2020年高考数学压轴题不等式专项(解析版)

1、2020年高考数学压轴必刷题专题07不等式（文理合卷）1.【2019年北京理科08】数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C: x2+y2=1+|x|y就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；曲线C上任意一点到原点的距离都不超过v2;曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.其中，所有正确结论的序号是（）A.B.C.D.【解答】解：将x换成-x方程不变，所以图形关于 y轴对称，当x=0时，代入得y2=1,，y=± 1,即曲线经过（0, 1）, （0, -1）;当 x>0 时，方程变为 y2 - xy+x2 -1=0,所以=

2、x2 - 4 （x2-1） > 0,解得 xC （0,二?, 所以x只能取整数1,当x=1时，y2-y=0,解得y=0或y=1,即曲线经过（1,0）, （1,1）,根据对称性可得曲线还经过（-1, 0）, （-1, D,故曲线一共经过6个整点，故 正确.当 x>0 时，由 x2+y2= 1+xy 得 x2+y2 1 = xyW ?2?,（当 x=y 时取等）， .x2+y2<2, . "?+ ?2 W业,即曲线C上y轴右边的点到原点的距离不超过根据对称性可得：曲线C上任意一点到原点的距离都不超过v2；故正确.在x轴上图形面积大于矩形面积=1X2= 2,x轴下方的面积

3、大于等腰直角三角形的面积=2 X2 X1 =1,2+1 = 3,故错误.因此曲线C所围成的“心形”区域的面积大于2.【2016年浙江理科08】已知实数a, b, c.()A.若 |a2+b+c|+|a+b2+c|w 1,贝U a2+b2+c2< 100B.若 |a2+b+c|+|a2+bc|w 1,贝U a2+b2+c2< 100C.若 |a+b+c2|+|a+b- c2|< 1,贝U a2+b2+c2< 100D.若 |a2+b+c|+|a+b2 c|w 1,贝U a2+b2+c2< 100【解答】解：A.设 a=b=10, c= - 110,贝U |a2+b+

4、c|+|a+b2+c|= 0w 1, a2+b2+c2> 100；B.设 a=10, b= - 100, c= 0,贝U|a2+b+c|+|a2+bc|=0W1, a2+b2+c2> 100;C.设 a=100, b= - 100, c= 0,贝U |a+b+c2|+|a+b c2|= 0w 1, a2+b2+c2>100;3.【2014年浙江理科10】设函数f1 (x)=x2, f2(x) = 2(xx2),1 ?.-=3 |?2?行 的，1=0,A.2,，99.记 Ik= fk (a1) fk (a。)|+|fk (a2) - fk (a1) I+ + |fk (a99)

5、 fk (a98)|, k= 1, 2, 3,Ik 12 VI3B. 12V Ik I3C . 11< I3< I2D . I3V I2V 11【解答】解：由|(马2- (?-1)2| = X 2?-1 故？?= ( +|( 99)( 99 ) |9999 '以99 (99导导？ +中)? ?.1 由 2|布-99-?2?-1 2199-(2?-1) 皿(99)+ ( 99)| = 2 * 99|99| ,故?=158(98+0)2 * 99 * 2 X 999810099 X-99<1,?= 1 |?1? | - |?2；0?| + |?2?| - |?2?| +

6、? + |?2?| - |?29?| 3999999999999=1 (2?2;2?>1故 12V IK I3, 故选：B.2? ?+ 1 >0,4.【2013年北京理科08】设关于x, y的不等式组 ?+ ?V0,表示的平面区域内存在点P (xc, yc),? ?> 0满足xq- 2y0=2,求得m的取值范围是(B . (- 8 , -3) 35、D . (- 8 , - 3)，4、A . (- 00, 3)2、C. (- 00, - 3)2? ?+ 1 >0,【解答】解：先根据约束条件?+ ?< 0,画出可行域,? ?> 0要使可行域存在，必有mv -

7、2m+1,要求可行域包含直线1y= 2x- 1上的点，只要边界点（-m, 1 - 2m）小 11.在直线y= 2x- 1的上方，且（-m, m）在直线y= 2xT 的下方,?V - 2?+ 11 _ 故得不等式组 1 2?> - 2?- 1 ,1?< - 2 ?-1解之得：mv -3故选：C.卜列命题中正确的是（B.若 2a+2a=2b+3b,贝U av bD.若 2a 2a=2b 3b,贝U avb5.【2012年浙江理科09】设a>0, b>0,A.若 2a+2a=2b+3b,则 a>bC.若 2a 2a=2b3b,贝U a>b【解答】解：: awb 时

