浅谈EPR佯谬与Bell定理及验证实验

1、浅谈EPR佯谬与Bell定理及验证实验赵飞 20114041（西南交通大学 物理科学与技术学院 四川成都 611730）摘 要：本文回顾了EPR佯谬与定域隐变量理论，对Bell定理及其相关的推广不等式进行了概述，并介绍了几个不涉及不等式形式的Bell定理，然后简要介绍Bell定理的验证实验。迄今实验的结果大都支持量子力学的相关理论，但是仍未能揭示出量子力学空间非定域性的本质，也未能完全否定隐变量的存在。关键词：EPR佯谬，隐变量理论，量子纠缠，Bell定理，非定域性0. 引言自从20世纪初量子力学理论建立以来，量子力学的科学性一直颇有争议，量子力学的物理意义具有无法消除的内在随机性。因此对于如

2、何理解它的基本概念和基本规律,以及它是不是一个完备的理论体系等问题，就一直存在着激烈而深刻的争论。其中Albert Einstein与Niles Bohr旷日持久的论战尤为著名，Albert Einstein为首的一批科学家始终认为量子力学理论不是完备的理论，但是以Niles Bohr为首的哥本哈根学派则坚持量子理论的正确性。1935年 Einstein、Podolsky和Rosen合作,三人发表了一篇的论Can quantum mechanical description of physical reality be considered complete? 1。在这篇文章中，EPR三人以假

3、想实验的形式来论证量子力学的不完备，通常将他们三人的论证称为“EPR佯谬”。JBell认为在EPR佯谬中对相互远离的两个粒子的第一个粒子的某种性质进行测量后，便能预先决定对第二个粒子的同一性质的测量结果，这表明双粒子系统中存在一定的关联性，并且可能用隐变量来加以说明。1965年,贝尔(J.Bell)在定域隐变量理论的基础上推导出一个不等式，被称Bell不等式2，并证明该式与量子力学理论的描述是不符合的。20世纪60年代至今，对于Bell不等式的实验验证有很多，其中以1982年巴黎大学的Aspect小组的相关实验尤为著名3，其一系列光学实验均同量子力学的预言符合得很好而违反Bell不等式。但是目

4、前的实验都受到两方面的约束：定域性与探测效率漏洞，然而尽管如此，人们还是普遍相信量子力学是正确的而非Bell定理。本文将较为详细地介绍EPR佯谬、Bell定理与Bell不等式及其衍生出的几种定理，并简要介绍Bell定理的相关验证实验。1. EPR佯谬与隐变量理论1.1 EPR佯谬Can quantum mechanical description of physical reality be considered complete?一文中，爱因斯坦等人提出了物理理论完备性的条件、物理实在判据以及定域性原则，以此作为思想实验的三个前提1。(1)理论完备的必要条件:当且仅当物理实在的每一个要素都能

5、够在该物理理论中找到对应的部分；(2)物理实在要素:若是对一个系统没有任何干扰,任何可观测的物理量都有对应的物理实在要素，这句话可以理解为测量结果只决定与体系本身；(3)定域性原则（定域因果性）:若两次测量之间的四维时空间隔是类空间隔，这两个事件之间不应当存在因果性的关联，即不存在超越光速的现象出现 1,4 。由这三个观点可以看出，爱因斯坦等人所写的这篇文章是从符合因果律的相对论出发的。EPR的理想实验简单说来可以由一个一维两粒子系统组成，两个粒子分别为粒子1、粒子2，假设这一对粒子系统的初态总动量为p=0，两个粒子的出发点为原点，那么在两个粒子发生相互作用并分开后，相聚足够远，以至于它们之间

6、没有相互作用。按照动量守恒定律，必定有p1=-p2。当用探测器测量了粒子l，得到结果p1=+ae以后，那么粒子2必将处在p2=-ae的状态上。当用另一个探测器测量粒子1的位置矢量时，得到q1=x·e，易知粒子2的位置矢量q2=-x·e。第一次测量后，p2可以对应一个实在性元素，第二种测量后，q2也对应一个实在性元素，两次测量的实在性元素都存在，不会依赖于测量过程和测量结果。换句话说，当对用一个纯态描述的两个子系统(如两个粒子组成纠缠的纯态)分别进行类空分离的定域测量，对其中一个子系统进行定域测量，不能对另一个子系统产生直接的相互作用，但测量结果却包含了另一个子系统的信息，并

