2020届河南省示范性高中高三上学期期末考试数学(理)

1、20192020年度河南省高三上学年期末考试数学（理科）考生注意：1 .本试卷分第I卷（选择题）和第H卷（非选择题）两部分，共150分。考试时间120分钟。2 .请将各题答案填写在答题卡上。3 .本试卷主要考试内容：高考全部内容。第I卷一、选择题：本大题共 12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的.1 .若 z= （3 i）（a + 2i）（a C X）为纯虚数，则 z =A. 16i B.6i C. 20iD.20332 .已知集合 A = x C N|x2<8x , B = 2, 3, 6, C = 2, 3, 7,则（BU（eAC）A.2

2、 , 3, 4, 5B.2 , 3, 4, 5, 6C.1 , 2, 3, 4, 5, 6 D, 1 , 3, 4, 5, 6, 73 .已知向量a, b满足忸|=1, |b|=2,且a与b的夹角为120°,则|a 3b产A.不 B. 37 C.2 .10 D. . 4324 .若双曲线C: y21的一条渐近线方程为 3x + 2y=0,则m =m4A. 99B.一42C.一33D.2-9 -5 .已知底面是等腰直角三角形的三棱锥P-ABC的三视图如图所示，俯视图中的两个小三角形全等，则A.PA, PB, PC两两垂直C.|PA|= |PB|= |PC|=而B.三棱锥P-ABC的体积

3、为83D.三棱锥P-ABC的侧面积为3756 .山东烟台苹果因 果形端正、色泽艳丽、果肉甜脆、香气浓郁”享誉国内外。据统计，烟台苹果 （把苹果近 似看成球体）的直径（单位：mm）服从正态分布N（80, 52）,则直径在（75, 90内的概率为 附：若 X N(w, O2),贝U P(- b <XW+ b )=0.6826, P(厂2 b <XW 市2(7)=0.9544。A.0.6826B.0.8413C.0.8185D.0.95447 .已知函数 y(x) = 2sin(江()井 b( c>0), f ( x) f (一 x),且 / f (一)5 ,则 b =888A.3

4、B.3 或 7C.5D.5 或 8ln x8 .函数 f(x) = |x|2x的图象大致为x y 09.设不等式组_表示的平面区域为 Q,若从圆C： x2+y2=4的内部随机选取一点 P,则P取自x 、3y 05A.247B.2411C.2417D.2410.已知函数f (x)4x2x3,x 0 10g9 x2,则函数y = f(f(x)的零点所在区间为9,x 0Q的概率为A.(3, 7)B.(-1, 0)C.(7 , 4)D.(4, 5)11 .已知直线y=k(x1)与抛物线C： y2=4x交于A, B两点，直线y = 2k(x 2)与抛物线D：y2=8x交于M,N两点,设 七|AB|-2|

5、MN|,则A. K16 B.入=16 C. 12<«0 D. X= 1212 .中国剩余定理”又称 孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作孙子算经卷下第二十六题,叫做物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何现有这样一个相关的问题：将1到2020这2020个自然数中被5除余3且被7除余2的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，则该数列各项之和为A.56383B.57171C.59189D.61242第n卷二、填空题：本大题共 4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡中的横线上。13 .(2x)8展开式的第5项的系

6、数为2、x14 .函数 f(x) = 7x ( Vx 4) + x 1 的值域为 15 .在数列an中，ai = 1, anwo,曲线y = x3在点（不，an3）处的切线经过点（an+i, 0）,下列四个结论：21465a2=;a3=;ai ；数列an是等比数列。33 i i 27其中所有正确结论的编号是 。16 .在矩形ABCD中，BC=4, M为BC的中点，将 AABM和 DCM分别沿AM , DM翻折，使点B与C 重合于点P。若/ APD = 150°,则三棱锥 M-PAD的外接球的表面积为 。三、解答题：本大题共 6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步

