固态电子2013-第四章

1、第四章第四章 晶格振动晶格振动 晶体中各原子在一定温度晶体中各原子在一定温度T下，都在各自的下，都在各自的平衡位置附近作振动平衡位置附近作振动我们称为晶格振动，它我们称为晶格振动，它同样会影响晶体的性质如比热、热导等，也与晶同样会影响晶体的性质如比热、热导等，也与晶体对光的散射有很大关联。体对光的散射有很大关联。 本章的中心内容是采用本章的中心内容是采用最近邻原子简谐近似最近邻原子简谐近似的方法的方法来研究晶格振动的问题，用来研究晶格振动的问题，用格波格波来描述这来描述这种晶体原子的集体运动，并由一维振动得出的结种晶体原子的集体运动，并由一维振动得出的结论推广到三维振动，最后从量子理论的角度用

2、论推广到三维振动，最后从量子理论的角度用声声子子这个概念来表述格波对应的能量。这个概念来表述格波对应的能量。4.1 一维单原子链的振动一维单原子链的振动 一、晶格振动一、晶格振动格波格波 模型建立：一维单原子链含模型建立：一维单原子链含N个原子，每个原子都具个原子，每个原子都具有相同的质量有相同的质量m，平衡时原子间距，平衡时原子间距晶格常数晶格常数a。 研究思路研究思路：把原子的振动看作是简谐振动，先计算：把原子的振动看作是简谐振动，先计算原子之间的相互作用力，再根据牛顿第二定律列出原子之间的相互作用力，再根据牛顿第二定律列出原子的微分运动方程，最后求解方程。原子的微分运动方程，最后求解方程

3、。 步骤：步骤： 求出原子间的作用力；求出原子间的作用力； 列出原子振动的微分方程；列出原子振动的微分方程； 求出方程的解。求出方程的解。图图4.1 一维单原子链模型一维单原子链模型在平衡位置时，两个原子间的相互作用势能为在平衡位置时，两个原子间的相互作用势能为U(a)考虑第考虑第n个原子，令振动后个原子，令振动后nn1（4.1.1）则振动后两个原子的相互作用势能变为则振动后两个原子的相互作用势能变为U(a+)将其在平衡位置处泰勒展开：将其在平衡位置处泰勒展开：222)(21)()()(aadrUddrdUaUaU（4.1.2）在在r=a处处 ，U(a)为常数，为常数，很小很小忽略高次项忽略高

4、次项0)(adrdU222)(21)()(adrUdaUaU（4.1.3）则在振动时，原子受到的恢复力为：则在振动时，原子受到的恢复力为：adrUdddUf)(22（4.1.4）这种处理晶格振动的方法叫这种处理晶格振动的方法叫简谐近似简谐近似其中恢复力常数其中恢复力常数adrUd)(22（4.1.5）以第以第n个原子为研究对象，考虑左、右原子对它的个原子为研究对象，考虑左、右原子对它的作用力，则第作用力，则第n个原子受到的总作用力为：个原子受到的总作用力为：)2()()(1111nnnnnnnnf（4.1.6）根据牛顿定律根据牛顿定律)2(1122nnnnndtdmf（4.1.7）方程的通解为

5、振幅为方程的通解为振幅为A，角频率为，角频率为的简谐振动形式：的简谐振动形式：)(naqtinAe（4.1.8）与平面波方程比较发现，晶格振动也具有与平面波方程比较发现，晶格振动也具有“波波”的形的形式，我们称之为式，我们称之为“格波格波”。其中。其中q代表格波的波矢，代表格波的波矢，qna代表第代表第n个原子振动的位相因子。个原子振动的位相因子。晶格振动时每个原子都可以写出其格波形式，如晶格振动时每个原子都可以写出其格波形式，如第第n+1个原子的偏移为：个原子的偏移为：)1(1aqntinAe 二、格波的意义二、格波的意义 晶体的格波与连续介质波具有完全相同的形式。晶体的格波与连续介质波具有

