电大专科高等数学基础复习及答案

1、电大专科2332高等数学基础复习及答案2332 高等数学期末复习指导高等数学基础复习指导 注意 :1 本次考试题型分为单选 (20=4 分*5) 填空 (20=4 分*5) 计算题 (44=11 分*4) 应用题(16=16分*1)2 复习指导分为 3 个部分，第一部分配有详细解答，掌握解题方法，第二部分历年试题汇编，熟悉考试题型; 第三部分中央电大今年的模拟真题，应该重点掌握。 3 复印的蓝皮书大家要掌握第5 页的样卷和 29 页的综合练习。第一部分 ( 详细解答 )一 ( 填空题x， 41(函数的定义域为xx,12 且 。 y,ln(1)x,x， ,40,x4,x,10 解: 且 ,xx1

2、2 x,1,ln10x,，x,11,ln(1)x ， 2( 函数的定义域是。 ,12xy,24,xx, ,10x,1,解:,12x,2,22x40,x,x， 23( 函数的定义域是。 xx,23 且 y,x,3xx, ,202,解:,xx,303,22f(x),4( 设，则 。 xx, ， 46fxx(2)2 ， ,2xt ， ,2xt,2 解: 设，则且原式fxx(2)2 ， ,22ftt()22, 即, tt, ， 42，2fx(), 亦即 xx, ， 424,x,4(1),0,xxfx(),x,0k4( 若函数在处连续，则 = e 。 ,kx,0,第 1 页 共 19 页2332 高等数

3、学期末复习指导函数 fx 在 x=0 连续 ,lim 则 ffx,0 ，x0,41, ， ,4 ， ,4xxlimlim1limfxxxe,1 ，xxx,000,fk(0),4 ？ ,ke,xx,05( 曲线在处的切线方程为 。 yx,1ye, 曲线在点处的切线方程为 yyyxx, yfx,xy, ，0000x0,x0, 解: ， ye1,xye,01时， 000x,0x,， yxyx,1(0)1ln(3)x ， 6. 函数的连续区间为 。 y,， ,3,1,1, ， x， 1初等函数在其定义区间连续。,x ， 1x， ,10,x， ,30ln(3)x ， ,x,3x,1y, 且 , ， ,3

4、,1,1,7( 曲线在点 (1,0) 处的切线方程为 。 yx,lnyx,11,yx 解:,ln1, , xxx,111 xyxyx？ ,，01111dy,fxdx(ln2)8. 设函数 yfx,(ln2) 可导，则 。 xIdyydx,解:,fxxdx(ln2)2 fxdx(ln2)fxxdx(ln2)ln2，一, ,2x11fxdx(ln2),fxxdx(ln2)2,， x2x132yxxx, ， 239.( 判断单调性、凹凸性) 曲线在区间内是单调递减且凹2,3 ，32, 解: yxxxxxy, ， ,4331,230 当时，曲线下降，, yxy,20,4 曲线是凹的22,f(f(x),

5、10( 设，则 。 41x ， fxx()1, ，222,fxxx()12,， ,ffxfxxx()22141,， , ，解 : ，1311( 0 。 xxdx(1cos),1第 2 页 共 19 页2332 高等数学期末复习指导3 解: 是奇函数 ; 是偶函数，由于偶+偶=偶，则是偶函数，1cos,xx1cos 和 x3 因为奇偶 , 奇，所以是奇函数，是对称区间 x ， ,1,11cos,x ，奇函数在对称区间上的积分为零12212( 。 xxxdx(1), ， ,132 解: xxxdx(1), ， ,(1)xxxdx, ， ,xdxxxdx, ， 1,1111122 是奇函数 ( 奇偶

6、 , 奇) ，故 ; ， xxdx10， ,xx1 ， ,12, 而是偶函数，故xdxxdxx2x,0,1033fx(ln3),13( 设，则 。 Fxfx()(),dx,FxCln3 ， ,x11, 解: , ？ ,ln3ln3ln3xdxxdxdx ， xx1 fxdxfxdxFxC(ln3)ln3ln3ln3, ，,x122,xfxdx(1),14( 已知 Fxfx()(), ，则 。 FxC, ， 1，,2解 : xfxdxfxxdxfxdxFxC(1)12111, ，,222FxCsin ，fxxdx(sin)cos,15( 设 Fx()fx() 为的原函数，那么fuduFuC, ，

