物理学毕业论文-简谐振动速度测量的误差分析

1、 学学 院院本科毕业论文(设计) 题题 目目 简谐振动速度测量的误差分析 院院 系系 物理与电子工程学院 专专 业业 物理学 姓姓 名名 学学 号号 3 学习年限学习年限 指导教师指导教师 2010 年 05 月 27 日 1简谐振动速度测量的误差分析 摘 要: 针对简谐振动实验数据处理存在的问题进行分析, 提出以 到的平ttt均速度表示时刻的瞬时速度而不是 时刻的瞬时速度, 利用多项式最小二乘法2ttt拟合实验数据得到与理论计算相吻合的振动曲线.关键词: 简谐振动; 误差分析 2Error analysis of simple harmonic vibration velocity meas

2、urement ABSTRACT: As to the experimental data processing for the problem of simple harmonic analysis, using average speed from to to express the tttinstantaneous velocity at rather than is proposed. Polynomial least-2tttsquares fitting of experimental data obtained is consistent with the theoretical

3、 calculation of the vibration curve.KEYWORDS：Simple harmonic vibration, Error analysis 目 录引引 言言.11 简谐振动的简谐振动的V -t关系关系.21.1 理论模型.21.2 实验方法.22 误差分析误差分析.52.1 初始速度设定.52.2 拟合曲线与误差分析.63 修正方案修正方案.93.1 理论分析.93.2 修正方案.9总总 结结.14参考文献参考文献.14 引引 言言振动现象广泛地存在于自然界中, 一切复杂的振动都可表示为多个简谐振动的合成, 因此, 熟悉简谐振动的规律是非常重要的, 从而引起人

4、们的关注13. 简谐振动的运动规律, 可根据牛顿第二运动定律并用数学方法来导出, 在这里我们通过实验的方法来验证理论结果. 在气垫导轨上研究简谐振动的关系, 通过对通常采用的方法vt进行分析, 找出误差的原因, 修正实验系统误差, 更好的验证简谐振动的关系. 从vt中掌握系统误差修正的方法与思路. 1 简谐振动的简谐振动的关系关系V -t1.1 理论模型理论模型在水平气垫导轨上研究简谐振动规律的装置如图 1.1 所示. 质量为的滑块在水m平方向所受弹性力为 (1.1)12()Fkkx 令,其中、分别为左面弹簧12kkk2k m1k2k和右面弹簧的倔强系数, 为弹簧振子总的倔强系数, k而为弹簧

5、振子的振动圆频率. 应用牛顿第二定律则有 (1.2)2220d xxdt其解为, , 这里 和分别为 时刻的位移与速度, sin()xAtcos()tvAtxtvt为弹簧振子振动的振幅, 为振动初位相. 如果选择时, , 则, 从而有A0t 0 x 0 (1.3)sinxAt (1.4)cos()tvAt1.2 实验方法实验方法实验分为两个方面a. 实验测定系统的圆频率将光电门置于滑块的平衡位置, 平板型挡光片的挡光前沿位于光电门处, 用数1G字毫秒计测出周期, 进而由得出圆频率. 选择进行测量(共测T2T20.00cmA 量五次), 结果见表 1.1.b. 实验测定关系vt将光电门置于滑块的

6、平衡位置, 平板型挡光片的挡光前沿位于光电门处, 用1G数字毫秒计测出周期, 进而由式得出圆频率. T2T将平板形挡光片换成型挡光片, 光电门分别置于滑块平衡位置右侧距平衡U2G位置约处, 准确数据由固定光电门后用米尺测量确定. 滑块拉至左侧距光12,nx xxm1k图 1.1 弹簧振子示意图Ox2k 电门(即平衡位置)(振动振幅)处,然后释放, 这样滑块上的型挡光片将依次通1GAU过光电门和光电门.由数字毫秒计测出型挡光1G2GU片的第一个挡光前沿通过两光电门的时间间隔, 也就是滑块通过两光电门之间的时间间隔 及形挡光片tU第一个挡光前沿和第二个挡光前沿通过光电门的2G时间间隔. 若所用的型