6、完全相同的形式。一个格波表示的是所有原子同时做频率为一个格波表示的是所有原子同时做频率为的振动，的振动，在简谐近似下，格波是简谐平面波，在简谐近似下，格波是简谐平面波，波矢波矢 q=2/某某t时刻所有原子的偏时刻所有原子的偏移如右图所示。向上移如右图所示。向上的箭头代表原子沿的箭头代表原子沿X轴轴向右振动，向下的箭向右振动，向下的箭头代表原子沿头代表原子沿X轴向左轴向左振动，箭头的长度代振动，箭头的长度代表原子离开平衡位置表原子离开平衡位置位移的大小。位移的大小。 图图4.2 格波的意义格波的意义n+2 三、格波波矢的取值和布里渊区三、格波波矢的取值和布里渊区 图图4.3 原子振动相同的两种格

7、波原子振动相同的两种格波只要清楚波矢只要清楚波矢q在在第一第一布里渊区（布里渊区（-/a，/a的晶格振动问题就可以，的晶格振动问题就可以，其它区域不能提供新的其它区域不能提供新的物理信息。物理信息。格波格波 是波矢是波矢q的周期函数，的周期函数，)(naqtinAe当当 时时aqq2),(),()(2)2(qAeeAeqnnaqtininnaqtin（4.1.9）即波矢即波矢q相差相差2/a的两列格波完全相同，对晶格常数的两列格波完全相同，对晶格常数为为a的一维晶体，的一维晶体，2/a恰是其布里渊区的长度。恰是其布里渊区的长度。 四、玻恩卡门（四、玻恩卡门（Born-Karman）周期性边）周

8、期性边界条件界条件 以上的讨论是将一维单原子晶格看作无限长来处以上的讨论是将一维单原子晶格看作无限长来处理的，这样所有原子的位置是等价的，每个原子的理的，这样所有原子的位置是等价的，每个原子的振动形式都一样。实际的晶体都为有限的，形成的振动形式都一样。实际的晶体都为有限的，形成的链不是无穷长，这样链两头的原子就不能用中间原链不是无穷长，这样链两头的原子就不能用中间原子的运动方程来描述。玻恩卡门（子的运动方程来描述。玻恩卡门（Born-Karman）提出采用周期性条件可解决上述困难。如图提出采用周期性条件可解决上述困难。如图4.4所示。所示。 图图4.4 一维无限长链一维无限长链 由由N个原子头

9、尾相接形成一个环链，它保持了所个原子头尾相接形成一个环链，它保持了所有原子等价的特点，当有原子等价的特点，当N很大时，其中的原子振动仍很大时，其中的原子振动仍近似为直线运动。第近似为直线运动。第n个原子和第个原子和第N+n个原子应该为个原子应该为同一原子，他们的振动也应该相同，即同一原子，他们的振动也应该相同，即n= n+N图图4.5 一维无限长原子链一维无限长原子链 结论：结论：在第一在第一BZ中，中，h只能取只能取N个整数值个整数值,波矢波矢q也只能取也只能取N个个不同的分立值不同的分立值,所以晶格振动包含所以晶格振动包含N个不同的波矢状态。个不同的波矢状态。代入（代入（4.1.8）中：）

10、中：)()(aqNntinaqtiAeAe方程成立要求：方程成立要求：1iNaqe所以所以五、色散关系五、色散关系 将第将第n-1、n和和n+1原子的振动原子的振动n-1、n、n+1代代入运动方程中：入运动方程中：)2(1122nnnnndtdmf整理后得到：整理后得到：)2(2iqaiqaeem（4.1.10）利用利用 整理后得到：整理后得到：)(21cosiiee)2(sin4)cos(1 222qamqam（4.1.11）频率频率的取值范围的取值范围 频率频率是波矢是波矢q的偶函数，如图的偶函数，如图4.6。 由（由（4.1.11）解出）解出色散关系曲线是周期性的色散关系曲线是周期性的在

11、在q空间的周期为：空间的周期为：2/a频率的极小值为：频率的极小值为：min=0;频率的极大值为：频率的极大值为：图图4.6 一维单原子链的一维单原子链的色散关系色散关系（4.1.12） 长波近似和短波近似长波近似和短波近似 长波近似长波近似：当：当q0，即波长，即波长a（）时，）时，色散关系如图色散关系如图4.7中蓝线所示。在长波极限下一维单中蓝线所示。在长波极限下一维单原子晶格格波的色散关系和连续介质中弹性波的色原子晶格格波的色散关系和连续介质中弹性波的色散关系一致，因此在长波极限下，对于一维单原子散关系一致，因此在长波极限下，对于一维单原子晶格格波可以看作是弹性波，晶格可以看成是连续晶格

