第五单元数学广角鸽巢问题

1、文档从网络中收集，已重新整理排版.word版本可编辑.欢迎下载支持.5、数学广角一一鸽巢问题单元分析一、教材分析：本教材专门安排“数学广角”这一单元，向学生渗透一些重要的数学思想方法。 和以往的义务教育教材相比，这部分内容是新增的内容。本单元教材通过几个直 观例子，借助实际操作，向学生介绍“鸽巢问题”，使学生在理解“鸽巢问题”这一 数学方法的基础上，对一些简单的实际问题加以“模型化”，会用“鸽巢问题”加以 解决。在数学问题中，有一类与“存在性”有关的问题。在这类问题中，只需要确 定某个物体（或某个人）的存在就是可以了，并不需要指出是哪个物体（或人）。 这类问题依据的理论我们称之为“抽屉原理”。

2、“抽屉原理”最先是19世纪的德国 数学家狄利克雷运用于解决数学问题的，所以乂称“狄利克雷原理”，也称之为“鸽 巢问题”。“鸽巢问题”的理论本身并不复杂，甚至可以说是显而易见的。但“鸽巢 问题”的应用却是千变万化的，用它可以解决许多有趣的问题，并且常常能得到 一些令人惊异的结论。因此，“鸽巢问题”在数论、集合论、组合论中都得到了广 泛的应用。“鸽巢原理”的变式很多，在生活中运用广泛，学生在生活中常常遇到此类问 题。时，要引导学生先判断某个问题是否属于“鸽巢原理”可以解决的范畴。能不 能将这个问题同“鸽巢原理”结合起来,是本次能否成功的关键。所以，在教学中， 应有意识地让学生理解“鸽巢原理”的“一

3、般化模型”。六年级的学生理解能力、学 习能力和生活经验已达到能够掌握本章内容的程度。教材选取的是学生熟悉的， 易于理解的生活实例，将具体实际与数学原理结合起来，有助于提高学生的逻辑 思维能力和解决实际问题的能力。二、三维目标：1、知识与技能：引导学生通过观察、猜测、实验、推理等活动，经历探究“鸽巢原理”的过程， 初步了解“鸽巢原理”的含义，会用“鸽巢原理”解决简单的实际问题。2、过程与方法：1）经历探究“鸽巢原理”的学习过程，体验观察、猜测、实验、推理等活动 的学习方法，渗透数形结合的思想。（2）学会与人合作，并能与人交流思维过程和结果。3、情感态度与价值观：（1）积极参与探索活动，体验数学活

4、动充满着探索与创造。（2）体会数学与生活的紧密联系，感受数学在实际生活中的作用，体验学 数学、用数学的乐趣。（3）通过“鸽巢原理”的灵活应用，感受数学的魅力。（4）理解知识的产生过程，受到历史唯物注意的教育。三、教学重点：应用“鸽巢原理”解决实际问题，引导学会把具体问题转化成“鸽巢问题。四、教学难点：理解“鸽巢原理”，找出“鸽巢问题”解决的窍门进行反复推理。六、课时安排：3课时鸽巢问题1课时“鸽巢问题”的具体应用-1课时练习课1课时第一课时鸽巢问题（1）（总第56课时）【教学内容】最简单的鸽巢问题（教材第68页例1和第69页例2）。【教学目标】1 .理解简单的鸽巢问题及鸽巢问题的一般形式，引导

5、学生采用操作的方法进 行枚举及假设法探究“鸽巢问题”。2 .体会数学知识在日常生活中的广泛应用，培养学生的探究意识。【重点难点】了解简单的鸽巢问题，理解“总有”和“至少”的含义。【教学准备】实物投影，每组3个文具盒和4枝铅笔。【情景导入】教师：同学们，你们在一些公共场所或旅游景点见过电脑算命吗？ “电脑算 命”看起来很深奥，只要你报出自己的出生年月日和性别，一按键，屏幕上就会 出现所谓性格、命运的句子。通过今天的学习，我们掌握了“鸽巢问题”之后，你 就不难证明这利“电脑算命”是非常可笑和荒唐的，是不可相信的鬼把戏了。（板 书课题：鸽巢问题）教师：通过学习，你想解决哪些问题？根据学生回答，教师把