7、且瞬时的改变了对另一子系统状态的描述，典型的情况即定域的测量使得态函数发生了坍缩。爱因斯坦等人认为，由于量子力学理论的不确定关系，对q1和p1、q2和p2均不能同时进行精确的测量，则在测量q1的同时,p2也不能精确测量了,而q2和p2不能同时确定,也就不可能具有和它们相对应的两个独立的实在元素,只能有一个物理实在的元素。图1因此，爱因斯坦得出以下二选其一的结论：(1)存在着即时的超光速现象或者说超距作用，即非定域；(2) q2和p2有精确值，但是量子力学理论不完备。爱因斯坦认为可分离性体系存在超距关联的佯谬，量子力学必定也服从定域性原则，故量子力学理论不是一个完备的理论。玻尔对此的解释是粒子1

8、和粒子2之间存在着某种联系（后来定义为量子纠缠态），无论它们在空间上距离有多远，对其中一个粒子进行定域测量，将会使另一个粒子状态的改变，这就是量子力学的非定域性5，这明显与爱因斯坦的定域性理论不相符。 1951年，Bohm提出了一个对EPR佯谬的翻版问题6，将原先用连续变量描述的EPR纠缠态改用离散变量描述的纠缠系统，即考虑两个总自旋为零的且处于自旋纠缠态正负电子对系统。在后文推导贝尔不等式时仍会用到该理论，具体过程在此不再详细介绍，可查看参考文献6,7。1.2 隐变量理论隐变量或隐参数，可以导出各种唯象定律，但无法用现有观测手段测定的量，实验中观测量的精确值是由这些未知变量决定。用隐变量来解

9、释可观察的现象,是一个古老的物理思想。在经典力学诞生之后,在物理学中才出现用严谨的数学表述的隐变量理论，玻尔兹曼发展的分子动力学就是一个例子。隐变量的定义8：物理理论T包含了一系列的对于物理系统S的可观测量，如O、O'等。设想存在一些实验上不能探测到的描述系统S的变量，这些变量的集合记作h。如果每一个可观测量O的值决定于隐变量h的某种平均运算，那么h被称为关于理论T的隐变量。系统中隐变量的统计系综分布函数为，观测量A的平均值为： A=d (1.1)量子力学表现出统计性，将宏观的统计性的落实到微观个体的确定性,这是人们用经典理论来探究自然界时自然的想法。隐变量或许可以将量子力学中的不确定

10、性归结于隐变量的不确定性，而这种隐变量可以是作为一种比量子力学体系更微观的层次，由此或许可以为EPR佯谬提供一种解释。 2. Bell定理与Bell不等式2.1 Bell不等式1953年玻姆(D·Bohm)从量子力学是不完备的前提出发，进一步借用隐变量理论想让它能再现量子理论的结果。 1965年J·Bell基于爱因斯坦的定域实在论和D·Bohm的定域隐变量模型，提出了著名的Bell不等式2，并得出了如下结论：任何满足定域实在论和隐变量的理论都应该遵循这个不等式，但是量子理论却不满足，从而证明量子力学是不完备的理论。Bell不等式的另一个贡献是，爱因斯坦和波尔的关于

11、量子理论和定域实在论的争论可以通过物理实验去检验，而非单纯的理想实验。Bell不等式的推导过程9：假设一个由两个自旋为1/2的粒子A和B所组成有两个粒子的体系总自旋为零不变，a,b是空间沿任意两个方向的单位矢量, 测量粒子A沿a方向的自旋分量A·a得到的结果记为A(a),测量粒子B沿b方向的自旋分量B·b得到的值为B(b)。定义自旋关联函数E(a,b)，且有： E(a,b)= A(a)·B(b)= A·a B·b (2.1)由于总自旋为零，A· B=-1， E(a，b)=-a·b=-cos （为a、b夹角） (2.2)特别的