12、格波可以看作是弹性波，晶格可以看成是连续介质。介质。图图4.7 一维单原子链长波近似下的色散关系一维单原子链长波近似下的色散关系qmaq 时当0返回返回 长波极限下，相邻两个原子之间振动的位相差长波极限下，相邻两个原子之间振动的位相差qa0，此时，此时，一个波长内包含所有原子一个波长内包含所有原子，晶，晶格可以看作是连续介质，如图格可以看作是连续介质，如图4.8(a)所示。所示。 短波近似：当短波近似：当q/a时，时，取极大值。取极大值。格波的波长格波的波长=2a，相邻原子的振动位相相反相邻原子的振动位相相反，如图，如图4.8(b)所示。所示。(a) (b) 图图4.8 长波极限和短波极限下的

13、长波极限和短波极限下的格波示意图格波示意图 色散关系的倒格子平移对称性和反演对称性色散关系的倒格子平移对称性和反演对称性 前面已经说过，格波频率前面已经说过，格波频率是波矢是波矢q的周期函的周期函数，周期为（数，周期为（2/a），正好为一维原子链的最短倒），正好为一维原子链的最短倒格矢，即格矢，即(q)= (q+Kh)，称为，称为倒格子平移对称性倒格子平移对称性，其中其中Kh为倒格矢。为倒格矢。 (q)= （q）倒格子反演对称性。倒格子反演对称性。 关于关于色散关系的倒格子平移对称性和反演对称性的色散关系的倒格子平移对称性和反演对称性的这两个结论对三维晶格也是适用的。这两个结论对三维晶格也是适

14、用的。 n*结论结论*： 对含对含N个原子的一维单原子晶体（即一维简单晶个原子的一维单原子晶体（即一维简单晶格）格）可用格波来描述晶格的振动；可用格波来描述晶格的振动；格波的波矢格波的波矢q在第一布里渊区内取在第一布里渊区内取N个不同的分立个不同的分立值，每个值，每个q值对应一个值对应一个,一组（一组（，q）对应一个）对应一个格波，则晶格的振动可用格波，则晶格的振动可用N个独立的格波（即个独立的格波（即N个个独立的简正模式）来描述；独立的简正模式）来描述；这这N个格波的频率个格波的频率与波矢与波矢q的关系由同一条色散的关系由同一条色散曲线所概括，即这曲线所概括，即这N个格波属于同一种格波；个格

15、波属于同一种格波；晶格中每一个原子都参与了这晶格中每一个原子都参与了这N 个独立的简谐振个独立的简谐振动，任何一个原子的实际振动是这动，任何一个原子的实际振动是这N个格波所描个格波所描述的简谐振动的线性叠加。述的简谐振动的线性叠加。 4.2 一维双原子链的振动一维双原子链的振动 一、一维双原子链的振动一、一维双原子链的振动 含含N个原胞的一维无限长复式格子的振动选取这个原胞的一维无限长复式格子的振动选取这样的模型：原胞含两种原子样的模型：原胞含两种原子m、M（Mm），相邻），相邻同种原子间的距离为同种原子间的距离为2a（即为晶格常数）。（即为晶格常数）。 质量为质量为M的原子位于的原子位于2n

16、-1， 2n+1 质量为质量为m的原子位于的原子位于2n， 2n+2图图4.9 一维双原子链模型一维双原子链模型牛顿运动方程：牛顿运动方程： 方程解的形式：方程解的形式： 因为因为Mm，复式格子中不同原子振动的振幅一般来，复式格子中不同原子振动的振幅一般来说是不同的，即说是不同的，即A和和B一般一般不同不同。 （4.2.1）（4.2.4）（4.2.3）（4.2.2）（4.2.6）（4.2.5） 整理后得到整理后得到与与q的关系：的关系： 由关系式可以看出，由关系式可以看出，与与q之间存在着两种不同的之间存在着两种不同的色散关系，我们称色散关系，我们称一维双原子晶体中可以存在两种一维双原子晶体中