8、，2a+2aw 2b+2bv 2b+3b,，若2a+2a=2b+3b,则a>b,故A正确，B错误;对于2a- 2a=2b- 3b,若a>b成立，则必有2a>2b,故必有2a>3b,即有a>3b,而不是a>b排除C,也不是av b,排除D.故选：A.?+ ?- 11 >06.【2010年北京理科07】设不等式组3? ?+ 3 >0表示的平面区域为 D,若指数函数y= ax的图象上 5? 3?+ 9 <0存在区域D上的点，则a的取值范围是()A. (1, 3B. 2, 3C. (1, 2D, 3, +叫【解答】解：作出区域 D的图象，联系指数函

9、数 y= ax的图象，由就?黑二二：得到点C( 2 9)，当图象经过区域的边界点 C (2, 9)时，a可以取到最大值 3,而显然只要a大于1,图象必然经过区域内的点.故选：A.(?+1)(2?+1).7.【2019年天津理科 13】设x>0, y>0, x+2y= 5,则=的最小值为力?【解答】解：x>0, y>0, x+2y=5,(?+1)(2?+1)/？2?+?+2?+12?+66v?用？由基本不等式有:, 6,6 一2V?市?衿s? 2当且仅当2v? J?,即：xy= 3, x+2y=5 时,即:?= 3?= 1?= 2或。3时；等号成立, ?=2(?+1)(2

10、?+1)4 V3;口？故1一)(_)的最小值为 故答案为：4 v38.【2019年北京理科14】李明自主创业，在网上经营一家水果店， 销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量，李明对这四种水果进行促销:次购买水果的总价达到 120元，顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%.元;当x= 10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付x的最大值为在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则【解答】解：当x= 10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，可得60+80= 140 （元）

11、，即有顾客需要支付140- 10= 130 （元）；在促销活动中，设订单总金额为m元,可得(m-x) x 80%>mx 70%,即有xw ?, 8由题意可得m>120,可得xw詈=15,则x的最大值为15元.故答案为：130, 159.【2018年江苏13】在 ABC中，角 A, B, C所对的边分别为 a, b, c, / ABC=120° , / ABC的平分线交AC于点D,且BD=1,则4a+c的最小值为【解答】解：由题意得1 _acsin120° 2得 4a+c= ( 4a+c)1(?+?+4?+5>2V；?4?+5 = 4+5 = 9,? 4?当

12、且仅当=,?即c= 2a时，取等号,10.【2018年天津理科13】已知a, bCR,且a- 3b+6 = 0,贝U 2a+【解答】解：abCR,且 a-3b+6=0,则 2a+ 1?= 2?8-可得：3b= a+61?1/ ?/ 112?+6= =2asin60 + 2csin60 , 即 ac= a+c, + 26?2?>2V2 ?262?= 4，当且仅当2a= .即a= - 3时取等函数的最小值为:一，1故答案为：11.【2017年上海411】设a1、32毋'且2+许?？ 2+?阕?= 2,则|10L a1 -a2|的最小值等于【解答】解：根据三角函数的性质，可知 sina

13、1, sin2 «2的范围在-1, 1,1要使+2+? 2+?2?=2sin a1= - 1, sin2 a2= 1.?贝U: ? = - 2 + 2? k1CZ.一?rr 一2? = - 2+ 2?即？=-? _4 + ? k2 a.3?.那么：oc1+ 0(2= ( 2k1+k2)%, k1、k2Z.3? .|10 兀% 一戏|= |10 兀 + 4 - (2k1+k2)兀|的取小值为 4 -?故答案为：一.412.【2016年新课标1理科16】某高科技企业生产产品 A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时；生产一件产品 B需

14、要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品 B的利润为900元.该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为216000元.【解答】解:(1)设A、B两种产品分别是x件和y件，获利为z元.由题意，得?e ? ?e ? ， 1.5?+ 0.5?W 150 z= 2100x+900y.?+ 0.3?< 90 5?+ 3?< 600? 0 3?= 90不等式组表示的可行域如图：由题意可得20；?, 6900,解得：?= 600, A(60，100)，目标函数z= 2

15、100x+900y.经过A时，直线的截距最大，目标函数取得最大值：2100X 60+900X 100=216000元.故答案为：216000.13.【2015年浙江理科14】若实数x, y满足x2+y2wi,则|2x+y - 2|+|6 - x- 3y|的最小值是【解答】解：由 x2+y2< 1,可得 6 - x- 3y >0,即 |6一 x- 3y|= 6 - x - 3y,如图直线2x+y-2=0将圆x2+y2= 1分成两部分,在直线的上方（含直线），即有2x+y- 2>0,即|2x+y-2| = 2x+y-2,此时 |2x+y 2|+|6 x 3y| = (2x+y-2