6、学生提出的问题归结为：“鸽巢问题”是怎样的？这里 的“鸽巢”是指什么？运用“鸽巢问题”能解决哪些问题？怎样运用“鸽巢问题”解 决问题？【新课讲授】L教师用投影仪展示例1的问题。同学们手中都有铅笔和文具盒，现在分小组形式动手操作：把四支铅笔放进 三个标有序号的文具盒中，看看能得出什么样的结论。组织学生分组操作，并在小组中议一议，用铅笔在文具盒里放一放。教师指名汇报。学生汇报时会说出：1号文具盒放4枝铅笔，2号、3号文具盒均放0枝铅 笔。教师：不妨将这种放法记为（4,0,0）。（板书：（4,0,0）教师提出：（4, 0，0）（0，4, 0）（0, 0，4,）为一种放法。教师：除了这种放法，还有其他

7、的方法吗？教师再指名汇报。学生会有（4, 0, 0）（0, 1, 3） （2,2,0） （2,1,1）四种不同的方法。教师板书。教师：还有不同的放法吗？教师：通过刚才的操作，你能发现什么？（不管怎么放，总有一个盒子里至少 有2枝铅笔。）教师:“总有”是什么意思？（一定有）教师:“至少，有2枝什么意思?（不少于两只，可能是2枝,也可能是多于2枝） 教师：就是不能少于2枝。（通过操作让学生充分体验感受）教师进一步引导学生探究：把5枝铅笔放进4个文具盒，总有一个文具盒要 14word版本可编辑.欢迎下载支持.文档从网络中收集，已重新整理排版.word版本可编辑.欢迎下载支持.放进几枝铅笔？指名学生说

8、一说，并且说一说为什么？教师:把4枝笔放进3个 盒子里，和把5枝笔放进4个盒子里，不管怎么放，总有一个盒子里至少有2枝铅笔。这是我们通过实际操作发现的这个结论。那么，我们能不能找到一种更 为直接的方法，只摆一种情况，也能得到这个结论呢？学生思考一组内交流一汇报教师:哪一组同学能把你们的想法汇报一下？学生会说:我们发现如果每个盒子里放1枝铅笔，最多放3枝,剩下的1枝不管 放进哪一个盒子里，总有一个盒子里至少有2枝铅笔。教师:你能结合操作给大家演示一遍吗?（学生操作演示）教师:同学们自己说说看，同桌之间边演示边说一说好吗？教师:这种分法，实际就是先怎么分的？学生：平均分。教师:为什么要先平均分?（

9、组织学生讨论）学生汇报：要想发现存在着“总有一个盒子里一定至少有2枝”，先平均分，余 下1枝,不管放在哪个盒子里，一定会出现“总有一个盒子里一定至少有2枝”。这样分，只分一次就能确定总有一个盒子至少有几枝笔了？教师:同意吗?那么把5枝笔放进4个盒子里呢?（可以结合操作，说一说）教师: 哪位同学能把你的想法汇报一下？学生乂一边演示一边说）5枝铅笔放在4个盒子里，不管怎么放，总有一个盒子 里至少有2枝铅笔。师:把6枝笔放进5个盒子里呢?还用摆吗？生:6枝铅笔放在5个盒子里，不管怎么放，总有一个盒子里至少有2枝铅笔。 师:把7枝笔放进6个盒子里呢?把8枝笔放进7个盒子里呢?把9枝笔放进8个 盒子里呢

10、?？教师：你发现什么？学生：铅笔的枝数比盒子数多1,不管怎么放，总有一个盒子里至少有2枝铅 笔。教师:你们的发现和他一样吗?（一样）你们太了不起了!同桌互相说一遍。把 100枝铅笔放进99个文具盒里会有什么结论？ 一起说。巩固练习：教材第68页“做一做”。A组织学生在小组中交流解答。B指名学生汇报解答思路及过程。2.教学例2。出示题目:把7本书放进3个抽屉里，不管怎么放，总有一个抽屉里至少有几 本书?请同学们小组合作探究。探究时，可以利用每组桌上的7本书。活动要求：a.每人限独立思考。b.把自己的想法和小组同学交流。c.如果需要动手操作， 可以利用每桌上的7本书，要有分工，并要全面考虑问题。（