7、 cossinxdxdx,Fx()fx() 分析 : 为的原函数，fxxdxfxdxFxC(sin)cossinsinsin, ，解 : ，,sinx,sinxfx()16( 设的一个原函数是, 则 fx(),。,sinxfx()Fx()fx()Fx()fx(),解 : 的一个原函数为 , sinxcosx,0,xxcos2Fx(),17( ，那么 。 Fxttdt()cos2,x,xx, 解 : ftdtfx,Fxttdtxx()cos2cos2，,0a0d,2t2,x,tedt18(,xe 。 ， ,xdx0xdd,2,t2t2,x,tedttedt 解 :,xe ， ,0xdxdxx,1

8、,sint,F(),19( 设，则 e 。 Fxedt(),02第 3 页 共 19 页2332 高等数学期末复习指导,x,sin,sinsin1tx2,FxedteFee,解: ，, ，,02,0d2220(cos= 。 tdt,cosx,xdx0xdd222coscos 解 :tdt,tdt, ,cosx,x0dxdx二 ( 选择题1( 下列函数中 ( B ) 的图像关于坐标原点对称。xlnxA( B( C(xxsin D( axxcos规律 :(1)1( 奇偶函数定义:; fxfxfxfxfxfx,; 是奇函数，是偶函数，2243(2)( 常见的偶函数: xxxxx,.,cos, 常数1

9、11， ,xx3523 常见的奇函数: xxxxxxx,.,sin,ln1,ln,ln，11, ， xxxxxx, 常见的非奇非偶函数:; aeaex,ln(3)( 奇偶函数运算性质:奇?奇=;奇?偶=非;偶？偶=偶；奇奇=偶；奇偶=;偶义偶=偶；y(4)( 奇函数图像关于原点对称; 偶函数图像关于轴对称。y解:A(非奇非偶；B(奇偶=(原点);C(奇x奇=偶(轴)；D(非奇非偶2(下列函数中 ( B ) 不是奇函数。xx,2sinxcosxA(; B(sin(1)x ， ; C(; D( ee,ln1xx ，解:A( 奇函数 (定义 );B(非奇非偶(定义);C(奇函数(奇X偶);D(奇函数

10、(定义)y3( 下列函数中，其图像关于轴对称的是( A ) 。1,xx2lncos(1)x,A( B( C( D( excossin(1)x,1 ， xy解:A(偶函数(轴)；B(非奇非偶(定义);C(奇函数(常见);D(非奇非偶(定义)4(下列极限正确的是( B ) 。3xx,11e,1A( B( lim,lim0,3x,313x， ,0xxsinx1x, ， ,elim(1)lim1C. D( x,0xxxxxe,1xlim1,x,0解:A 错。？，e,1,?; lim,xx,0x,0xxB 正确。分子分母最高次幂前的系数之比 ;11sinxsinx,0lim0C 错。?，即是无穷小，即是

11、有界变量，?; sin1x,x,x,xxx第 4 页 共 19 页11x,x1 ， ,eD 错。第二个重要极限应为或，其类型为。lim(1)lim(1) ， ,xe,x,x0x5( 当 x,1 时， ( D ) 为无穷小量。x， 11A( B(sin C( D( cos(1)x ， ln(2)x ， 2x,1x ， 10x, 1110lim 解:A( ,0; lim2x,1x,1x22x,111B(x,1 ， x， ,10 ， , ， 不存在 ; limsinx,1x ， x， 11x,1C( ， ;cos(1)cos01x ， ,x,1D( ，。 ln(2)ln10x ， ,6. 下列等式中

12、，成立的是( B ) 。1,33xx,22xxedxde,A( B( edxde,2321C( D( dxdx,ln3 dxdx,3xx1,33xx,22xx,33xxedxde,解:A(错，正确的应为 B。正确，即 ,2edxde,3edxde311C(错，正确的应为 D(错，正确的应为dxdx,dxdx31n3,3x2x,f(x)7( 设在点可微，且，则下列结论成立的是( C ) 。 xx,fx()0,00f(x)f(x)A( 是的极小值点 B( 是的极大值点 ; xx,xx,00f(x)f(x)C( 是的驻点 ; D( 是的最大值点 ; xx,xx,00,fx()fx() 解 : 驻点定