7、挡光片的挡光宽度为, 用表示滑块通过光电tUdevdt门处时的速度. 当光电门分别置于处时, 得到一组及对应2G2G12,nx xx12,nt tt的, 由此得出速度与时间 之间的关系. 12,eeenvvvevt表 1.1 的计算程序:%计算 N 个测量值的算术平均值、残差、实验标准偏差和平均值的实验标准误差程序。clearhn=1055.68,1055.69,1055.92,1055.72,1055.77; %填入 N 个测量值，每个数据之间用逗号分开。nn=size(hn);N=nn(2);hp=0;for n=1:N; hp=hp+hn(n)/N;endfor n=1:N; vhn(n

8、)=abs(hn(n)-hp);endfor n=1:N; vhn2(n)=(hn(n)-hp)2;endsigma2=0;for n=1:N; sigma2=sigma2+vhn2(n)/(N-1);1G图 2 测量时间与位移关系示意图.2GnxA endsigman=sqrt(sigma2);s= sigman/sqrt(N);hp,vhn,sigman, s %hp 代表算术平均值,vhn 代表残差,sigman 实验标准误差, s 平均值的实验标准误差。%end结果：1055.760.05表.1 简谐振动角频率 T msT ms1s1055.681055.691055.92 1055.

9、760.05 5.95130.00031055.721055.77 2 误差分析误差分析2.1 初始速度设定初始速度设定由实验得出速度与时间 之间的关系. 并以速度理论计算值与实evtcostvAt验测量值进行比较, 并计算二者间的相对误差, 结果见表 2.1.%100%tetvvv理论计算得到滑块通过原点处的光电门时的速度为:,cos20.00 5.9513119.03 cm setvvAt所以实验时应该保持每次测量时通过光电门的时间为:. -31 119.038.401 10ts 表.1 实验数据与误差结果 x cmt mst ms1evcm s1tvcm s100%tetvvv 0.10

10、 0.00 8.401 119.027 119.027 0.05.88 49.75 8.89 112.49 113.85 1.29.90 86.20 9.97 100.30 103.70 2.414.00 129.95 12.28 81.43 85.17 4.418.25 190.84 23.82 41.98 50.16 16.3从表中的结果看, 实验值与理论值的误差最大为 16.3%, 这远远超出了仪器evtv误差的范围. 是无法接受的结果, 如果承认这个结果, 那说明理论是有偏差的, 这显然是不对的, 问题应该出在实验上.为了更清楚的显示理论结果与实验结果存在的差异, 我们使用 Matla

11、b 对实验数据进行拟合,实验数据计算位移、速度与时间的关系的拟合多项式程序:clearA=20.00; %输入振幅w=5.9513; %输入圆频率 t=0,49.75,86.20,129.95,190.84*10(-3); %输入时间dt=8.401,8.89,9.97,12.28,23.82*10(-3); %输入时间间隔ve=1./dt; %计算实验测定的速度xe=0.1,5.88,9.90,14.00,18.25 %实验测定的位移vt=A*w*cos(w*t); %计算理论公式计算的速度xt=A*sin(w*t); %计算理论公式计算的位移dv=abs(vt-ve)./vt)*100;

12、%计算速度的相对误差dx=abs(xt-xe)./xt)*100; %计算位移的相对误差pv=polyfit(t,ve,3); %生成拟合多项式(向量形式),阶次为 3pvt=poly2str(pv,t); %生成拟合多项式(字符形式)px=polyfit(t,xe,3); %生成拟合多项式(向量形式),阶次为 3pxt=poly2str(px,t); %生成拟合多项式(字符形式)pvt,pxt,ve,vt,xe,xt,dv,dx %依次输出拟合多项式，实验测定的速度，理论计算的速度，相对误差%end2.2 拟合曲线与误差分析拟合曲线与误差分析由实验数据计算位移与时间的关系所得拟合多项式为:.

