增分点4圆锥曲线中的定点、定值问题

1、初中数学、数学课件、数学教案、初中数学试卷、试题数学、数学导学案、数学练习题、数学初中增分点圆锥曲线中的定点、定值问题定点问题求解 (或证明 )直线和曲线过定点的基本思路是：把直线或曲线方程中的变量x， y 视作常数，把方程一边化为零，既然是过定点，那么这个方程就是对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x， y 的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点典例 x2y2(2017 全国卷 )已知椭圆C： a2 b2 1(ab0) ，四点P1(1,1)， P2(0， 1)，3， 3， P43 中恰有三点在椭圆C 上11，P22(1) 求 C 的方程；(2

2、) 设直线 l 不经过 P2 点且与 C 相交于 A，B 两点若直线P2A 与直线 P2B 的斜率的和为 1，证明： l 过定点 思路演示 解： (1)由于 P3，P4 两点关于 y 轴对称，故由题设知椭圆C 经过 P3， P4 两点1113又由a2 b2a24b2知，椭圆 C 不经过点 P1，所以点 P2 在椭圆 C 上1 1，a2 4，b2因此13解得1，b2 1.22a4b2故椭圆 C 的方程为 x y2 1.4(2) 证明：设直线P2A 与直线 P2B 的斜率分别为k1，k2.如果 l 与 x 轴垂直，设 l：x t，由题设知 t 0，且 |t|0.设 A(x1， y1)， B(x2，

3、 y2)，8km4m2 4则 x1 x24k2 1， x1x24k2 1.而 k1 k2 y1 1 y2 1x 1x2 kx1 m 1 kx2 m 1x 1x2 2kx1x2 m 1 x1 x2 .x 1x2由题设 k1 k2 1，故 (2k 1)x1x2 (m 1)(x1 x2) 0.4m2 4 8km即 (2k 1) 4k2 1 (m 1) 4k2 1 0.解得 km 12.当且仅当 m 1 时， 0，于是 l： ym 1m 12xm，即 y 12 ( x 2)，所以 l过定点 (2， 1) 解题师说 (1) 本题第 (2) 问的关键是斜率存在时，设l ： y kx m(m 1)，然后与椭

4、圆方程x2 y241 联立，再设两个交点坐标，根据题目条件“直线P2A 与直线 P2B 的斜率之和为 1”，导出 k 与 m 的关系，最后根据方程特点说明直线过定点(2) 圆锥曲线中定点问题的2 种解法引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量引进参数法与参数何时没有关系，找到定点特殊到一般根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关法 应用体验 x2y21若直线 l：y kxm 与椭圆 C：4 3 1 相交于 A，B 两点 ( A，B 不是左、 右顶点 )，且以 AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标证明： 设椭圆 C 的右

5、顶点为A1(2,0) ，A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 A1A A1B，初中数学、数学课件、数学教案、初中数学试卷、试题数学、数学导学案、数学练习题、数学初中初中数学、数学课件、数学教案、初中数学试卷、试题数学、数学导学案、数学练习题、数学初中y kx m，联立方程x2 y2 1，4 3得 (4k2 3)x2 8kmx 4m2 12 0，则 x1 x28km， x1x24m2 1222 3，4k34k 所以 A1AA1B (x1 2)(x2 2) y1y2 (x1 2)( x2 2) (kx1 m)(kx2 m)22(k 1)x1x2 (km2)(x1 x2) 4 m4m2 12

6、 k2 18km km 2 4m2 0，4k2 34k23整理得7m2 16mk 4k24k2 0， 3解得 m 27k 或 2k.当222，过定点2，0 ；m7k时， kxx77y7k k当 m2k时， y kx2k，过定点 (2,0)，即过椭圆右顶点，与题意矛盾所以直线l 过定点2， 0 .7定值问题解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等 )的大小或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值解决圆锥曲线中的定值问题的基本思路是：定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题中的直线

7、方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个值典例x2y26，0)，e2(2018 沈阳质检 )已知椭圆 C： 2 2 1(ab0)的左焦点 F 1(2.ab(1) 求椭圆 C 的方程；(2) 如图，设R(x0， y0)是椭圆 C 上一动点，由原点O 向圆 (x x0 )2 (y y0)2 4 引两条切线，分别交椭圆于点P，Q，若直线OP，OQ 的斜率存在，并记为k1，k2，求证： k1k2 为定值；初中数学、数学课件、数学教案、初中数学试卷、试题数学、数学导学案、数学练习题、数学初中初中数学、数学课件、数学教案、初中数学试卷、试题数学、数学导学案、数学练习