13、义 : 设在点可微，且，则是的驻点。驻点为可能的极值点。xx,fx()0,xx,000fxf()(3),fxx()1n,8( 函数 1im, ，则 ( D ) 。 x,3x,3111n3A( 3 ; B( ; C( ; D( x3fxf()(3),11解一 :1im,ffxx,31n，xx,33x,3x,3x3x,310fxf()(3),1n1n3x,1x01im,1im 解二 : ,1imx,3x,3x,3x,3x,313第 5 页 共 19 页2332 高等数学期末复习指导fxx()sin,limx,0x不存在fx()9( 设，则 ,( B )12A( 0 ; B( ; C( ; D(fx

14、 ， sinx 解一 ,:limlim1xx,00xxfx ， sin0x, 解二 :limlimsincos1,xx ，xx,00xx,00,0xx3210(曲线在区间 (1,3) 内是 ( A ) 。 yxxx, ， 391A(下降且凹B(上升且凹C(下降且凸D(上升且凸 解：22,yxxxxxx,， 1, ，, 在任取一点 13,0,xyx 带入可知，曲线下降,yx,66, ，, 在中任取一点 13,0,xyx 带入可知，曲线是凹的x11(曲线在(0,) 一内是(B )。yex,A( 下降且凹 ; B( 上升且凹 ; C( 下降且凸 ; D( 上升且凸解 :xxyexe1,，当时上升 x

15、y,00 ，曲线 xye,当时，曲线是凹的 xy,0012(曲线在点 M(1,2) 处的法线方程为 ( B ) 。 yx,21yx,2(1)yx,2(1)yx,22(1)A.;B.;C,1(2) 21规律：曲线在乂二处的法线方程为xyfx,yfxxx, , 000,fx , , 011yfxx,2 解: ，fxx2,f,，11 ，xxx,1yx,2(1) 故法线方程为 B(;13(下列结论中正确的是( C ) 。A( 函数的驻点一定是极值点 B( 函数的极值点一定是驻点00C(函数一阶导数为的点一定是驻点D(函数的极值点处导数必为,fx()fx() 解 : 驻点定义 : 设在点可微，且，则是的

16、驻点。驻点为可能的极值点。xx,fx()0,xx,000第 6 页 共 19 页df(x),fxx()cos,2332 高等数学期末复习指导 14( 设函数，则 ( A ),sinxsinxsinxsinxA(; B(; C(; D( dxdx,dxdx2xx2xxsinx 解: dfxdxxd()coscossi,xxxdx,n,dx，2x15( 当函数不恒为 0，为常数时，下列等式不成立的是( B ) 。 fx()ab,db,f(x)dx,f(x)A. B. (f(x)dx),f(x),adxb,C. D. df(x),f(b),f(a)f(x)dx,f(x)， c,a解:,()()fxd

17、xfx,A. 成立，为不定积分的性质; ,bB. 不成立，常数，而常数的导数为零; fxdx(),a,fxdxfxc()(), ， C. 成立，为不定积分的性质; ,bD. 成立，为牛顿, 莱布尼兹公式。 dfxfbfa()()(),a1116(设函数f(x)Fx()fdx(), 的原函数为，则 ( A ) 。 2,xx111FC()， fC() ， A( , ， FC()FxC() ， ; B(; C(; D( xxx11fuduFuC, ， fx()Fx() 解: 函数的原函数为， ,dxd , ， 2,xx1111111,fdx(), ,fdxfd(),， FC,22,xxxxxxx,1

