平面的基本性质名师课件1

1、平面的基本性质平面的基本性质 1. 平面的表示方法平面的表示方法 2. 平面的基本性质平面的基本性质 公理公理1 1: 如果一条直线上的两点在一个平面内，如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内。那么这条直线上的所有点都在这个平面内。 公理公理2 2 : :如果两个平面有一个公共点，那么它们如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点还有其他公共点, ,这些公共点的集合是一条直线。这些公共点的集合是一条直线。公理公理3 3: :经过不在同一条直线上的三点有且只有经过不在同一条直线上的三点有且只有一个平面。一个平面。( (即不共线的三点确定一平面即不共线的三点确

2、定一平面) ) 平面的基本性质平面的基本性质 1. 平面的表示方法平面的表示方法 D D C C B B 平面平面平面平面A A 平面平面ACAC推论推论 1 1: : 经过一条直线和这条直线外的一经过一条直线和这条直线外的一且只有一且只有一个平面。个平面。 点有点有_ ?已知已知 : :直线直线l, l,点点A A是直线是直线l l外一点外一点. .求证求证 : :过直线过直线l l和点和点A A有且只有且只 有一个平面有一个平面 .证明证明: :点点A A是直线是直线l l外一点外一点, , 在在l l上任取两点上任取两点B,B, C,C,根据公理根据公理3,3,经过不共经过不共 线的三点

3、线的三点A,A, B,B,C C有一个有一个平面平面.因为点因为点B,B, C C在平面在平面内内, , 所以根据公理所以根据公理1, 1, 直直线线l l在平面在平面内内, , 即平面即平面是经过直线是经过直线l l 和点和点A A的平面的平面. .B B lC C ?A A ?又因为又因为B,B, C C在在l l上上, , 所以任何经过点所以任何经过点A A和和l l 的的平面一定经过点平面一定经过点A,A, B,B,C,C,于是再根据公理于是再根据公理3,3,经经 过不共线的三点过不共线的三点A,A,B,B,C C的平面只有一个的平面只有一个, , 所以经过所以经过l l和点和点A A

4、的平面只有一个的平面只有一个. .C C ?B B ?lA A ?推论推论2 2: : 经过两条相交直线有且只有一个经过两条相交直线有且只有一个 平面。平面。 C C b b?a aA A ?B B 推论推论3 3: :经过两条平行直线有且只有一个经过两条平行直线有且只有一个平面。平面。 A A ?B B ?a aC C ?b b注注: (1)(1)如果空间几个点或几条直线都在同一如果空间几个点或几条直线都在同一平面内平面内,那么我们就说它们那么我们就说它们共面共面. (2)(2)如果构成图形的所有点都在同一平面如果构成图形的所有点都在同一平面内内,这个图形叫做这个图形叫做平面图形平面图形.

5、(3)(3)如果构成图形的点不都在同一平面内如果构成图形的点不都在同一平面内,这种图形叫做这种图形叫做立体图形立体图形. (4)(4)我们在初中学过的我们在初中学过的平面图形平面图形的某些性的某些性质质,例如全等、平行、相似等，对例如全等、平行、相似等，对空间里空间里的平面图形的平面图形仍然成立。仍然成立。 点点A A在直线在直线a a上上, , 记作记作_,_,A A?a a点点A A不在直线不在直线a a上上, ,记作记作_;_;A A?a a点点A A在平面在平面内内, , 记作记作_,_,A A?点点A A不在不在内内, ,A A?记作记作_;_;直线直线l l在平面在平面内内, ,

6、记作记作_,_,l l?直线直线l l不在不在内内, ,l l?记作记作_;_;直线直线l l和平面和平面相交于相交于 点点A,A,记作记作_;_;l l?A A直线直线l l和直线和直线mm相交于相交于 点点A,A,记作记作_;_;l l? mm?A A?a a. .平面平面与平面与平面相交于相交于 直线直线a, a,记作记作_公理公理1 1: 如果一条直线上的两点在一个平面内，如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内。那么这条直线上的所有点都在这个平面内。 公理公理2 2: :如果两个平面有一个公共点，那么它们还如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点

7、有其他公共点, ,这些公共点的集合是一条直线。这些公共点的集合是一条直线。 公理公理3 3: :经过不在同一条直线上的三点有且只有经过不在同一条直线上的三点有且只有一个平面。一个平面。( (即不共线的三点确定一平面即不共线的三点确定一平面) ) 推论推论1 1: :经过一条直线和这条直线外的一点有且经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面。只有一个平面。 推论推论2 2: : 经过两条相交直线有且只有一个经过两条相交直线有且只有一个 平平面。面。 推论推论3 3: :经过两条平行直线有且只有一个平面。经过两条平行直线有且只有一个平面。 平面的基本性质平面的基本性质 公理公理1 1: 如果

8、一条直线上的两点在如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内。所有点都在这个平面内。 基本题型基本题型 证明点共线：证明这些证明点共线：证明这些点同时在两相交平面内点同时在两相交平面内 公理公理2 2: :如果两个平面有一个公共如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点点，那么它们还有其他公共点, ,这些公共点的集合是一条直线。这些公共点的集合是一条直线。 证明线共点：先确定两证明线共点：先确定两 公理公理3 3: :经过不在同一条直线上经过不在同一条直线上的三点有且只有一个平面。的三点有且只有一个平面。 推论推论1 1: :经过一

9、条直线和这条直线经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面。外的一点有且只有一个平面。 推论推论2 2: : 经过两条相交直线有且经过两条相交直线有且只有一个平面。只有一个平面。 推论推论3 3: :经过两条平行直线有且经过两条平行直线有且条直线交点，再证交点条直线交点，再证交点在第三条直线上。在第三条直线上。 只有一个平面。只有一个平面。 证明点共面或线共面：证明点共面或线共面：先由一些元素确定一个先由一些元素确定一个平面，再证另一些元素平面，再证另一些元素也在这个平面内。也在这个平面内。 例例1. 1.正方体正方体ACAC 中中, ,对角线对角线A A1 11 1C C和平面和平面BD

10、CBDC1 1交于交于O,O, ACAC与与BDBD交于点交于点M,M, 求证求证 : :点点C C1 1、OO、MM共线共线. .D D1 1C C1 1B B1 1A A1 1?O O D D A A C C M M B B 例例2.2.空间四边形空间四边形ABABCDCD中中, ,E E、F F、G G、H H分别是分别是ABAB、BCBC、C CD D、DADA上的点上的点, ,已知已知EFEF和和GHGH相交于点相交于点P P, ,求证求证: :EFEF、GHGH、ACAC三条直线交于一点三条直线交于一点. .D D H H G G C C A A E E F F B B P P 已知：已知：直线直线abc,al=A,bl=B,cl=Cabc,al=A,bl=B,cl=C 求证：求证：a,b,c,la,b,c,l共面共面 证明：证明： abab ? a a、b b