13、 (2.1)32=547.1023 -22.2448119.28680.094809xttt速度与时间的关系, 即: . (2.2)32=316.19421931.207646.88499119.1185vttt通过拟合方程(2.1)、(2.2)作图 2.1 和图 2.2. 图 2.1 计算程序 :clearA=20;w=5.9513;t=0:1*10(-3):200*10(-3);xn=-358.7916*t.3-83.9452*t.2+124.718*t-0.0004482;xt=A.*sin(w.*t);te=0,49.75,86.20,129.95,190.84*10(-3); %输入

14、时间xe=0.10,5.88,9.90,14.00,18.25 %实验测定的位移 图 2.1. 实线, 点线及星号分别表示, 位移与时间关系的理论计算曲线、实验数据拟合曲线和实验点.图 2.2. 实线, 点线及星号分别表示, 速度与时间关系的理论计算曲线、实验数据拟合曲线和实验点.plot(t,xn, :k,t,xt,-k,te,xe,*k,LineWidth, 2)xlabel (fontsize14rmt/s, Color,k)ylabel (fontsize14rmx/cm, Color,k)legend(实验拟合曲线, 理论计算曲线, 实验数据点)grid onaxis(0 0.2 0

15、 20)%end图 2.2 计算程序 :clearA=20;w=5.9513;t=0:1*10(-3):200*10(-3);vn=316.1942*t.3-1931.2076*t.2-46.88499*t+119.1185;vt=A*w.*cos(w.*t);te=0,49.75,86.20,129.95,190.84*10(-3); %输入时间dt=8.401,8.89,9.97,12.28,23.82*10(-3); %输入时间间隔ve=1./dt; %计算实验测定的速度plot(t,vn, :k,t,vt,-k,te,ve,*k,LineWidth, 2)xlabel (fontsiz

16、e14rmt/s, Color,k)ylabel (fontsize14rmv/(cm.s-1), Color,k)legend(实验拟合曲线, 理论计算曲线, 实验数据点)grid on从实验数据拟合的位移曲线看, 与理论计算得到的曲线几乎完全重合. 但是由实验数据拟合所得的速度曲线与理论计算得到的曲线却存在较大的误差. 由此判断误差 的来源不应该是测量引入的误差, 应该是数据处理方法带来的误差.如果将(2.1)求导, 我们得到. (2.3)2=-3 547.10232 22.2448119.2868dvtt 由其是由(2.3)式得到曲线与实际测量所得到的曲线如图 2.3, 两者相符程度也大

17、大好于(2.2)与实验拟合曲线. 这将从另一方面说明了误差的来源应该是数据处理方法不当所致.图 2.3 计算程序 :clearA=20;w=5.9513;t=0:1*10(-3):200*10(-3);vn=316.1942*t.3-1931.2076*t.2-46.88499*t+119.1185;vt=A*w.*cos(w.*t);vd=-3*547.1023*t.2-2*22.2448*t+119.2868;plot(t,vn,:k,t,vt,-k,t,vd,-k,LineWidth, 2)xlabel (fontsize14rmt/s, Color,k)ylabel (fontsize

18、14rmv/(cm.s-1), Color,k)legend( 实验拟合曲线,理论计算曲线, 时间与位移关系求导曲线)grid on图 2.3.点线、实线及虚线分别表示:实验拟合的速度与时间关系曲线、理论计算曲线和时间与位移关系拟合式求导得到的速度与时间的关系曲线. 3 修正方案修正方案3.1 理论分析理论分析以上我们是把认为是 时刻的瞬时速度与进行比较的, 而实际上是evttvevdt滑块在时间内的平均速度, 所以用与用算出的 时刻的瞬时ttt vevcosvAtt速度比较显然存在问题. 那么应该用什么时刻的与进行比较呢? 应该是用在时tvevt间内瞬时速度等于平均速度的那个时刻的与进行比较

19、, 即应该用ttvev( )v tv 与进行比较. 接下来的问题是如何求得, 对于简谐振动有()tttt evt, (3.1)( )costv tAt (3.2)()( )sin()sinsin2cos()()22x ttx tAttAtttvAtttttt令上面两式相等得.sin2coscos()22ttAtAtt 由此得;. (3.3)sin2arccos cos()22ttttt 如果认为, 则由(3.3)式得0t (3.4)tt 从而有 (3.5)( )costv tAt 这种近似实际上是把简谐振动在时间内的运动看作是在作匀速运动. 前面的t与的比较就是在假定这样的条件下进行的, 而实