18、7( 下列无穷积分为收敛的是( B ) 。， ,0 ， ,01,x2x1edxdxA. B. C. D. edxsinxdx,1,0,2x， ,0,1, 发散 p,0, 收敛 1,pxdxedx, 规律 :?(0), ? ,a,xp,0, 发散 ,1, 收敛 ,， , ， , ， ,p,0, 发散 npx,xedxn,N,? 、发散 ? sinxdxcosxdx,0aap,0, 收敛,1p,20p,10, 解:A.;B.,收敛；C.,发散；D.，发散 1sinxdx,0218(下列无穷积分为收敛的是( C ) 。第 7 页 共 19 页2332 高等数学期末复习指导x， , ， , ， , ，

19、 ,122,2A. C. D. edxxdxxdx,1111x解:A.发散；B.发散;C.收敛；D.发散;三（计算题12,x2x41x,4x,limlim1 、求极限 2 、求极限 ,x,x,41x，43x， ,414122xx,， ,44333xx ， , 解:? 解:? , ， 1, ， 1414141xxx，434343xxx，,212x ，,32x3 lim,-lim,1x,x,43x， 241x，3,2?原题 , ? 原题 , eexex,1xx,03 、求极限解:? ， , ， , e,1limln1 ， xxx ， ,0xxxln(1) ，,xxxxex1, ， e1ex,1e,

20、1lim? 原题 ,=, limlimlim,0,0,0xx,0xx222xxx,2,x，sin3xsin3x3x,2xx,04 、求极限lim 解:? ， , ， , 141,xx,0,141x3x3,lim? 原题 , x,0,22x2ln(13),x22sin2x2xx,0 、求极限 5解:? ， , ， , ,3xlimln(13),xx,0xxsin223,3x,? 原题 ,lim, x,02xx,2sin2xe,16 、求极限 lim,x0tan4xsin2xsin2x2x4xx,0tan4x 解:? ， , ， , e,12x1lim? 原题 , x,04x23dy7、设函数，求

21、 yxx,ln(2)13323yxxxxln(2)ln2,， , ，, ， ,3ln(2)2xxxx 解 : ，2,x第 8 页 共 19 页2332 高等数学期末复习指导3x2 ,3ln(2)xx2,x3， x2 ,3ln(2)xxdx,dy,2,x，cosx8 、设函数，求。dyyxex,2 ，3xcos2 解: yxex,2131,coscosxxxcosxxcoscos222, ， ,exex3yxex2, ,， ,exexxcos3 ，,1xxcoscos2 ,exxexsin31,xxcoscos2,exxexdx,sin3dy ,2x,129 、设函数，求dy。 yxee, ，

22、cos(ln2)2,x,12,解:yxeecosln2 ,，一,2,x,12,cosln2xee ,，2,x,12, sinln2ln210xxex, ， , ，21x,1,xxex,， ,sinln222， x22sinlnxx,1,， 2xe x2sinln2x,x,1 ,， dy2xedx,x,3xedy10、设函数 y,求。2,x?,33xx,33xx33xx,3x,exex22,exxe321,32exe, ， , ，e,解:y, ,2222,x22,xx2,x,33xx32ex, ， e， dy,dx 22,x ，sin3xy,dy11 、设函数，求。 cos1x ，第 9 页 共

23、 19 页2332 高等数学期末复习指导,sin31cossin31cosxxxx ， ,x,1cos ， x，,cos331cossin3sinxxxxx ， ,3cos31cossin3sinxxxx ，sin3x, 解:, y,21cos,21cos ， x ，, 21cos ， x，dy,dx 21cos ， x，3cos31cossin3sinxxxx ，x2xdxsin12 、计算不定积分,2 22x 2 0 解:x xxxx,4cossin,2cossin8 2222 xxxx22, ， 2cos8sin16cosxxC xdxsin, ,2222,3xxedx13 、计算不定积

24、分解 : 1 0 x,11,3x,3x,3x,ee e9311,3x,3x,3xxedx,xe,， eC, ,39四、应用题1、 要做一个有底无盖的圆柱体容器, 已知容器的容积为 4 立方米 , 试问如何选取底半径和高的尺寸 , 才能使所用材料最省。h 解 : 设圆柱体底半径为，高为，r42,h 则体积 Vrh,42,r材料最省即表面积最小48222S, ， , ， r 表面积 rr2,rrh ， 2, 2rr,843,S2rS, ，令 ,0 ，得唯一驻点 ,r2r,4433 所以当底半径为米，此时高为米时表面积最小即材料最省。 ,2、 要做一个有底无盖的圆柱体容器, 已知容器的容积为 16