12、，当a=b时， E(a,b)=-1 (2.3)对该体系引入隐变量，以表示其在更微观层次上的性质。这些隐变量可以取不同的数值，令由所决定的状态张成空间, 状态的分布函数是，归一化条件是: d=1 (2.4)A(a)、B(b)引入隐变量，记为A(a,)，B(b,)，并且有： A(a,)=±1，B(b,)=±1 (2.5)自旋关联函数E(a,b)改写为： E(a,b)=A(a,)B(b,)d (2.6)设c 为空间另外一个任意方向的单位矢量，可得： Ea,b-Ea,c = A(a,)Bb,-A(a,)Bc ,d (2.7)由(2.5)式可得： = A(a,)Bb,1-Bb ,Bc

13、 ,d 1-Bb ,Bc ,d由(2.4)式可得： = 1-Bb ,Bc ,d可以证明Bb ,=-A(b,)，故有： Ea,b-Ea,c 1+Ab ,Bc ,d （2.8）最后由（2.6）式，得到： Ea,b-Ea,c 1+Eb,c （2.9）(2.9)式就是Bell不等式。Bell接着证明当a,b,c三个单位矢量共面，且从a到b、b到c分别相差3时，由（2.2）式，（2.9）式将写为：-cosa,b+cosa,c 1-cosb,c -cos3+cos231-cos3-12+-121-12这将会得出 112 的结论，显然是矛盾的，由此证明了爱因斯坦等人的定域性前提同量子力学结论的矛盾是普遍存在

14、的。在另外一篇文章中，J.Bell提出了Bell定理10：定域的隐变量理论不能重现量子力学的全部预言。2.2 Bell不等式的推广（2.9）式是原版的Bell不等式，在提出该不等式之后一段时间里，物理学家们又发掘出了更多的式子，其中有不等式的定理也有非不等式的定理。较为出名的有CHSH不等式11( Clauser-Horne-Shimony-Holt)、GHZ定理12,13( Greenberge-Horne-Zeilinger)、Hardy定理14、Cabello定理15,16等等。CHSH不等式可以说是Bell不等式最为著名的推广，其意义是将Bell不等式验证实验中可能出现的诸如态不存、探

15、测仪器失效等因素避免。因此，CHSH不等式通常被视为真正可以用于实验验证的Bell不等式，可以证明CHSH不等式与Bell不等式等效，且CHSH不等式与量子力学结果相违背。CHSH不等式： Ea,b-Ea,c +Ed,c+Ed,b 2 (2.10)（ a,d和b,c分别为A、B两个子系统空间中两个任选的单位矢量）CHSH不等式的推导过程5,11：从(2.7）式出发，将其改写：Ea,b-Ea,c =A(a,)Bb,-A(a,)Bc ,d =A(a,)Bb,1±Ad ,Bc ,d -A(a,)Bb,1±Ad ,Bb ,d由(2.5)式，即A(a,)1，B(b,)1，将上式两边取

16、绝对值可得：Ea,b-Ea,c 1±Ad ,Bc ,d +1±Ad ,Bb ,d （2.11）再由（2.4）式，得到： Ea,b-Ea,c 2±Ed,c+Ed,b （2.12）最后由绝对值不等式的关系得： Ea,b-Ea,c +Ed,c+d,b 2 （2.13）进一步可有： s=Ea,b-Ea,c +Ed,c+d,b 2 （2.14）（2.13）式、（2.14）式都是CHSH不等式。和Bell不等式一样，可以证明，CHSH不等式在量子力学中极其容易不成立。当取a,b,d,c 四个矢量共面，且依次间隔 4 时，（2.13）式左边等于22，因此（2.13）式被破坏。B