11、谁分铅笔，谁当抽 屉，谁记录等）d.在全班交流汇报。（师巡视了解各种情况）学生汇报。哪个小组愿意说说你们的方法？把你们的发现和大家一起分享，学生可能会 有以下方法：a.动手操作列举法。学生：通过操作，我们把7本书放进3个抽屉，总有一个抽屉至少放进3 本书。b.数的分解法。把7分解成三个数，有（7,0）, （6,1）, （5,2）, （4,3）四种情况。在任何一种 情况下，总有一个数不小于3。教师:通过动手摆放及把数分解两种方法，我们知道把7本书放进3个抽屉， 总有一个抽屉至少放进几本书?（3本）教师质疑引出假设法。教师：同学们通过以上两种方法，知道了把7本书放进3个抽屉，总有一个 抽屉至少放进

12、3本书，但随着书的本数越多，数据变大，如：要把155本书放进 3个抽屉呢？用列举法、数的分解法会怎么样？（繁琐）我们能不能找到一种适 用各种数据的方法呢？请同学们想想。板书:7本3个2本?余1本（总有一个抽屉里至少有3本书）8本3个2本?余2本（总有一个抽屉里至少有3本书）10本3个3本?余1本（总有一个抽屉里至少有4本书）师:2本、3本、4本是怎么得到的？生：完成除法算式。7+3=2本?1本（商加1）8+3=2本?2本（商加1）10+3=3本?？1本（商加1）师:观察板书你能发现什么？学生：“总有一个抽屉里的至少有3本”，只要用“商+1”就可以得到。师:如 果把5本书放进3个抽屉里，不管怎么

13、放，总有一个抽屉里至少有几本书？学生:“总有一个抽屉里至少有3本”只要用5-3=1本?2本，用“商+2”就可以 了。学生有可能会说：不同意!先把5本书平均分放到3个抽屉里,每个抽屉里先 放1本，还剩2本，这2本书再平均分，不管分到哪两个抽屉里,总有一个抽屉里至少 有2本书，不是3本书。师:到底是“商+1”还是“商十余数”呢?谁的结论对呢?在小组里进行研究、讨论、 交流、说理活动。可能有三种说法:a.我们组通过讨论并且实际分了分，结论是总有一个抽屉里 至少有2本书，不是3本书。b.把5本书平均分放到3个抽屉里，每个抽屉里先放1本,余下的2本可以在2 个抽屉里再各放1本,结论是“总有一个抽屉里至少

14、有2本书”。c.我们组的结论是5本书平均分放到3个抽屉里，“总有一个抽屉里至少有2 本书”用“商加1”就可以了，不是“商加2”。教师:现在大家都明白了吧?那么怎样才能够确定总有一个抽屉里至少有几 个物体呢？学生回答：如果书的本数是奇数，用书的本数除以抽屉数，再用所得的商加1, 就会发现“总有一个抽屉里至少有商加1本书”了。教师讲解：同学们的这一发现，称为“抽屉原理”，“抽屉原理”乂称“鸽笼原理”, 最先是由19世纪的德国数学家狄里克雷提出来的，所以乂称“狄里克雷原理”，也 称为“鸽巢原理九这一原理在解决实际问题中有着广泛的应用。“抽屉原理”的应 用是千变万化的，用它可以解决许多有趣的问题，并且

15、常常能得到一些令人惊异的 结果。下面我们应用这一原理解决问题。提问：尽量把书平均分给各个抽屉，看每个抽屉能分到多少本书，你们能用 什么方式表示这一平均的过程呢？学生在练习本上列式：7+3=2?1。集体订正后提问：这个有余数的除法算式说明了什么问题？生：把7本书平均放进3个抽屉，每个抽屉有两本书，还剩一本，把剩下的 一本不管放进哪个抽屉，总有一个抽屉至少放三本书。引导学生归纳鸽巢问题的一般规律。a.提问：如果把10本书放进3个抽屉会怎样？ 13本呢？b.学生列式回答。c.教师板书算式：10+3=3?1（总有一个抽屉至少放4本书）13+3=4?1 （总有一个抽屉至少放5本书）观察特点，寻找规律。提

