向量三点共线定理及其延伸应用汇总

1、向量三点共线定理及其扩展应用详解、平面向量中三点共线定理的扩展及其应用、问题的提出及证明。1、向量三点共线定理：在平面中 A B、C三点共线的充要条件是:uv uuv uuuv , 一 一一 j ,OA xOB yOC. （O为平面内任意一点），其中x y 1。那么x y 1、x y 1时分别有什么结证？并给予证明。结论扩展如下：1、如果O为平面内直线BC外任意一点，则当x y 1时A与O点在直线BC同侧，x y1时,A 与。点在直线BC的异侧，证明如下:uv uuv uuv设 OA xOB yOC且A与B、C不共线，延长OA与直线BC交于A1点uuv uv,设 OA1OA （ W0、 W1）

2、 A1 与 R C共线则存在两个不全为零的实数uuuvOA1uuv mOBuuvnOC 且 muuv则 OAuuv mOBuuv nOCuuvOAmuuvmOBn uuv nOC(1)A1uuvOA1 luuuv uuvOA1 OA1A与O点在直线BC的同侧(如图1)图1(2)0,则 x y 0uuv uuuv1 ,此时OA与OA1反向A 与O在直线BC的同侧（如图2）A1B C(3) o此时OuvUULV-OAuuuvOA1A与O在直线BC的异侧（如图3）ACBA112、如图4过O作直线l平行AB,延长BO AQ将AB的O侧区uuv uuv uuuv域划分为6个部分，并设OP xOA yOB

3、,ninw则点P落在各区域时,y满足的条件是:VIOV图4(I)区:(IV)区:（证明略）(n)区:(m)区:(V)区:(VI)区:、用扩展定理解高考题。（1） 2006 年湖南（文）10如图5OM PAB，点P在由射线OM，线段OB及AB一，*uuv的延长线围成的阴影区域内（不含边界），且OP可以是（）A. （1, 3）B. （2 2）C. （ 1 0）4 43 34 4解：根据向量加法的平等四边形法则及扩展定理，则x 0,且O x y 1 ,则选Cuuv xOAD.uuvyOB ,则实数对（X、y）（2） 2006年湖南（理）15 如图5 OM PAB，点P在由射线OM线段OB及AB uu

4、uvuuv uuuv的延长线围成的阴影区域内（不含边界）运动，且 OP xOA yOB,则x的取值范围是。当x 1时，y的取值范围是2解：根据向量加法的平行四边形法则及扩展定理，则有:111x 0,且当 x -，有：Oxy 1,即 o yi -y222答案为：x 0, （1, 3）B22 PM.图5二、向量共线定理的几个推论及其应用Ara共线 有且仅r人教版数学（必修）第一册（下）P115面介绍了一个定理：向量 b与非零向量r r有一个实数 ，使b= a。谓之“向量共线定理”。以它为基础，可以衍生出一系列的推论，而这些推论在解决一些几何问题（诸如“三点共线” “三线共点”等）时有着广泛的应用。

5、以下通过例题来加以说明。一、定理的推论r rr r r推论一：向量b与向量a共线存在不全为0的实数1, 2，使1a 2b 0 ,这实质是定理的另外一种表述形式。uuu uur r推论二：三个不同点 A B C共线存在一组全不为0的实数1, 2，使1AB 2AC 0。注意推论（二）与推论（一）的区别：推论（二）中UUr UULTAB, AC均不为零向量，而推论（一）中，向r r ur量a, b可能含O。推论三：设O A、B三点不共线,uuu uuu 且 OP xOALUUyOB , (x, yC R),则 P、A、B三点共线x+y=1 。这实质是直线方程的向量形式。推论四：设O为平面内任意一点，