17、ell不等式的推广形式还有GHZ定理，GHZ定理是第一个不涉及不等式形式的Bell定理，在1989年由Greenberger、Horne和Zeilinger 提出，是针对三个观察者的一种量子纠缠。3. Bell定理的实验验证Bell不等式的违背已在多种物理系统的实验观察到，证据表明，自然是非定域的。然而，所有的实验都还有各种技术缺陷，主要表现在定域性漏洞与探测效率漏洞。近年来，紧张的研究工作一直致力于一个无漏洞实验的设计与实现，相信在不久的将来应该能够实现。迄今为止，验证Bell定理的实验主要可以分为以下三种类型7：1.光子实验方案；2.原子实验方案；3.光子、原子混合实验。3.1光子实验方案

18、 20世纪60年代量子光学在实验中的巨大进展为量子非定域性实验的验证提供了方法，首先，利用原子级联，创造极化纠缠光子对以替代自旋相反的粒子对（实验上不利于操作）；然后，使用偏振片和光电倍增管测量单个光子的极化。 CHSH不等式提出3年后，Freedman and Clauser17提出了第一个确凿的量子纠缠试验，违反了Bell不等式达6个标准差。法国巴黎大学的Aspect小组在1982年的实验3通常被认为是最有说服力的实验，测量了Ca40原子级联跃迁辐射产生纠缠光子对的线偏振关联，达到从未有过的高精度。图2 Aspect实验图示3Aspect等人进行的双通道分析器实验，如图2中1、2所示，分析

19、器采用随时间变化的偏振分析仪和一个随机切换开关，开关使得偏振分析仪的方向在光子离开源（图2中）之后可以被切换，从而阻止了亚光速或光速信号的通信,从而避免定域性漏洞。使用偏振片和光电倍增管（图2中P.Mphotomultipliers）测量单个光子的极化。平行偏振光子可以直接通过（图2中/光路）,而垂直偏振光子则被反射（图2中光路），两种偏振的光子都将被记录。为了方便说明，Aspect等人的文章中3将实验过程用图3简化，正如其所言，“In this Letter, we report the results of an experiment following much more closely

20、 the ideal scheme of Fig. 1”，其中，Fig. 1即为本文中图3，只不过要将图3中+1、-1分别改为不同的偏振方向。图3 Aspect实验简化模型定义符合计数率(coincidence counting rates)：R+a,b R-a,b R+-a,b R-+a,b，其中R-+a,b)代表一个光子偏振垂直于a (用“-”表示),且另一个光子偏振平行于b（用“+”表示)时的符合计数率，其余可类推得知其含义。可以得知：Ea,b=R+a,b+Ra,b-R+-a,b-R-+a,bR+a,b+Ra,b+R+-a,b+R-+a,b（3.1）（3.1）式本质上来自与（2.14）式

21、3, 分母在实验过程中为所有符合计数率之和，为一常数，且由光源决定。当a,b=b,d=d,c=22.5°且a,c=67.5° 时，按照量子理论（2.14）式中S为：Sexpt=2.697 + 0.015而Aspect实验测得的S为：SQM=2. 70+ 0.05而定域隐变量理论要求：-2SHVT2 实验结果发现与量子力学理论符合很好，而与CHSH不等式有40倍标准差的差距。图4 Aspect实验结果（为a,b夹角） =0时Ea,b很接近于1，与量子理论符合，平滑曲线为量子力学预测，小点为实验点，图4表明了两种结果非常吻合。但是Zeilinger18等人指出，Aspect 小

22、组这个实验中尚存在着一个致命的弱点，那就是开关的切换不是随机的，而是准周期的， Aspect 实验尚不能完全封闭定域性漏洞。1998 年Weihs 实验19在Aspect实验的基础上，第一次使用了一种真正的物理的随机数发生器技术。这种随机发生器将使偏振分析的方向的选择真正地是随机的，从而可以克服 Aspect 实验留下的缺憾。实验结果表明，量子力学所允许的非定域关联是真实存在的。我国科学家潘建伟的“13km自由空间纠缠分发实验”20，实验的结果也很明显破坏了CHSH不等式。3.2离子实验方案 除了光子之外，Bell实验也可以使用原子系统。原子系统提供了一个从检测角度来看十分重要的优势，检测效率