25、立方米 , 底面单位面积的造价为 10 元/ 平方米，侧面单位面积的造价为20元/ 平方米，试问如何选取底半径和高的尺寸, 才能使建造费用最省。第 10 页 共 19 页2332 高等数学期末复习指导h 解 : 设圆柱体底半径为，高为，rr162h 则体积 , hVrh,162,r64022, ，, ， , 且造价函数frrhr1020210r64043, 令，得唯一驻点 fr200,r22r,4433 所以当底半径为米，此时高为米时造价最低。 2,3、要用同一种材料建造一个有底无盖的容积为108立方米的圆柱体容器，试问如何选取底半径和高的尺寸 , 才能使建造费用最省。解 : 要使建造费用最省

26、，就是在体积不变的情况下，使圆柱体的表面积最小。h 设圆柱体底半径为，高为， r1082, 则体积 h Vrh,1082,r2S, ，r 则圆柱体仓库的表面积为 , rr2,rrh22rr,3,SS2r, ，令 ,0 ，得唯一驻点 , ,3r2r,4433 所以当底半径为米，此时高为米时表面积最小即建造费用最省。 ,33,4、在半径为8 的半圆和直径围成的半圆内内接一个长方形( 如图 ) ， 为使长方形的面积最大，该长方形的底长和高各为多少。y2x 解 : 设长方形的底边长为，高为，2222,yx64y 则 8 8, ， xy2Sxyxx,2264 面积 xx2,x2,Sx,2640 令，得唯

27、一驻点 x,42,264,x,所以当底边长为米，此时高为米时面积最大。 82425、在半径为8 的圆内内接一个长方形，为使长方形的面积最大， 该长方形的底长和高各为多少。2x2y 解 : 设长方形的底边长为，高为，2222,yx64 则 8, ， xy第 11 页 共 19 页2332 高等数学期末复习指导2Sxyxx,4464 面积2,x2, 令 Sx,4640 ，得唯一驻点 x,42,264,x,米，此时高为米时面积最大。 所以当底边长为 8282第二部分 高等数学基础历年试题汇编一、单项选择题 ( 每小题 4 分，本题共20 分 ),xxee, 1. 函数的图形关于 (A) 对称 ( y

28、,2yy,x (A) 坐标原点 (B) 轴 (C) 轴 (D) x2. 在下列指定的变化过程中， (C) 是无穷小量(11xsin(x,)sin(x,0) (A) (B) xx1x (C) ln(x ， 1)(x,0) (D) e(x,)f(x2h)f(x),00lim 3. 设 f(x) 在可导，则 ,(C)( x0h,02h, (A) (B) (C) (D) f(x)2f(x),f(x),2f(x)00001f(x)dx,F(x) ， cf(lnx)dx, 4. 若，则 (B)( ,x11F(lnx) ， cF() ， c (A) F(lnx)F(lnx) ， c (B) (C) (D)

29、xx5. 下列积分计算正确的是(D)(1001,x (A) (B) (C) (D) xsinxdx,0edx,1sin2xdx,兀 xcosxdx,0,11,xx22 ， y,6. 函数的图形关于(B) 对称 ( 2yy,x (A) 坐标原点 (B) 轴 (C) 轴 (D) x7. 在下列指定的变化过程中， (A) 是无穷小量(11xsin(x,0)xsin(x,) (A) (B) xxxlnx(x,0) (C) (D) e(x,)8. 下列等式中正确的是(B)(dxdx1xxd(x),d(),lnxdxd(lnx), (A) (B) (C) (D) d(3),3dxxxx第 12 页 共 1

30、9 页2332 高等数学期末复习指导1f(x)dx,F(x) ， c 9. 若，则 f(x)dx,(C)( ,x(A) (B) (C) (D) F(x)F(x) ， c2F(x) ， c2F(x)10. 下列无穷限积分收敛的是(D)(， , ， , ， , ， ,111xdxdx (A) (B) (C) dx (D) edx2,1110xxx,xxee,11. 函数的图形关于 (A) 对称 ( y,2yy,x (A) 坐标原点 (B) 轴 (C) 轴 (D) x12. 在下列指定的变化过程中， (C) 是无穷小量(11xsin(x,)sin(x,0) (A) (B) xx 1x (C) ln(