17、可以存在两种独立的格波独立的格波。返回（4.2.8）（4.2.7） 二、波矢的取值二、波矢的取值 当波矢当波矢 时，所有原子的振动不变。为了时，所有原子的振动不变。为了保证保证波函数的单值性波函数的单值性，一维复式格子，一维复式格子q的值限制在：的值限制在： -2aq，则，则 对含对含N个原胞的有限晶体个原胞的有限晶体 aqq 三、色散关系三、色散关系声学波与光学波声学波与光学波 一维复式格子中存在两种不同的格波的一维复式格子中存在两种不同的格波的色散关系色散关系： 也就是说，对一个也就是说，对一个q会有两个会有两个与之对应，形成两种与之对应，形成两种不同的格波形式。不同的格波形式。链接链接

18、对对-一支：当一支：当q0时，时，(-min)0； 当当q/2a时，时， 称该支格波为声频支格波，简称声学波。称该支格波为声频支格波，简称声学波。（4.2.10）（4.2.9）对对+一支：一支： 当当q0时，时， 当当 时，时， 我们称该支格波为光频支格波，简称光学波。我们称该支格波为光频支格波，简称光学波。四、长波极限下格波的意义四、长波极限下格波的意义 考虑考虑q0长波极限情况：长波极限情况： 声学波声学波 比较比较在在q0时时 这与一维单原子链（一维简单格子）的情形形式上这与一维单原子链（一维简单格子）的情形形式上是相同的，可以说由完全相同的原子组成的布拉伐是相同的，可以说由完全相同的原

19、子组成的布拉伐格子只有声学波。格子只有声学波。结论结论:在长声学波中，相在长声学波中，相邻原子的振动方向相同，邻原子的振动方向相同，并且振幅相同，所以长声并且振幅相同，所以长声学波代表的是原胞质心学波代表的是原胞质心(即原胞整体即原胞整体)的振动的振动，如，如图所示。图所示。图图4.11 一维复式晶格的一维复式晶格的长声学波长声学波由由（4.2.5）整理得整理得（4.2.11） 光学波光学波 将将 代入到代入到 中得到：中得到：（4.2.12） 将将 和和 代入得：代入得： 结论结论:长光学波中同种原子振动位相一致，相邻原长光学波中同种原子振动位相一致，相邻原子振动方向相反，且长光学波是原胞质

20、心不变的振子振动方向相反，且长光学波是原胞质心不变的振动，它实际上表示原胞内原子之间的相对运动动，它实际上表示原胞内原子之间的相对运动，如，如图图4.12所示。所示。图图4.12 一维复式晶格的长光学波一维复式晶格的长光学波即即0 BMAmn结论：结论： 对含对含N个原胞的一维双原子晶体：个原胞的一维双原子晶体：格波波矢格波波矢q在第一布里渊区有在第一布里渊区有N个分立的值，即有个分立的值，即有N种独立的简正模式，晶格振动的波矢数目种独立的简正模式，晶格振动的波矢数目=晶体中的晶体中的原胞数；原胞数；每个每个q对应有两个对应有两个，即一个，即一个q对应有两支格波，其对应有两支格波，其中一支描述

21、原胞质心的运动，称为声学波；另外一中一支描述原胞质心的运动，称为声学波；另外一支描述原胞内原子的相对运动，称为光学波；支描述原胞内原子的相对运动，称为光学波；描述晶格振动的总的格波数目描述晶格振动的总的格波数目=晶体总的原子数晶体总的原子数2N。4.3 三维晶格的振动三维晶格的振动 一、三维晶格的格波形式一、三维晶格的格波形式 晶体模型：我们考虑这样的三维晶体：晶体原胞晶体模型：我们考虑这样的三维晶体：晶体原胞基矢分别为基矢分别为 ，在三个基矢方向上的原胞个，在三个基矢方向上的原胞个数分别为数分别为N1、N2、N3，则晶体总的原胞数，则晶体总的原胞数N= N1 N2 N3。每个原胞中含。每个原