16、问：观察3组算式，你能发现什么规律？引导学生总结归纳出：把某一数量（奇数）的书放进三个抽屉，只要用这个 数除以3,总有一个抽屉至少放进书的本数比商多一。提问：如果把8本书放进3个抽屉里会怎样，为什么？8+3=2?2学生汇报。可能出现两种情况：一种认为总有一个抽屉至少放3本书；一种 认为总有一个抽屉至少放4本书。学生讨论。讨论后，学生明白：不是商加余数2,而是商加1。因为剩下两 本，也可能分别放进两个抽屉里，一个抽屉一本，相当于数的分解(3,3,2)。所 以，总有一个抽屉至少放3本书。总结归纳鸽巢问题的一般规律。要把a个物体放进n个抽屉里，如果a+n=b?c (c/),那么一定有一个抽 屉至少放

17、(b+1)个物体。【课堂作业】教材笫69页“做一做”。(1)组织学生在小组中交流解答。(2)指名学生汇报解答思路及过程。【课堂小结】通过这节课的学习，你有哪些收获？【课后作业】完成练习册中本课时的练习。板书设计(4, 0, 0), (0, 1, 3), (2, 2, 0), (2, 1, 1)只要放进的铅笔数比比笔筒数多，总有一个笔筒至少放进2支铅笔。7 + 3 = 212+1=3教学反思：本节课让学生经历探究“鸽巢原理”的过程，初步了解了“鸽巢原理”， 并能够应用于实际，学会思考数学问题的方法，培养学生的数学思维。兴趣是最 好的老师，导入新课时，我采用了 “抢板凳”的游戏，这游戏真实的反应了

18、 “鸽 巢原理”的本质。通过游戏，即抓住了学生的注意力，让学生觉得这节课要探究 的问题，好玩乂有意义。本节课，我还注重学生自主探索精神的培养。第二课时鸽巢问题(2)(总第57课时)【教学内容】“鸽巢问题”的具体应用(教材第70页例3)。【教学目标】L在了解简单的“鸽巢问题''的基础上，使学生会用此原理解决简单的实际问 题。2 .培养学生有根据、有条理的进行思考和推理的能力。3 .通过用“鸽巢问题”解决简单的实际问题，激发学生的学习兴趣，使学生感 受数学的魅力。【重点难点】引导学生把具体问题转化为“鸽巢问题”，找出这里的“鸽巢”有几个，再利用 “鸽巢问题”进行反向推理。【教学准备

19、】课件，1个纸盒，红球、蓝球各4个。【情景导入】教师讲月黑风高穿袜子的故事。一天晚上，毛毛房间的电灯突然坏了，伸手不见五指，这时他乂要出去，于 是他就摸床底下的袜子，他有蓝、白、灰色的袜子各一双，由于他平时做事随便， 袜子乱丢，在黑暗中不知道哪些袜子颜色是相同的。毛毛想拿最少数目的袜子出 去，在外面借街灯配成相同颜色的一双。你们知道最少拿几只袜子出去吗？在学生猜测的基础上揭示课题。教师：这节课我们利用鸽巢问题解决生活中的实际问题。板书：“鸽巢问题”的具体应用。【新课讲授】1 .教学例3。盒子里有同样大小的红球和蓝球各4个，要想摸出的球一定有2个同色的, 最少要摸出几个球？（出示一个装了 4个红

20、球和4个蓝球的不透明盒子，晃动儿下）师：同学们，猜一猜老师在盒子里放了什么？（请一个同学到盒子里摸一操，并摸出一个给大家看）师：如果这位同学再摸一个，可能是什么颜色的？要想这位同学摸出的球,一定有2个同色的，最少要摸出几个球？请学生独立思考后，先在小组内交流自己的想法，验证各自的猜想。指名按猜测的不同情况逐一验证，说明理由。摸2个球可能出现的情况：1红1蓝；2红；2蓝摸3个球可能出现的情况：2红1蓝；2蓝1红；3红；3蓝摸4个球可能出现的情况：2红2蓝；1红3蓝；1蓝3红；4红；4蓝摸5个球可能出现的情况：4红1蓝；3蓝2红；3红2蓝；4蓝1红；5红；5蓝教师：通过验证，说说你们得出什么结论。

