，由42消去y得(12k2)x28k2x8k240，yk（x2），8k2424k2，4ky0k(x02)，则N12k212k2，8k24k12k212k2，12k212k24k24k212k2设G(t，0)，则t2，若以DN为直径的圆恒过直线AN和DG的交点，则DGAN，GDAN0恒成立.GD(2t，4k)，AN，8k24kGDAN(2t)4k0恒成立，12k2即8k2t0恒成立，【例3】(2017长沙调研)已知椭圆C：221(ab0)的离心率为，且过点P1，F为

17、其右焦点.ab22a2又点P1，在椭圆上，所以231321，所以椭圆方程为1.解得k0，1122设M(x1，y1)，N(x2，y2)，32k2，64k212.由消去x2得x134k2将x22x14代入，得x1(2x14)34k2因为AMF与MFN的面积相等，所以|AM|MN|，所以2x1x24.416k2.64k212将代入到式，整理化简得36k25.k56，经检验满足题设66故直线l的方程为y55(x4)或y(x4).探究提高1.此类问题一般分为探究条件、探究结论两种.若探究条件，则可先假设条件成立，再验证结论是否成立，成立则存在，不成立则不存在；若探究结论，则应先求出结论的表达式，再针对其

18、表达式进行讨论，往往涉及对参数的讨论.2.求解步骤：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在，否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在.x【训练4】(2017新乡三模)已知抛物线C：22py(p0)的焦点为F，直线2xy20交抛物线C于A，B两点，P是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q.(1)D是抛物线C上的动点，点E(1，3)，若直线AB过焦点F，求|DF|DE|的最小值；(2)是否存在实数p，使|2QAQB|2QAQB|？若存在，求出p的值；若不存在，说明理由.解(1)直线

19、2xy20与y轴的交点为(0，2)，F(0，2)，则抛物线C的方程为x28y，准线l：y2.设过D作DGl于G，则|DF|DE|DG|DE|，当E，D，G三点共线时，|DF|DE|取最小值235.(2)假设存在，抛物线x22py与直线y2x2联立方程组得：x24px4p0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，(4p)216p16(p2p)0，则x1x24p，x1x24p，Q(2p，2p).44|2QAQB|2QAQB|，QAQB.则QAQB0，得(x12p)(x22p)(y12p)(y22p)(x12p)(x22p)(2x122p)(2x222p)5x1x2(46p)(x1x2)8p28p4

20、0，1代入得4p23p10，解得p或p1(舍去).1因此存在实数p，且满足0，使得|2QAQB|2QAQB|成立.1.解答圆锥曲线的定值、定点问题，从三个方面把握：(1)从特殊开始，求出定值，再证明该值与变量无关：(2)直接推理、计算，在整个过程中消去变量，得定值；(3)在含有参数的曲线方程里面，把参数从含有参数的项里面分离出来，并令其系数为零，可以解出定点坐标.2.圆锥曲线的范围问题的常见求法(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值.3.存在性问题求

21、解的思路及策略(1)思路：先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确，则存在；若结论不正确，则不存在.(2)策略：当条件和结论不唯一时要分类讨论；当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件.一、选择题x21.(2017全国卷)若a1，则双曲线a2y21的离心率的取值范围是()A.(2，)C.(1，2)c2a211解析由题意e2a2a21a2，1因为a1，所以11a22，则1e2.答案CB.(2，2)D.(1，2)x22.F1，F2是椭圆4y21的左、右焦点，点P在椭圆上运动，则PF1PF2的最大值是()A.2C.2B.1D.4解析设P(x，y)，依题意得点F1(3，0)，F2(3

22、，0)，33PF1PF2(3x)(3x)y2x2y234x22，注意到24x221，因此PF1PF2的最大值是1.答案B3.(2017沈阳二模)若点P为抛物线y2x2上的动点，F为抛物线的焦点，则|PF|的最小值为()A.2B.12C.14D.184.(2017全国改编)椭圆C：1的焦点在x轴上，点A，B是长轴的两端点，若曲线C上存在点M解析根据题意，抛物线y2x2上，设P到准线的距离为d，则有|PF|d，抛物线的方程为y2x2，即1111x22y，其准线方程为y8，当点P在抛物线的顶点时，d有最小值8，即|PF|min8.答案Dx2y23m满足AMB120，则实数m的取值范围是()A.(3，

23、)C.(0，3)B.1，3)D.(0，1bm解析依题意，当0m3时，焦点在x轴上，要在曲线C上存在点M满足AMB120，a3则tan60，即3，解得0m1.答案D5.(2017全国卷)过抛物线C：y24x的焦点F，且斜率为3的直线交C于点M(M在x轴上方)，l为C的准线，点N在l上且MNl，则M到直线NF的距离为()A.5C.23B.22D.331解析由题知MF：y3(x1)，与抛物线y24x联立得3x210x30，解得x13，x23，所以M(3，23).因为MNl，所以N(1，23)，yaxe222，因此1e0，b0)的一条渐近线与抛物线y2x的一个交点的横坐标为x0，若x01，则双曲线C的

24、离心率e的取值范围是_.x2y2b解析双曲线C：a2b21的一条渐近线为yax，y2x，b2联立b消去y，得a2x2x.b2由x01，知a21，b20)，B(x2，y2)(y20).y2则|AC|BD|x2y142y1.又y1y2p24.|AC|BD|2(y2b0)的离心率是23，点P1，在椭圆E上.2a4b1，c3，4(1)求椭圆E的方程；(2)过点P且斜率为k的直线l交椭圆E于点Q(xQ，yQ)(点Q异于点P)，若0xQ0，14k4k43k1214k4k43k11.解得36224k243k1，0xQ1，2201，即2214k23232k，经检验，满足题意.直线l斜率k的取值范围是33232，或，.622x2y2221(ab0)，经过点A(0，1)，且离心率为10.(2017延安调研)如图，椭圆E：a2b2.a222则x1x2，x1x212k212