22、胞中含n个原子，质量分别为：个原子，质量分别为： 现在我们来求第现在我们来求第L个原胞中第个原胞中第k个原子的运动：个原子的运动： 其中的其中的=1，2，3，代表，代表k原子在三个基矢方向运动原子在三个基矢方向运动的位移分量，一个的位移分量，一个k原子有三个方程，则对一个原胞原子有三个方程，则对一个原胞来说共有来说共有3n个类似的方程。个类似的方程。 将解代回到将解代回到3n个方程中，得到关于个方程中，得到关于A11、A12、A13、A21、A22、A23、An1、An2、An3 的的3n个线性个线性齐次方程。齐次方程。 根据系数行列式为零的条件，可得到根据系数行列式为零的条件，可得到3n个与

23、波矢个与波矢 对应的对应的 ，即，即一个波一个波矢与矢与3n个个对应对应。（4.3.1）（4.3.2） 二、格波的意义二、格波的意义 与一个波矢与一个波矢 对应的对应的有有3n个，即存在个，即存在3n种格种格波形式。与一维复式晶格类似，在这波形式。与一维复式晶格类似，在这3n个格波中，个格波中，也分为声学波和光学波两种。也分为声学波和光学波两种。 在长波极限下，其中有在长波极限下，其中有3个频率对应的格波描述个频率对应的格波描述的是不同原胞之间的相对运动（即原胞质心的运的是不同原胞之间的相对运动（即原胞质心的运动）动）称为声学波；称为声学波； 另外另外3n-3支长波极限的格波描述的是一个原胞支

24、长波极限的格波描述的是一个原胞中各原子间的相对运动中各原子间的相对运动称为称为3n-3支光学波。支光学波。 可以得到这样的结论：可以得到这样的结论：若三维晶体的一个原胞若三维晶体的一个原胞由由n个原子组成，则每个波矢个原子组成，则每个波矢 对应的格波中有对应的格波中有3支支声学波和声学波和3n-3支光学波。支光学波。三、波矢三、波矢 的取值的取值 在原子的振动函数在原子的振动函数 中，波矢的作用中，波矢的作用体现在不同原胞之间的位相联系：体现在不同原胞之间的位相联系： 当波矢改变一个倒格矢当波矢改变一个倒格矢 时，时， 这说明这说明 和和 所代表的格波产生的振动一样，所代表的格波产生的振动一样

25、，为了保持格波的单值性，我们将波矢取值限定在一为了保持格波的单值性，我们将波矢取值限定在一个倒格子原胞中，通常选取晶格第一布里渊区。个倒格子原胞中，通常选取晶格第一布里渊区。（4.3.3）（4.3.4） 三维晶格振动的波矢是一个矢量，它在波矢空三维晶格振动的波矢是一个矢量，它在波矢空间（即晶格的倒空间）中可以表示为：间（即晶格的倒空间）中可以表示为： 其中的其中的 代表倒格子的基矢量，代表倒格子的基矢量， 为系数。为系数。 根据玻恩根据玻恩-卡门卡门 边界条件：边界条件：（4.3.5）（4.3.6）（4.3.7）（4.3.8）满足方程要求的满足方程要求的 为：为：其中的其中的h1、h2、h3为

26、为3个整数，这时的个整数，这时的 表示为：表示为：在倒空间中，一个波矢在倒空间中，一个波矢 所占据的体积为：所占据的体积为：（4.3.9）（4.3.10）（4.3.11） V为原胞体积，为原胞体积， 从上述推倒中可以看出，从上述推倒中可以看出，满足边界条件的波矢满足边界条件的波矢 在在倒空间中应取分立的值，当倒空间中应取分立的值，当h1、h2、h3取不同的整取不同的整数时，可以得到不同的波矢量。数时，可以得到不同的波矢量。对应一个对应一个 有有3支声学波和支声学波和3n-3支光学波，含支光学波，含N个原个原胞的三维晶体，格波的波矢数目为胞的三维晶体，格波的波矢数目为N个，不同的格波个，不同的格

27、波总数为：总数为：3nN个，也等于晶体总的自由度。个，也等于晶体总的自由度。（4.3.12）n结论：结论： 对含有对含有N个原胞的个原胞的L维晶格，若每个原胞中含维晶格，若每个原胞中含n个原个原子，则：子，则：晶格振动的简正模式数（即波矢数目）晶格振动的简正模式数（即波矢数目）=晶格的原晶格的原胞数胞数N。对应每个波矢对应每个波矢 的频率的频率的数目的数目=维数维数Ln，其中，其中代表原胞整体运动的声学波有代表原胞整体运动的声学波有L支，代表原胞内原支，代表原胞内原子之间的相对运动的光学波有子之间的相对运动的光学波有Ln-L支。支。晶格振动的总的格波数目晶格振动的总的格波数目=LnN，即为晶体