7、骤。1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22, 23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17 .（12 分）a, b, c 分别为 4ABC 内角 A, B, C 的对边。已知 a= 3, csinC= sinA + bsinB ,且 B=60°。（1）求ABC的面积；（2）若D, E是BC边上的三等分点，求 sin / DAE。18 .（12 分）如图，四棱锥E-ABCD的侧棱DE与四棱锥F-ABCD的侧棱BF都与底面ABCD垂直，AD ± CD , AB /CD,AB = 3, AD=CD=4, AE = 5, AF = 3 o（1）证明：

8、DF/平面BCE。（2）设平面ABF与平面CDF所成的二面角为 9,求cos2 919 .（12 分）追求人类与生存环境的和谐发展是中国特色社会主义生态文明的价值取向。为了改善空气质量，某城市环保局随机抽取了一年内 100天的空气质量指数（AQI）的检测数据，结果统计如下:AQI0>S0(5A.1O0 二门00,150(150,200-|(>50*300空气质量优良粒度污烈中度污染重度污染产里污染天数614182725_10从空气质量指数属于0, 50, （50, 100的天数中任取3天，求这3天中空气质量至少有 2天为优的概率；（2）已知某企业每天因空气质量造成的经济损失y（单位

9、：元）与空气质量指数x的关系式为0,9 x 100y 220,100 x 250，假设该企业所在地 7月与8月每天空气质量为优、良、轻度污染、中度污染、1480, 250 x 300一、，一，111111 一 一 ，、，一 一 .,一、重度污染、严重污染的概率分别为-,-,-, ,-,-o 9月每天的空气质量对应的概率以表中100天的空6 3 6 12 12 6气质量的频率代替。(i)记该企业9月每天因空气质量造成的经济损失为X元，求X的分布列；(ii)试问该企业7月、8月、9月这三个月因空气质量造成的经济损失总额的数学期望是否会超过2.88万元？说明你的理由。20 .(12 分)x2y2一

10、3. . . 一 . . 一已知椭圆C： = 2r 1(a b 0)过点(1,一),过坐标原点 。作两条互相垂直的射线与椭圆C分别交a b2于M , N两点。2证明：当a2+9b2取得最小值时，椭圆 C的离心率为 学。(2)若椭圆C的焦距为2,是否存在定圆与直线MN总相切*存在，求定圆的方程；若不存在，请说明理由。21 .(12 分)已知函数 f(x) = 2ln(x + 1)+sinx+1,函数 g(x) = ax1blnx(a , bC R, abw。)(1)讨论g(x)的单调性；(2)证明：当 x>0时，f(x) < 3x1o证明：当 x> 1 时，f(x)<(x

11、 2 + 2x+2)esinx。(二)选考题：共10分。请考生从第22, 23两题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一个题目计分。22 .选彳4 4:坐标系与参数方程(10分)x 1 2cos在直角坐标系xOy中，曲线C的参数万程为(4为参数)。以坐标原点为极点，x轴正半y 2sin轴为极轴，建立极坐标系。已知点 P的直角坐标为(一2, 0),过P的直线l与曲线C相交于M, N两点。若l的斜率为2,求l的极坐标方程和曲线 C的普通方程；uuuu UULIT(2)求PM PN的值。23 .选彳4-5:不等式选讲(10分)已知函数f(x) = |2x-1|+|2x+1|,记不等式f(x)<

12、;4的解集为 M。求M；(2)设 a, bCM,证明:|ab|a|b|+1>0。20192U20年度河南省高三上学年期末考试数学参考答案(理科)1, C因为iSfl+S+tfi-为纯虚数上厮以3(t+20t*t 则工=号I因为八 UEN(Xj<m = U,即3,1二力.”，所以口匚一门4,加班，所以七。(££)="花,3,4,5指, 因为 a-3b - a- - 6(i f+乌 b - - 1J-5X IXZXcoj 1即*+ 9X 三=，3.所以目一昵=/U.4- A由也意知,双曲线的渐近战方程为产土=上0»>门.£42尸t