16、) + (6-x-3y) =x-2y+4,利用平移可得在 A (-,-)处取得最小值 3;55在直线的下方(含直线)，即有2x+y- 2<0,即 |2x+y2|= ( 2x+y-2),此时 |2x+y 2|+|6x3y|= ( 2x+y -2) + (6 - x- 3y) = 8 3x 4y,利用平移可得在 A (3,-)处取得最小值 3.55综上可得，当x= 3, y= 4时，|2x+y-2|+|6-x-3y|的最小值为3. 55故答案为：3.14.【2013年江苏13】在平面直角坐标系 xOy中，设定点A (a, a), P是函数y= ? (x> 0)图象上一动 点，若点P,

17、A之间的最短距离为2$,则满足条件的实数 a的所有值为 .【解答】解：设点 P(?(?> 0),贝U|PA尸，(?-?2 +(?-?2=V?+?-2?(?+ 2?二，(?+ ?2 - 2?(?+ ? + 2?/ - 2,令？?= ?+ ? x> 0,t>2,令 g (t) = t22at+2a22= (t a) 2+a2 - 2,当 aw 2 时，t=2 时 g (t)取得最小值 g (2) =2-4a+2a2= (2 v2) 2 ,解得 a= - 1；当a>2时，g (t)在区间2 , a)上单调递减，在(a, +°0)单调递增，t=a, g (t)取得最小

18、值g (a)=a2 2,a2 2= (2 v2)2,解得 a= v10 .综上可知：a= - 1或v10.故答案为-1或许.15.【2013年天津理科14设a+b=2, b>0,则当a=时，2?! + (?|取得最小值.【解答】解：: a+b=2, b>0,1|?|2|?|?1|?|2|?|2-?'(a<2)设f (a)= 短j段，(a<2),画出此函数的图象，如图所示.2|?| 2-?利用导数研究其单调性得,当 avO 时，f (a)= - z>+,2? ?-2f (a)=4-= -(3?-2)(?+22 ,当 av 2 时，f' (a) <

19、;0,当一2vav0 时，f' (a)>0, 2?伊(?-2)2? (?-2)故函数在(-8, 2)上是减函数，在(-2, 0)上是增函数，当a= - 2时，+取得最小值 一.2|?|?4同样地，当0vav2时，得到当a= 2时，- +回取得最小值5.32|?|?4综合，则当a=-2时，+”1取得最小值.2|?|?故答案为:2.16.【2012 年浙江理科17】设aCR,若x>0 时均有(a- 1) x- 1(x2-ax- 1) >0,贝Ua=【解答】解：(1) a=1时，代入题中不等式明显不成立.(2) aw 1,构造函数 y1 = ( a - 1) x- 1, y

20、2=x 2- ax - 1,它们都过定点 P (0, - 1).考查函数 y1= (a - 1) x- 1 ：令 y=0,彳M M0),?-1a>1;考查函数 y2 = x2 - ax - 1,x。时均有(a-1) x- 1 (x2-ax-1) > 0,.y2=x2-ax-1 过点 M (, 0),代入得：(熹)2 -等-1 = 0, ?-1?-1?-1解之得：a= |,或a = 0 (舍去).故答案为：j.17.【2011年浙江理科16】设x, y为实数，若4x2+y2+xy=1,则2x+y的最大值是 【解答】解：- 4x2+y2+xy= 1( 2x+y) 2-3xy=1令 t=

21、 2x+y 贝U y= t - 2x t2 - 3 (t - 2x) x= 1即 6x2 3tx+t2 1=0 = 9t2 - 24 (t2-1) = - 15t2+24 > 02x+y的最大值是2M05,一,210 故答案为518.【2010年江苏12】设实数x, y满足3<xy2<8, 4<?<9,则?!的最大值是【解答】解：因为实数 x, y满足3<xy2<8, 4<?<9,? 9111则有：(9 c16, 81，£8,.再根据?3 =(?)2 ? C 2 , 27,即当且仅当x=3, y=1取得等号,.?9，一 ，一即有二

22、的最大值是27.?4故答案为：27.文轩翼慝工2x+y1.【2019年新课标3文科11】记不等式组?+ ?>6,表示的平面区域为 D.命题p： ? (x, y) CD, 2?- ?> 0>9;命题q： ? (x, y) CD, 2x+y< 12.下面给出了四个命题p V qpVq pAqpAq这四个命题中，所有真命题的编号是()A.B.C.D.【解答】解：作出等式组?+ ?>6，的平面区域为D.在图形可行域范围内可知：2?- ? 0命题p： ? (x, y) CD, 2x+y>9;是真命题，则p假命题；命题q: ? (x, y) CD, 2x+y< 1