28、中，即为晶体中所有原子的自由度之和。所有原子的自由度之和。晶格的振动可以用晶格的振动可以用LnN个独立的格波来描述，每个个独立的格波来描述，每个原子的实际运动，都是它们在这原子的实际运动，都是它们在这LnN个格波描述的个格波描述的简谐振动中运动的迭加。简谐振动中运动的迭加。返回4.4 晶格振动的量子化和声子晶格振动的量子化和声子 在简谐近似下，含有在简谐近似下，含有m个原子的三维晶体的晶个原子的三维晶体的晶格振动，我们可用格振动，我们可用3m个独立的简谐格波来描述，晶个独立的简谐格波来描述，晶体中每个原子的实际振动状态由这体中每个原子的实际振动状态由这3m个格波共同决个格波共同决定。而定。而晶

29、格振动的能量可以表示成这晶格振动的能量可以表示成这3m个独立的格个独立的格波所对应的谐振子的能量之和的形式波所对应的谐振子的能量之和的形式。 在量子力学中，频率为在量子力学中，频率为的简谐振动能量可以的简谐振动能量可以表示为：表示为：（其中（其中n=0，1，2） 当当n0时，它处于基态，时，它处于基态，E0 ,称为零点能，称为零点能，能量之间是不连续的，相邻状态的能量差为能量之间是不连续的，相邻状态的能量差为 。（4.4.1） 概念：概念：晶格振动的一个频率为晶格振动的一个频率为 的格波等价于一个的格波等价于一个简谐振子的振动，其能量也可以表示为如下形式：简谐振子的振动，其能量也可以表示为如下

30、形式： n=0，1，2 能量的单元是能量的单元是 ，它是格波的能量量子，称之为，它是格波的能量量子，称之为声子，即声子，即“晶格振动的简正模能量量子。晶格振动的简正模能量量子。”。 频率为频率为i(q)的格波所具有的能量（即被激发的的格波所具有的能量（即被激发的程度），用该格波所含有的能量为程度），用该格波所含有的能量为 的声子数目的声子数目n的多少来表征，不同的格波可以有不同的声子数。的多少来表征，不同的格波可以有不同的声子数。 格波从格波从En状态跃迁到状态跃迁到En+1态时，能量增加一个态时，能量增加一个量子，这是产生一个声子的过程；反之，从量子，这是产生一个声子的过程；反之，从En状态

31、状态跃迁到跃迁到En-1态时要减少一个量子，这是湮灭一个声态时要减少一个量子，这是湮灭一个声子的过程。子的过程。n注意注意：声子的性质声子的性质 声子是玻色子声子是玻色子 一个模式可以被多个相同的声子占据，这些声一个模式可以被多个相同的声子占据，这些声子的子的和和q相同，自旋为零，满足相同，自旋为零，满足玻色玻色统计。统计。 声子是一种准粒子声子是一种准粒子 声子声子不是真实的粒子，不是真实的粒子，只是一种准粒子只是一种准粒子，所以，所以它不具有通常意义下的动量，常把它不具有通常意义下的动量，常把 称为声子的称为声子的准动量。声子的粒子数目不守恒，可增加也可以减准动量。声子的粒子数目不守恒，可增加也可以减少，例如温度升高后声子数增加。少，例如温度升高后声子数增加。 电子、中子、光子等与晶格振动的相互作用都电子、中子、光子等与晶格振动的相互作用都可用这些粒子与晶体中声子的相互作用来描写，他可用这些粒子与晶体中声子的相互作用来描写，他们通过吸收或产生声子来改变粒子本声的能量和动们通过吸收或产生声子来改变粒子本声的能量和动量。声子与声子，声子与其它粒子、准粒子互作用量。声子与声子，声子与其它粒子、准粒子互作用时，满足能量守恒。时，满足能量守恒。 平均声子数平均声子数 各个格波可能具有不同的声子数，而格波能