13、J可化为尸一等上制解得/抑fW叁.C 根据三幌图.可得二度出F的疔现图如图所示,K中。为AB的中点底面ABC.所以三棱等PABC的体联为与A： -PA = P13 =rr 国Jl /坐.PC 4：可能的周垂宜. 1：棱锌P-ABt 的泉|何程为霍宿+2屈1，S.C 曲题尊中=勖2机- P(75<X<»S)O.Mi2«.P(7O<X<；EM)>-0,9544.所以 P(05<X9(»=y X(Qi 9&MQ. 6喀=0.13册.尸(75<*<90=。的加十。.1茄9=01别35.一盘实直径在，出U内的概率为，.

14、R1&1'：R弋I3.二#上1的图象关于上一令对称二土25.邺心一3或二 ftftfto氏A因为/-a F53所设“丁)是膈的我播除C卸D.当j->oah门川一下一¥，/'储一 .十三 ,一1,令，<必用K<令/)>>得£>1.所队外3在m=1处收寿粮小值,排除&故 选X.9.B作出n中在IKI r内部的区域,如图所示，因为直嵬1+y=口,丁店3=0的帧斜凿分J*别为辛卡厮以用图可群户收自口的摞率为&芹=71r j ' .10. A 当J<O时此时/GJ无零点11 /当诘0 时 t f

15、s)=3HqLNg=2+iDg,Lg 为埴函数，且 y(s)=a令/</<工"=。,得/<力=+即产T=*,因为f=(X3,/Vg)=&泛T睢-y-9>3.所以函数y= /("的零点所在区间为3 s. 11. U 设lj . . *7刃(>、J,联立*工 '得(241 +4)-r+ = oT!i| jiq =* = 24告.- Li,*'*'10因为内纹也Q 1康过匚的焦点，所磔4 +心»1 国理可用MN -8 1/，所以AT IL5 -12.比C 械5除余3且被除余2的正整数构成首瓜为芯,公差为5X7

16、=35的等差数的.记该敷网为;人匕胤打7CTQ V 彳7-231圻*L)= 33fl 12,令%6r 12<20绝觥跖区58 ,故改数列各闻之和为5gxz3尸 乂第一 59189.13.70心工一尸的爬开式的通项Tii=CS<Zi/"一一了=，一”-1工一生.当r=4时.匕21f = 2Jx277=7U.乜二一3十内) 丫几3="一44一1一寮/71产一3玲0".的的值域为匚一九十3).15.卬 "y=3jj »/.v-jr1在点i处的切籍方程为y汨=昵£工一4J则一u； =、MSe%).*Q*KU"ie=等%剜

17、修、是苜项为1 ,能比常备的等比数列，从而出 二.叫 J 期他所有正战结论的簿号底工'办 - ，-1 16.68<由随意门知.MF 4,MF_LFD.所以MF_L平面FAD.设八ADF外接P1的平模为一则由iE芭定科 可福而罢而=即目前=如.所以r4.9核锌MP八D外推球的半转为竽>+产 = l + l&= 7,所以沙K球的表面积为44中=&卮117.就“口：.舟匚一所力4+加gH-;山正弦定理百一一4+存. 1分丫3-3,；*方-& 之分又 13工600*，射 4 分*.=1 . $ 号，+ABL 的面朝 3告口口 6分£12)设力拿近点

18、B.则BD-nE=K =L 7分在,”口中,山余弦定理.得AD /1: +4: -2X 1X4X60" - /T工”“一+ - -一一。分 卫 £=、/己 一3 = /T V /« At' = zlD, - 5Tpm"r 5n 1 0分 VDE"E3C? AAE I CD. 11 分故科京官一+ 12 分 应 门)证明；口上，平面R衽口一力库AD.1分2分3分1分！， 5分;.9分】分11;二7山一1,Ai；-a IDE-* |可理u|得 Hl，一工 x又。£平向1用力*8产|平面AHt 7 L DE.：.EF=DE.;四边彩