21、小结：盒子里有同样大小的红球和蓝球各4个。想要摸出的球一定有2个同 色的，最少要摸3个球。2 .引导学生把具体问题转化为“鸽巢问题”。教师：生活中像这样的例子很多，我们不能总是猜测或动手试验吧，能不能 把这道题与前面所讲的“鸽巢问题”联系起来进行思考呢？思考：a. “摸球问题”与“鸽巢问题”有怎样的联系？b.应该把什么看成“鸽巢”?有几个“鸽巢”?要分放的东西是什么？c.得出什么结论？学生讨论，汇报。教师讲解：因为一共有红、蓝两种颜色的球，可以把两种颜色”看成两个“鸽 巢”，“同色”就意味着“同一个鸽巢”。这样，把“摸球问题”转化“鸽巢问题”，即“只 要分的物体个数比鸽巢多，就能保证有一个鸽巢

22、至少有两个球”。从最特殊的情况想起，假设两种颜色的球各拿了 1个，也就是在两个鸽巢里 各拿了一个球，不管从哪个鸽巢里再拿一个球，都有两个球是同色，假设最少摸 a个球，即(a) +2=1? (b)当b=l时，a就最小。所以一次至少应拿出lx2+l=3 个球，就能保证有两个球同色。结论：要保证摸出有两个同色的球，摸出的数量至少要比颜色种数多一。【课堂作业】先完成第70页“做一做”的第2题，再完成第1题。（1）学生独立思考。（提示：把什么看做鸽巢？有几个鸽巢？要分的东西是什么？）（2）同桌讨论。（3）汇报交流。【课堂小结】本节课你有什么收获？【课后作业】完成练习册中本课时的练习。板书设计鸽巢数一一颜

23、色数要保证抽出两个同色的球，摸出的球的数量只是要比颜色总数多1教学反思：教学中，我充分利用学具，将抽象的数学知识同具体的实物结合 起来，化难为易，化抽象为具体，让学生体验和感悟数学。通过实际操作，学生 进一步经历“鸽巢原理”的探究、运用过程，并对一些实际问题模型化，从而在 ffl “鸽巢原理”加以解决的过程中，促进逻辑推理能力的发展。第三课时鸽巢问题（练习课）（总第58课时）教学内容：教材71页练习十三的5、6题，及相关的练习题。三维目标：1、知识与技能：进一步熟知“鸽巢原理”的含义，会用“鸽巢原理”熟练解决简单 的实际问题。2、过程与方法：经历探究“鸽巢原理”的学习过程，体验观察、猜测、实验

24、、推 理等活动的学习方法，渗透数形结合的思想。3、情感、态度和价值观：通过用“鸽巢问题”解决简单的实际问题，激发学生的 学习兴趣，使学生感受数学的魅力。教学重点：应用“鸽巢原理”解决实际问题。引导学会把具体问题转化成“鸽巢问 题”。教学难点：理解“鸽巢原理”，找出”鸽巢问题”解决的窍门进行反复推理。教具准备：多媒体课件。教学过程：一、谈话导入-出示课题二、指导练习（-）基础练习题1、填一填：（1）鱼岳三小六年级有30名学生是二月份（按28天计算）出生的，六年级至 少有（）名学生的生日是在二月份的同一天。（2）有3个同学一起练习投篮，如果他们一共投进16个球，那么一定有1个同 学至少投进了（）个

25、球。（3）把6只鸡放进5个鸡笼，至少有（）只鸡要放进同1个鸡笼里。（4）某班有个小书架，40个同学可以任意借阅，小书架上至少要有（）本书， 才可以保证至少有1个同学能借到2本或2本以上的书。学生独立思考解答，集体交流纠正。2、解决问题。（1）（易错题）六（1）班有50名同学，至少有多少名同学是同一个月出生的？（2）书籍里混装着3本故事书和5本科技书，要保证一次一定能拿出2本科技 书。一次至少要拿出多少本书？（3）把16支铅笔最多放入几个铅笔盒里，可以保证至少有1个铅笔盒里的铅笔 不少于6支？（二）拓展应用1、把27个球最多放在几个盒子里，可以保证至少有1个盒子里有7个球？教 师引导学生分析：盒子数看作抽屉数，如果要使其中1个抽屉里至少有7个球， 那么球的个数至少要比抽屉数的（7-1）倍多1个，而（27-1） -r（7-1） =4.2, 因此最多放进4个盒子里，可以保证至少有1个盒子