31、x ， 1)(x,0) (D) e(x,)f(x2h)f(x),00lim 13. 设 f(x) 在可导，则 ,(C)( x0h,02h, (A) (B) (C) (D) f(x)2f(x),f(x),2f(x)00001f(x)dx,F(x) ， cf(lnx)dx, 14. 若，则 (B)( ,x11F(lnx) ， cF() ， c (A) F(lnx)F(lnx) ， c (B) (C) (D) xx15. 下列积分计算正确的是(D)(1001,x (A) (B) (C) (D) xsinxdx,0edx,1sin2xdx,兀 xcosxdx,0,1116(C) 中的两个函数相等(22

32、f(x),x (A)， g(x),x (B)， g(x),x f(x),(x)34g(x),3lnxg(x),4lnx (C)， (D) ， f(x),lnxf(x),lnxf(x)(,， ,)f(x),f(,x)17 设函数的定义域为，则函数的图形关于(D) 对称 (y,xy (A) (B) 轴 (C) 轴 (D) 坐标原点 xx,018 当时，变量(C ) 是无穷小量(2sinxx1x (A) (B) (C) (D) e,13xxxfhf,(12)(1)x,1,f(x)lim 19 设在点处可导，则 (D )( h,0h,f(1),f(1)2f(1),2f(1) (A) (B) (C) (

33、D)第 13 页 共 19 页2332 高等数学期末复习指导2 20 函数在区间内满足(B)( (2,4)y,x， 2x,3(A) 先单调上升再单调下降(B) 单调上升(C) 先单调下降再单调上升(D) 单调下降,f(x)dx,21 若，则 (B)( f(x),cosx,(A) sinx ， c (B) (C) ,sinx ， c (D) cosx ， c,cosx ， c九 72(xcosx,2x , 2)dx,(D)( 22 九,2兀 02 兀(A) (B) (C) (D) 兀 21,23 若的一个原函数是，则 (B)( f(x)f(x),x211, (A) (B) (C) (D) lnx

34、32xxx24 下列无穷积分收敛的是(B)(， , ， , ， , ， ,11x,3dxdx (A) (B) (C) (D) cosxdxedx,1100xx25 . 设函数 f(x) 的定义域为 (, ， ,) ，则函数 f(x),f(,x) 的图形关于(D) 对称 (y,xy (A) (B) 轴 (C) 轴 (D) 坐标原点 xx,0 26.当时，变量(C)是无穷小量(sinx1xx (A) (B) (C) (D) e,12xxxfxf ， ,(1)(1)x, 27. 设，则 lim(B)( f(x),e,x,0x,11ee2e (A) (B) (C) (D) e42d2xf(x)dx,

35、28.(A)( ,dx 1122f(x)f(x)dx (A) (B) (C) (D) xf(x)xf(x)dx2229. 下列无穷限积分收敛的是(B)(， , ， , ， , ， ,11xx,dxdx (A) (B) (C) (D) edxedx,1100xx二、填空题 ( 每小题 4 分，共 20 分)29,xy,(1,2):(2,3 1. 函数的定义域是( ln(x,1)x,1x,0,x,0y, 2. 函数的间断点是( ,sinxx,0,第 14 页 共 19 页2332 高等数学期末复习指导1 3. 曲线在处的切线斜率是( (1,2)f(x),x， 122 4. 函数的单调减少区间是(

36、(,1)y,(x， 1) ， 1,(sinx)dx, 5. sinx ， c ( ,ln(x ， 1)6. 函数的定义域是( y,(,1,2)24,x1,x,(1 ， x)x,0x,0k,f(x), 7. 若函数，在处连续，则 ( e,2,x ， kx,0,33 8. 曲线在 (1,2) 处的切线斜率是( f(x),x ， 1y,arctanx 9. 函数的单调增加区间是( (,， ,),f(x)dx,sinx ， c,sinx 10. 若，则 ( f(x),ln(x ， 1)11. 函数 y, 的定义域是( (,1,2)24,x1,x,(1 ， x)x,0x,0k,f(x), 12. 若函数

