第五讲集合的概念5

1、第五讲一集合的概念5第五讲集合元素的数量(2012-7-12)例 1若 A,A2, ,Am 为集合 A (1,2, ,n(n 2且 n N*)的子集，且满足两个条件：AUAULMA；对任意的x,y a)i (1,2,3, ,m)使 A x,y X或y.则称集合组A,A2, ,Am具有 性质P.如图，作n行m列数表，定 义数表中的第k行第l列的数至少存在一个a11a12a1ma21a22a2m an1an2anm为a(I)当n 4时，判断下列两个集合组是否具有性质P,如果是请画出所对应的表格，如果 不是请说明理由；集合组 1 : A 1,3, A2 2,3, A 4；集合组 2： A 2,3,4

2、, A 2,3, A 1,4.(II)当n 7时，若集合组AA人具有性质P, 请先画出所对应的7行3列的一个数表，再依此 表格分别写出集合A,A,A；(田)当n 100时，集合组A,A是具有性质 P且所含集合个数最小的集合组，求 t的值及 IAI Al|A|的最小值.(其中IAI表示集合A所含元 素的个数)20.(本小题满分13分)(I )解：集合组1具有性质P1分所对应的数表为000013分集合组 2 不具有性质p4分因为存在2,31,2,3,4)有2,3 PA 2,3, 2,32,3 ,2,3 A A3)与对任意的x,y A)都至少存在一个i 1,2,3) 有A x,y X或y矛盾，所以集

3、合组 A 2,3,4, A 2,3, A 1,4不 具 有 性 质 p. 5 分)01010100110101011111(nA 3,4,5,7, A2 2,4,6,7, A 1,5,6,78分（注：表格中的7行可以交换得到不同的表格,它们所对应的集合组也不同）（田）设A,A2,a所对应的数表为数表M, 因为集合组A,A为具有性质P的集合组， 所以集合组A,A满足条件和，由条件：AU&UUA a,可得对任意x A）者B存在i 1,2,3，,t有x所以axi 1,即第x行不全为0,所以由条件可知数表M中任意一行不全为0. 9分由条件知，对任意的x,y a,都至少存在 一个 i 1,2,3，,t）

4、使 A x,y x或y, 所以 a一定 是一个1 一个0,即第x行与第y行的第i列的两个 数一定不同.所以由条件可得数表M中任意两行不完全相同.10分因为由0,1所构成的t元有序数组共有2t个，去掉全是0的t元看用数组）共有2t 1个）攵因数走M 中任意两行都不完全相同，所以100 2t 1,所以t 7.又t 7时）由0,1所构成的7元有序数组共有128 个）去弹全是0的数组）共127个）述择其中的100个 数组构造100行7列数表，则数表对应的集合组满 足条件，即具有性质P.所以t 7 .12分因为IAI A|AI等于表格中数字1的个数） 所以，要使IAI A|AI取得最小值，只需 使表中1

5、的个数尽可能少，而t 7时，在数表M中，1的个数为1的行最多7行；1的个数为2的行最多C2 21行；1的个数为3的行最多C3 35行；1的个数为4的行最多C4 35行；因为上述共有98行，所以还有2行各有5个1,所以此时表格中最少宥7 2 21 3 35 4 35 5 2 304个1.所以|A| A|A|的最小值为304. 14 分例2 已知集合A a1，a2,，ak (k 2) ?其中 a Z 12,k)，由A中的元素构成两个相应的集合：S (a, b) a A, b A, a b A ) T(a, b) a A, b A, a b A .其中(a, b)是有序数对，集合S和T中的元素个数分

6、 别为m和n .若对于任意的a A,总有a A,则称集合A具有性质P.(I)检验集合。1,2,3与123是否具有性质P并对 其中具有性质P的集合，写出相应的集合S和T；(II)对任何具有性质P的集合A,证明：nW?；(III )判断m和n的大小关系，并证明你的结论.20.(共 13 分)(I)解：集合01,2,3不具有性质P.集合12,3具有性质p ,其相应的集合 S和T是S ( 13),(3 I)T (2, 1),23 .(II)证明：首先，由A中元素构成的有序数对(a, aj)共有k2个.因为0 A,所以 (d, ai) T(i 1,2,，k)；又因为当a A时，a A时，a A,所以当缸

7、a,) T时,(a,，a) T(i, j 1,2,，k).从而，集合T中元素的个数最多为k2 k)修，即 n，g. 2(III )解：m n,证明如下：(1)对于(a, b) S)根据定义)a A)b A,且a b A, 从而(a b, b) T .如果(a, b)与(c, d)是S的不同元素)那么a c与b d中 至少有一个不成立，从而a b c d与b d中也至少 有一个不成立.故(a b, b)与(c d, d)也是T的不同元素.可见，S中元素的个数不多于T中元素的个数，即m n(2)对于(a, b) T)根据定义)a A)b A)且a b A , 从而(a b, b) S .如果(a, b)与(c, d)是T的不同元素)