8、题、数学初中2 2(3) 在 (2)的条件下，试问 |OP| |OQ| 是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由 思路演示 解： (1)由题意得， c6， e ca 22，解得 a 2 3， b6，22椭圆 C 的方程为 12x y6 1.(2) 证明：由已知，直线 OP： y k1x， OQ： y k2x，且与圆 R 相切，|k1x0 y0|2 2，1 k1化简得 (x20 4)k21 2x0y0k1 y20 4 0，同理，可得 ( x20 4)k22 2x0y0k2 y20 4 0， k1， k2 是方程 ( x20 4)k22x0y0k y20 4 0 的两个不相等的实数根，22y

9、0 4 x0 4 0，0， k1k2 x20 4.22点 R(x0， y0)在椭圆 C 上， x0 y0 1，1261221 22 2x01(定值 )即 y0 6 x0， k1 k2222x04(3)|OP|2 |OQ|2 是定值设 P(x1， y1)， Q(x2， y2)，y k1x，x12122，联立 x2y2解得1 2k1 1，22，1261212k1y1 2k1 x12 y1212 1 k122 .1 2k12同理，可得 x22 y2212 1 k22 .1 2k2222由 k1k2 1，得 |OP|2 |OQ|2 x21 y21 x22 y22 12 1 k21 12 1 k22 1

10、2 1 k21 21 2k11 2k21 2k11211222k118 36k1 18.1 21 2k121 22k1综上， |OP|2 |OQ|218(定值 )初中数学、数学课件、数学教案、初中数学试卷、试题数学、数学导学案、数学练习题、数学初中初中数学、数学课件、数学教案、初中数学试卷、试题数学、数学导学案、数学练习题、数学初中 解题师说 定值问题常见的2 种求法(1) 从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关(2) 引进变量法：其解题流程为 应用体验 2已知点A， B 的坐标分别为(3， 0)， (3， 0)，直线AP， BP 相交于点P，且它2们的斜率之积为3.(1) 求点 P 的

11、轨迹方程；(2) 设点 P 的轨迹为 C，点 M ， N 是轨迹 C 上不同于 A， B 的两点，且满足AP OM ，BP ON，求证： MON 的面积为定值解： (1)设点 P 的坐标为 (x， y)，由题意得，kAPkBPy y 2(x 3)，x 3 x 33x2y2化简得，点P 的轨迹方程为 3 2 1(x 3)(2) 证明：由题意知， M ， N 是椭圆 C 上不同于 A， B 的两点，且 AP OM ， BP ON ，则直线 AP， BP 的斜率必存在且不为0.因为 AP OM ， BP ON ，所以 kOM kON kAPkBP 2.3设直线 MN的方程为 x my t， M ，

12、N 的坐标分别为 (x1， y1)， (x2， y2)，把 x my t代入椭圆方程 x2y2 1，得 (3 2m2) y2 4mty 2t2 6 0，324mt2所以 y1 y22， y1y22t 632m2.3 2m又 kOM kON y1y22y1y22x1x21 2 mt y1 y2 tm y y2t2 6 3t2 6m2，2t2 6222所以3t2 6m2 3，即 2t 2m 3.初中数学、数学课件、数学教案、初中数学试卷、试题数学、数学导学案、数学练习题、数学初中初中数学、数学课件、数学教案、初中数学试卷、试题数学、数学导学案、数学练习题、数学初中又 SMON 11|t| 24t2

13、 48m2 722|t|y1 y2|22m2，326t26所以 S MON，224t6即 MON 的面积为定值2 .1已知抛物线C：y2 2px(p 0)的焦点 F(1,0) ，O 为坐标原点， A，B 是抛物线C 上异于 O 的两点(1) 求抛物线 C 的方程；1(2) 若直线 OA， OB 的斜率之积为2，求证：直线 AB 过 x 轴上一定点2p所以 1，即 p 2.所以抛物线C 的方程为y2 4x.(2) 证明：当直线 AB 的斜率不存在时，设 A t22， t ， B t， t .44OA， OB 的斜率之积为1因为直线2，所以 t2 t1，化简得 t2 32.2tt244所以 A(8