6、则三个不同点 A、B、C共线存在一组全不为0的实数1, 2, 3, , , 3uuu uuu uuurir使 1OA2OB3OCO 且 123 =0证：当O点与A、B、C三点中任一点重合，则推论（四）即为推论（二）当O点与A、B、C三点均不重合，则三点 A、B、C共线存在s, t C R,且s t W0,使uur得sABuur uruuutAC O ,此时，sw -t ,否则 ABuurAC ,从而B点与C点重合，这与已知条件矛盾，故有:uuu uur uur uuus(OB OA) t(OC OA)iruurO ,即：s OBuur tOCuuuLT(s t)OA O 。显然 s+t+-(s

7、+t)=0令(st) 10,s20,t30 ,故1230得证。推论五： 设O为平面内任意一点，则三个不同点A、B C不共线若存在实数1, 2, 3 ,使123 =0。uuuuuuuur ir10A 2OB30c 。且 123 0 则推论五实质是推论四的逆否命题。推论六：点P在AAB0的内部（不含边界）uur uuu uuu存在正实数1, 2 ,使得OP 10A 20B，证：如图，必要性：若点 P在AAB0的内部（不含边界），则uuruuu uuuOP 10A 20B ,延长。汽AB于Pi,过P作OA OB的平行线，分别交OA OW M, N点，过Pi作OA OB的平行线，分别交 OA OB于M

8、, N点，显然uuuu uuuuu uur uuur uuruuuuuuir uuuuuu|PM | |PM1 |, |PN| |PN1|, OPOMON1OA2OB。其中 110, 20。由于 1uuuu|OM | 2 uuu|OA|uuir uur uuuu|ON | |PN | |PM | uuu uuu uuu-1|OB| |OA| |OB|uuur uuuuu|PN1| |RM1| uuSHuur|OA| |OB|uur uur uuu脚瞰圈|AB| |AB| |AB|1.而充分性由上述各步的可逆性易知。事实上，我们可以将推论三与推论六整合在一起，导出推论七:推论七：uuu uuir

9、uuu uuu已知平面内不共线向量 AB , AC且AP 1ABuur2AC分别记过点A且与BC平行的直线为11,直线BC AB, AC分别为|2,l3,l4.则:P点在直线I2上121； P点在直线12不含A点一侧 121；P点在直线I2与I1之间 0121；P点在直线|1上120； P点在直线I1不含直线l2 一侧120；P点在直线I3不含C点一例2 0, R； P点在直线l3含C点一侧 2 0, 1 R;P点在直线I4不含B点一侧10, 2 R , P点在直线I4含B点一侧uur uuur证：设直线AP与直线BC相交于点P ,则设BP tBC ,则uuuruuuuuiruuuuuurui

10、ur uuuruuuuuruuurAPABBPABtBCABt(ACAB)(1 t)ABtACuur uuir故P若在直线BC上，则12 1,又 AP, AP共线，10, 2 RoIIuuu则APuuur uuukAP，故：1ABuuuruuu2AC k(1 t)ABuurtAC,则(kt kuuruuur1)AB (kt 2)AC ,AB AC不共线,kt则kt2(kt 2)(1)P在区域内，则0k1,即0V 12均为正实数，即011,02 1；(2)P在区域内，则0k1 ，1；(3)P在区域内，则k0,0,0；(4)P在区域内，则k0,0,0；(5)P在区域内，则k0,0,0,且0；(6)

11、P在区域内，则0k1,(0,1)；P在区域内，则1,1；(8)P在区域内，则0,1；(9)P在区域内，则0,1.综上：当P点位于11上方,0；当P点位于11下方12上方,（0,1）；当P点位于12下方12 1；当P点位于13左边,0, 13右边，20；当P点位于14左边,10 , I4 右边 10从而得证。注：推论（七）的相关结论还可以分得更细，它对解决“区域”问题很有重要的作用。、应用举例例1如图,在平行四边形 ABC邛，点M是AB的中点,三点共线。uur证：设ABur uuur uue1 , AD 3 ,ur uuuur（e与e2不共线），则BDuuure2e.uur1 uuur1 ur