23、可以接近于1。因此，原子系统很适合进行Bell不等式的验证实验。 这种实验方案最早由Rowe等人在2001年实现21，实验用到两个在磁阱中Be+，两个离子被放在同一个磁阱中，仅隔3m。但是这样定域性漏洞却不可消除，因为每一个离子都可以感觉到本想测量另一离子状态的光，但是定域性漏洞的问题还是不能得到解决。3.3光子-离子混合实验 近几年，光子-原子混合实验也有报道，以一个光子与一个受激发的离子组成纠缠态，另外Josephson相超导量子位也显示出非定域性。具体内容可见参考文献22、23、24。4. 总结与评论爱因斯坦等所提出的EPR论证，在很大程度上对哥本哈根学派的量子理论造成极大冲击。定域实在

24、论与哥本哈根学派量子力学之间的理论分歧根源上是关于对自然不同的理解，也就是要弄清自然是否内禀随机，还是由于我们忽略了某些隐变量。如果是后者，那么潜在的定域性理论并没有完全失去存在的可能性。Bell不等式提出以后，量子纠缠和非定域性两个方面的研究取得了许多进展。现在知道只有在量子纠缠态下才会出现不可思议的非定域量子关联效应，处在纠缠态上的粒子对，其量子态将最大地违背Bell不等式。对于量子纠缠同空间非定域性关系的研究，现在尚处于起步阶段。量子纠缠充分展现了即使对处于类空分离的各个粒子测量也将发生关联坍缩。现在实验上已成功地制备了这类纠缠态。自发参量下转换的非线性光学过程所产生的孪生光子对就是在频

25、域、方向、偏振上形成纠缠的EPR对,采用腔量子电动力学方法也已制备出原子纠缠态。利用这些纠缠的粒子对可以来验证Bell不等式，但是Bell不等式是否真的可以等效于EPR论证还有人提出异议。Bell型理论中只涉及到纠缠非定域性的空间非定域性这一特定类型；对于检验区分纠缠态与可分离态而言,这些不等式或等式都不是充分而又必要的等4。迄今为止实验结果虽然大多是支持量子理论，但远远没能揭示出量子理论空间非定域性的本质，也未能真正否定隐变量的存在，要完全推翻EPR论证，恐怕还需要更多更为艰苦的工作。 参考文献：1 A· Einstein, B·Podolsky ,N·Rose

26、n . Can quantum-mechanical description of physical reality be considered complete? J. Phys Rev, 1935, 47: 777-780.2 Bell J S. On the Einstein-Podolsky-Rosen paradox J.Physics,1964,4(1):195-290.3 A·Aspect，J·Dalibard，G·Roger. Experimental Test of Bell's Inequalities Using Time- Vary

27、ing Analyzers J. Phys Rev Lett, 1982（49）：1804-1807.4 张永德,陈建兰.Bell型空间非定域性研究现状与展望. 中国科学技术大学学报, 2007,11:1330-13375 牛万青.Bell定理的研究:安徽大学硕士学位论文.6 D·Bohm, Quantum Theory, Prentice-Hall,19517 Nicolas Brunner, Daniel Cavalcanti, Stefano Pironio, Valerio Scarani, Stephanie Wehner. Bell nonlocality, Rev. M

28、od. Phys., Vol. 86, No. 2, AprilJune 20148 任昌亮,基于关联行为的隐变量理论与量子非定域性的研究:中国科学技术大学学位论文9 Bell J S. On the Einstein-Podolsky-Rosen paradoxJ.Physics, 1964,4(1):195-290.10 J.S.Bell,in:B.dEspagnat ed.,Foundations of quantum mechanics ,Academic,197111 J.F.Clauser, M.A.Horne, A.Shimony, and R.A.Holt, phys.Rev.

29、Lett.23,880(1969).12 D.M. Greenberger, M.A. Horne, and A. Zeilinger, in Bells Theorem, Quantum Theory, and Conceptions of the Universe, edited by M. Kafatos (Kluwer Academic, Dordrecht, (1989),p.69.13 D.M. Greenberger, M.A. Horne, A.Shimony, and A. Zeilinger, Am.J. phys.58, 1131(1990)14 L.Hardy,Phys.Rev.L