14、， t)， B(8， t)，此时直线AB 的方程为x8.当直线AB 的斜率存在时，设其方程为y kx b，A(xA， yA)， B(xB， yB)，y2 4x，联立方程组消去 x 得 ky2 4y 4b 0.y kx b，4b由根与系数的关系得yAyB，因为直线 OA， OB 的斜率之积为1，2所以yA yB1 ，即 xAxB 2yAyB 0.xA xB22 2即 yAyB 2yAyB 0，4 4解得 yAyB 0(舍去 )或 yA yB 32.初中数学、数学课件、数学教案、初中数学试卷、试题数学、数学导学案、数学练习题、数学初中初中数学、数学课件、数学教案、初中数学试卷、试题数学、数学导学案

15、、数学练习题、数学初中所以 yAyB 4b 32，即 b 8k，k所以 y kx 8k，即 y k(x 8)综合可知，直线AB 过定点 (8,0)x2y2x0xy0y2已知结论：若点P(x0，y22上一点，则直线22与椭圆相0) 为椭圆 a b 1l： a b 1x2y295切现过椭圆 C： 9 4 1 上一点 P 作椭圆的切线交直线x5 于点 A，试判断以线段AP 为直径的圆是否恒过定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由解： 首先取两种特殊情形：切点分别在短轴两端点时，求得两圆的方程为：x9 52 (y 2)2 81或9 52 (y2) 281.则两圆相交于点(5，0)，4 5，0.1

16、020x10205若定点为椭圆的右焦点F 2(5， 0)，则需证：PF 2 AF 2.设点 P(x ，yxx0yy0 1，所以点 A95， 20 4 5x0，00)，则椭圆过点 P 的切线方程是9455y0 ( 5 x， y4 5 ( 5 x4 5 (PF 220 4 5x0 ， PF2AF 200)， AF 25，5y00) 5y0) 20 4 5x0 4454505 x0 45x0 0，所以 PF 2 AF2.5y若定点为 Q 4 5， 4 5 20 4 5x0 5x0，0，则 PQx5)(y0)055AQ50(5y不满足题意综上，以线段AP 为直径的圆恒过定点( 5， 0)x2y233

17、(2018 湖南五市十校联考)已知椭圆 C：a2 b2 1(ab0)的离心率为5，过左焦点 F32且垂直于长轴的弦长为5 .(1) 求椭圆 C 的标准方程；(2)点 P(m,0)为椭圆 C 的长轴上的一个动点，过点P 且斜率为4的直线 l 交椭圆 C 于 A，5B 两点，证明： |PA|2 |PB|2 为定值c3e a 5，a 5，解： (1)由 2b232可得 ，a 5 ，b 4c 3，a2 b2 c2，x2y2故椭圆 C 的标准方程为2516 1.初中数学、数学课件、数学教案、初中数学试卷、试题数学、数学导学案、数学练习题、数学初中初中数学、数学课件、数学教案、初中数学试卷、试题数学、数学

18、导学案、数学练习题、数学初中5x2 y2 1，消去 x，并整理得25y2 20my(2) 证明：设直线 l 的方程为 x 4ym，代入 2516 8(m2 25) 0.设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 y y 4m， y1y2 8 m2 25，12525又易得 |PA|2 (x1 m)2 y21 4116y21，同理可得 |PB|2 41 216y2.22412 241414m216 m2 25则 |PA| |PB | 16(y1 y2)16( y1 y 2 )2 2 y 1 y 2 16525 41.所以 |PA|2 |PB|2 是定值4 (2018 石家庄模拟 )已知椭圆x

19、2y2F1，F 2，C： 2 2 1(a b 0)的左、右焦点分别为ab离心率为 3，点 A 是椭圆上任意一点， AF 1F 2 的周长为 4 23.2(1) 求椭圆 C 的方程；(2) 过点 Q( 4,0)任作一动直线 QN，若在线段l 交椭圆 C 于 M ， N 两点，记 MQMN 上取一点 R，使得 MR RN，则当直线 l 转动时，点 R 在某一定直线上运动，求该定直线的方程解： (1)因为 AF 1F2 的周长为4 2 3，所以 2a 2c 4 23，即 a c 23.又椭圆的离心率e ca 23，所以 a 2， c3，所以 b2 a2 c2 1.2x2所以椭圆C 的方程为 y 1.(2) 由题意可知，直线 l 的斜率必存在故可设直线l