19、8EDF为平行网均形,，DF/BE. 一*.*R£匚平面BCEJIF仁平面 留E.J.RFN'平面BTE, 解1以Q为俱点成立加图所示的空间立用里振聚口一工声, 则 L)< U.9.) *A<4pF(4*3* 3 J. 则nr=Er),4.0L口f=glw,ml -设平面fT>F的法向量为时一(>7.I 4 *="(>.MIJ" rx -fl DF-O.HU ,I 43-4-3 3=-=() .令=3*则 i=4 r= t3»D,4).易面平面JRF的外出向量为恻-H.C.OL .m * n 3*.00% ffl,

20、H> = - = -7 t m n 5机X仔一1 一套1U分值解IC）设F为选取的小式中空气质为优的大故国刊心外=刊12:+汽4却二笔基+塔女=兽.1分Lru L技 1 IH（2）C i ）*的可能限值为0.四kEKD*? IP( A=0)=HO<j<100)=4-t1 uv 产(X=尊0J=F(】UCXt5O>=啬=, -。分FLX= 1480)=Fm-二0一瑞5* - - 7分则A的分布列为X02ZOI486P1T7 而1一由（I ）知 i.X-O> 4- J 220X<+1如h*-30"心， LU1U故该企业9月的经济损失的敦学期望为30匕&

21、#165;=9066元L 8分设该企业7月与B月每天因空气施景苣成的经济损失为Y元，则尸iT=0x+十工会如，二-十蓊十”二七 遇 J £u Jij£ L Jb1 J/J<Y14BO）, g 先所以 ¥=。、= 4220><4-+148。><4-3即元八 I口分£3&所以7月与8月因空气值St薇苴斐晒失的鼠方为320Xf3l+3D-19S4D（元）.】分因为】9840+皿咯0费9003工88万.所以这3个月经济损失总额的鼓学期望会超过工达1万元. 2分证明楠憾经过点口，耳） '：一等一1- 1" i

22、 j-mf _ r 1 _u。1.区5_1_时 。产、艮$ J-u /责 * 二妇j <1.，出+9/ 一F+正“口 +9"， 1十产十标/了十£.7充一丁，上分当且保当饕=富，即相=办时.等号成立，- M分it时依凰C的摩，1率I-等" * * 4分解；丫桶曲C的焦跳为"L又卷T,/T 5分当醛IMN的斜率不存在时，由对噌性*设MUeJYU- a）.;也乂在糊帆（?上，二千一专1,*"孚；Q到在线MV的距周"|引- F分 当直线MN的翦率存在时设MN的方程为了 上+叫 yTi+%由彳 产 V2涉（3+4趣z L-十履帆r+4，

23、/12=5 ,+-+.I+ .分|不片=】，A 、M3+，* ） （4j»! -12） , '0曲11口”,13、兀心*1yit则 加+:七- 3驾J：算/- &分VGWLO.V* Ar. r2 +上为=0.r_,r2-<Jbi + iii)也门 +w!)= (Aj'"F>jj,2 +tm(；r. +-m 1+/ =0+ -9分二8+1)，警二产 +川。,即7祝-12(炉+1 10分J， V J1 I TT j|b“，到膝”的距感=/?=.分僚上Q到直援MN的距离为定值且定值为亨L故存在定制0,三十y=争使得隔。与直线MN总相切.in '”-*.* *+2 + 1 +2*112 分211）解,弁5）的定义域为（必+8）*/0）=也丁一I分与"$）时,，川：3则如川在, + x）上单遍递增； 2分当530时，苫工上7 ,假/二，令/口卜工3得0二，M：,则mU）在S,：） L单曲通减.在?. +oc）上 单调捶增：3 分 当京川在（6+工上单谢邂或*4分当q<t)/<0时.争/(x>>C,券0<r<?+令/Q)<Q*将*：?，则式工)在3.9)上单词墨增