37、，在处连续，则( e,2,x， kx,0,33(1,2) 13. 曲线在处的切线斜率是( f(x),x ， 1y,arctanx 14. 函数的单调增加区间是(,， ,) (,f(x)dx,sinx ， c,sinx 15. 若，则 f(x), ( ,x， 1y,(1,2):(2,， ,)16. 函数的定义域是( ln(x,1)1,x,(1 ， x)x,0x,0k,f(x), 17. 若函数，在处连续，则 ( e,x ， kx,0,1(1,1) 18. 曲线在处的切线斜率是( f(x),x22(0, ， ,) 19. 函数的单调增加区间是( y,ln(1 ， x),(cosx)dx, 20.

38、( cosx ， c,第 15 页 共 19 页2332 高等数学期末复习指导x21 函数 y, ， 2， x 的定义域是( ,2,1):(1,2)ln(2,x)x， 2x,0,22 函数的间断点是x,0 ( y,sinxx,0,1,x,(1 ， x)x,0x,0k,23 若函数 f(x), ，在处连续，则 ( e,3,x ， kx,0,1 24 曲线在处的切线斜率是( (2,2)f(x),x， 242 25 函数的单调增加区间是( (2, ， ,)y,(x,2),1f(x)dx,sin3x ， c3cos3x26 若，则 ( f(x),22dxxedx,27 ( e,dx三、计算题 ( 每小

39、题 11 分，共 44 分 )sin(x1)sin(x1)1sin(x ， 1) ， limlimlim, 1. 计算极限 ( 解:22x,1x,1x,1(x1)(x1)2x,1x1， ,1xxx,y,esine2. 设，求 ( 解 : y,y,lnx ， cosex1xe 3. 计算不定积分dx( 2,x解 : 由换元积分法得111xe1uuxx dx,ed(),edu,e ， c ,e ， c,2xxe 4. 计算定积分( lnxdx,1解 : 由分部积分法得eeee lnxdx,xlnx,xd(lnx),e,dx,1,1111sin6xlim 5. 计算极限 ( x,0sin5xxxsi

40、n6sin6limxsin6666x,0xx66lim,lim,解:x,0x,0xxsin5sin5xsin5555limx,0xx55xsinx ， 2,y6. 设，求(解: 由导数四则运算法则得y,2x第 16 页 共 19 页2332 高等数学期末复习指导222xxxx,(sinx ， 2)x,2x(sinx ， 2)xcosx ， x2ln2,2xsinx,2x2, y,44xx1xx ， xcosx ， x2ln2,2sinx,2 ,3x2xxxxxx,7. 设，求 (. 解 : y,y,siney,2esinecose,esin(2e)y8. 设是由方程确定的函数，求( 解 : 等

41、式两端求微分得 dyyyx,()ycosx,e左端 ,d(ycosx),yd(cosx) ， cosxdy,ysinxdx ， cosxdyyy 右端 ,d(e),edyy 由此得 ,ysinxdx ， cosxdy,edyysinxdy,dx 整理后得ycosx,excos3xdx9. 计算不定积分( ,解 : 由分部积分法得1111xcos3xdx,xsin3x,sin3xdx,xsin3x ， cos3x， c ,3339e21nx , dx10.计算定积分(解：由换元积分法得，1x32ee32， lnx5udx,(2 ， lnx)d(2 ， lnx),udu, ,11222x2 四、应

42、用题 (本题 16分)1 某制罐厂要生产一种体积为 V 的有盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时用料最省 ,h 解 : 设容器的底半径为，高为，则其表面积为 r2V22S2tt r2 兀 rh2 兀 r,r2Vs4 兀 r, 2rVV4V,333S,0r,r,h, 由，得唯一驻点，由实际问题可知，当时可使用料最省，此时，即当容器的底半径与高分2九2冗冗4VV33别为与时，用料最省(2冗冗2 圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为 l ，问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的体积最大,h 解 : 如图所示，圆柱体高与底半径满足 r222 h ， r,l圆柱体的体积公式为 l第 17 页 共 19