23、2.是假命题，则-1 q真命题；所以：由或且非逻辑连词连接的命题判断真假有:pVq真；pVq假；pAq真；pAq假;故答案真，正确.故选：A.2.【2016年北京文科07】已知A (2, 5), B (4, 1).若点P (x, y)在线段AB上，则2x- y的最大值A. 一 1B.C. 7D. 8【解答】解：如图A (2, 5), B (4, 1).若点 P (x, y)在线段 AB 上,令z=2x-y,则平行y=2x-z当直线经过B时截距最小,Z取得最大值,可得2x- y的最大值为：2X 4 - 1 = 7.3.【2013年新课标2文科12若存在正数x使2x (x- a) v 1成立，则a

24、的取值范围是(A .(一巴 +OO)B. (2, +8)C. (0, +8)【解答】解：因为2x (x-a) v 1,所以?>?1?2 "函数y= ?4是增函数，x> 0,所以y> 1,即a> - 1,2 "所以a的取值范围是(-1, +8).4 .【2011年北京文科07】某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元.若每批生产x件, ?则平均仓储时间为一天，且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均每件产品的生产准备费用与仓储费8用之和最小，每批应生产产品(A. 60 件B. 80 件C. 100件D. 120 件【解答】解：根据题意，该生

25、产x件产品的生产准备费用与仓储费用之和是800 + ?= 800 + 1 ?88这样平均每件的生产准备费用与仓储费用之和为?(?= 800+J? = 800 + 1 ?(x为正整数)?8由基本不等式，得？?(?户2卷?1?= 20，一，8001当且仅当=-?= 10时，f (x)取得最小值、 ?8可得x=80时，每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小故选：B.5 .【2010年新课标1文科11已知？ABCD的三个顶点为 A (- 1, 2), B (3, 4), C (4, - 2),点(x,y)在？ ABCD的内部，则z= 2x- 5y的取值范围是()A. (- 14, 16) B. (-

26、 14, 20)C. (- 12, 18) D. (- 12, 20)【解答】解：由已知条件得？?= ?D (0, -4),由z=2x- 5y得y= 2? ?平移直线当直线经过点B (3, 4)时，-法大，555即z取最小为-14;当直线经过点 D (0, -4)时，-?!小，即z取最大为20,5又由于点(x, y)在四边形的内部，故 zC (- 14, 20).如图：故选B.(?+1)(2?+1)6 .【2019年天津文科 13】设x>0, y>0, x+2y= 4,则?的取小值为 【解答】解：x>0, y>0, x+2y=4,(?+1)(2?+1)?2?+?+2?+

27、1? 一2?+5_5? = 2+ ?x> 0, y>0, x+2y = 4,由基本不等式有：4 = x+2y > 2v2? ?0vxyw 2,55> -，? 2故：2+蒜?2+5=9；（当且仅当x= 2y=2时，即：x=2, y= 1时，等号成立）w (?+1)(2?+1)心 =, 9 故一?L的最小值为故答案为：27.【2019年北京文科14】李明自主创业，在网上经营一家水果店， 销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量，李明对这四种水果进行促销:次购买水果的总价达到 120元，顾客就少付x元.每笔订单

28、顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%.当x= 10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付元;在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为【解答】解：当x= 10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1 盒，可得 60+80= 140 （元），即有顾客需要支付 140-10=130在促销活动中，设订单总金额为m元,可得(m-x) x 80%>mx 70%,即有x< ?, 8由题意可得m>120,可得 x<180 =15,则x的最大值为15元.故答案为：130, 158.【2018年天津文科13】已知abCR,且 a-3b+6=0,【

29、解答】解：a, b CR,且a - 3b+6 = 0,可得：3b= a+6,则 2a+ :?= 2?+ 2?+6= 2?+ 焉户2,2?人?= 5当且仅当2a=六6.即a= - 3时取等函数的最小值为:4一，1故答案为：49.【2017年北京文科14】某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件:(i)男学生人数多于女学生人数；(ii)女学生人数多于教师人数；(iii)教师人数的两倍多于男学生人数.若教师人数为4,则女学生人数的最大值为 .该小组人数的最小值为 .【解答】解：设男学生女学生分别为 x, y人，若教师人数为4,?>?则 ?> 4,即 4V yvx<8,2 X4>?即x的最大值为7, y的最大值为6,即女学生人数的最大值为6.设男学生女学生分别为 x, y人，教师人数为z,?>?则 ?> ?,即 zvyvx2z2?>?即z最小为3才能满足条件，此时x最小为5, y最小为4,即该小组人数的最小值为12,故答案为：6, 12_.、一_ .?夕+4?4+1 .M17年天津又科13