20、际上滑块的运动是变加速运动, tvev从而带来较大的误差.3.2 修正方案如果认为比较小, 即, , 则由(3.3)式得t0t sin221tt (3.6)2ttt 因而有 (3.7)( )cos()2ttv tAt 取此近似其实质是把滑块在时间内的运动看作是匀变速运动, 对于均变速运动, t时刻的平均速度等于时刻的即时速度. 由于在时间内, 振动滑块ttt 2ttt移动的距离很小, 在此范围内, 弹性力的变化可以忽略, 因此在这一小段时间内近似作为匀变速运动是合理的. 虽然用公式(3.3)计算所得的值要略大于公式(3.6), 但对位移与时间的关系曲线的修正基本上可忽略不计. 因此为简单我们用

21、时刻的2ttt 与进行比较, 结果见表 3.1. 0.0375 0.3557 1.5925 0.7829 0.9729tvev表 3.1 采用匀变速近似后的误差 t mst ms2mstt1evcm s1tvcm s100%tetvvv 0.00 8.401 4.201 119.0334 118.9888 0.03749.75 8.89 54.20 112.4859 112.8875 0.3686.20 9.97 91.19 100.3009 101.9241 1.6129.95 12.28 136.09 81.4332 82.0758 0.79190.84 23.82 202.75 41.9

22、815 42.3940 0.98从表中结果看出, 采用上述近似后, 与的相对误差已明显减小, 即已经能较好evtv的验证简谐振动的关系. 由表 3.1 数据中实验测得的速度对应时间为, vtev2tt可以得到新的速度与时间的拟合方程.(3.8)式拟合程序:clearA=20.00; %输入振幅w=5.9513; %输入圆频率t=4.2005,54.20,91.19,136.09,202.75*10(-3); %输入时间dt=8.401,8.89,9.97,12.28,23.82*10(-3); %输入时间间隔ve=1./dt; %计算实验测定的速度vt=A*w*cos(w*t); %计算理论公

23、式计算的速度dv=abs(vt-ve)./vt)*100; %计算速度的相对误差 pv=polyfit(t,ve,3); %生成拟合多项式(向量形式),阶次为 3pvt=poly2str(pv,t); %生成拟合多项式(字符形式)pvt,dv新的速度与时间的拟合方程: (3.8)32=1973.14712185.88218.7755119.2265vttt由式(1.4)和(3.8)绘制速度与时间的关系曲线如图 3.1.图 3.1 程序:clearA=20;w=5.9513;t=0:1*10(-3):250*10(-3);vn=1973.1645*t.3-2185.5947*t.2-18.774

24、8*t+119.2265;vt=A*w.*cos(w.*t);te=0,49.75,86.20,129.95,190.84*10(-3); %输入时间dt=8.401,8.89,9.97,12.28,23.82*10(-3); %输入时间间隔td=te+dt/2;ve=1./dt; %计算实验测定的速度plot(t,vn, :k,t,vt,-k,td,ve,*k,LineWidth, 2)xlabel (fontsize14rmt/s, Color,k)ylabel (fontsize14rmv/(cm.s-1), Color,k)legend(实验拟合曲线, 理论计算曲线, 实验数据点)gr

25、id onset(gca,ygrid,on,GridLineStyle,-)set(gca,xgrid,on,GridLineStyle,-)axis(0 0.2 40 120)图 3.1 与图 2.2 比较吻合程度已经大大提高. 但理论值均大于实测值, 这说明仍然存在系统误差, 其误差来源主要是由于未考虑阻尼的影响, 空气阻力的存在将使. 如etvv果考虑空气阻尼, 则方程(1.3)、(1.4)应改写为如下形式: (3.9) sin,txAet (3.10) cossin.ttvA etA et 使用拟合方程(3.8)和考虑阻尼因素后的方程 (3.10)重新绘制速度与时间的关系曲线图 3.2, 其中阻尼系数取(由实验测定), 从图上观察发现此时实线10.0170.001s与点线已基本重合.图 3.2 计算程序:clearA=20;w=5.9513;d=0.017;t=0:1*10(-3):250*10(-3);vn=1973.1645*t.3-2185.5947*t.2-18.7748*t+119.2265;vt=A*w.*exp(-d*t).*cos(w.*t)-A*d.*exp(-d*t).*sin(w.*t);te=0,49.75,86.20,1