12、ur.N 为 BD 的三等分点，BN 1 BD 1(e2 e),而33uuuu BM1 uurr -BA 21 1r一 8 ,2点N在BD上。1 uu1 ur1 uu21 M1 uu2 uuuu1 uuur2uuuu12e2一ei一色()ei-e2一BM一BCBM ,1 m , n一,且 m+n=1,33332333333uuur BN且B M C三点不共线，则点 M N C三点共线。例2 设M, N分别是正六边形 ABCDEF勺对角线AC CE的内分点，且AM CN，若 B、M NAC CE三点共线，求的值。分析：要求 的值，只需建立f（ ）=0即可，而f（向量形式中。解：延长EA, CB交

13、于点巳设正六边形的边长为1,易知uuuAE=AP=AC=3 , PB=2,A是 EP之中点，CE1 uuur CN ,）=0就隐含在直线方程的AECP 为 RtA,uuu 1 uuuCA 1 (CE2 AM CNAC CE1 uuuu 1CM uuuCP)uuur CN1 uuur CN 2uuu CA3 uuu -CB2uuur3CB1 uuuu CMuuur CM1 uuur CN 2q uuu 3CB ,2uuu CN 23(1)uuuCB2 B、MN三点共线.由推论（三）知，1一 丝一） 1 二3即为所求 223例3 （06年江西高考题）已知等差数列uuran的前n项和为若OBuur

14、uura10A a200 OC,且 A、RC三点共线，（设直线不过点 则S200 =A. 100B. 101C. 200D. 201解：易知 a1+a200=1, /. S200200何 a2。）100,故选Ao例4 （06年湖南高考题）如图0豚AB,点P在由射线OM线段OB及AB的延长线围成的阴影区域uur内（不含边界），且OPuuuuuurxOA yOB ,则实数对（x, y）可能的取值是A. (1,3)B.(2 23,3C.1 34,4解：由P点所处的区域，利用推论（七）的结论uuu uuu uuu我们不难判定OP xOA yOB中的线性组合系数对（x, y）0x+y1 ,且 x0。从而

15、应选 CD.应满足例5 （梅涅劳斯定理）若直线l不经过A ABC的顶点，并且与A ABC的三边BG CA AB或它们的延长线分别交于 P、。R,则空CQ期=1PC QA RBC证：如图，设 P、Q R三点分有向线段 BG CA AR所成的比分别为皿 BP CQ AR1, 2, 3 ,贝UPC QA RB| iI| 1,0,因而只需证明1231 uurOP任取-占八、O ,则由士 7E比uuuuuruuruuuuuurOB1OCuur,OQOC2OAuur OROA3 1,111213又P、Q R三个分点中有一个或三个外分点,所以分R三点共线,，由推论4知存在全不为0的实数Q12uuuOB占八、

16、的向 量公式得P、k2, k3使uur k1(OBkik2uuuriOC)1k30k2(uuurOCuuu2OA)k3(uuuOAuur3OB)即(-1uuu -)OA 33k3k11uuir-)OB11k1k2uuu -)OC 2r0,且(1k31-)3(13k3k1-)1(11 k1-)20,而AB C三点不共线，由推论 5得2k212k33k31k111k2120, 1 ,原命题得证。（塞瓦定理）P、QR分别是A ABC的BGCA AB边上的点，则,AR BQ CR三线共点的充要条件是BPPCCQQAAR1。证：必要性:RB如图，设P、。R分有向线段BG CAAB所成的比分别为则史CQ AR 11PC QA RB在平面ABC内任取一点O,令AR BQC”线交点为MOUA、M PP三点共线，由推论4知,存在实数k1使uuuu uuuOMkOA (1uur uurk1)OP kQAuurOBuur1OCuuukOAk uuu-OB1k1uuur1OCuuuur同理存在实数k2, k3使OM(1k2)uuu2OAuur k2OB潴, 12uuuu 1OM - 1k3uur 1OA - 1k3-得:(k11 k2-得:(k11k3又A、及(k1uuur3OBuuu2)OAuuu )OA(1(1k1B、C三点不共线，且（k1k2(1