134 课题学习 最短路径问题公开课精编版

1、第十三章第十三章 轴对称轴对称 13.4 13.4 课题学习课题学习 最短路径问题最短路径问题 复习引入 A B 最短 路径 线段公理： 两点之间，线段最短. 问题 A l B 垂线段性质： 垂线段最短. 问题问题1 如图，牧马人从如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河地出发，到一条笔直的河边边 l 饮马，然后到饮马，然后到B地牧马人到河边的什么地地牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？方饮马，可使所走的路径最短？ 思考：思考： B A 你能把这个问题转化你能把这个问题转化 l 为数学问题吗？为数学问题吗？ 分析：分析： B A l C C B A l 转化为数学问题转化为数学问题

2、当点当点C在直线在直线 l 的什么位置时，的什么位置时，AC与与BC的和最小？的和最小？ 联想：联想： 如图，点如图，点A、B分别是直线分别是直线l异侧的两个点，异侧的两个点， 如何在如何在 l 上找到一个点，使得这个点到点上找到一个点，使得这个点到点A、点、点B 的距离的和最短？的距离的和最短？ A C l 两点之间，线段最短. B 分析：分析： B A A C l C l B （1）这两个问题之间，有什么相同点和不同点？ （2）我们能否把A、B两点转化到直线l 的异侧呢？ 转化需要遵循的原则是什么？ （3）利用什么知识可以实现转化目标？ 如下左图，作点如下左图，作点B关于直线关于直线 l

3、的对称点的对称点B . 当点当点C在直线在直线 l 的什么位置时，的什么位置时，AC与与CB的和最小？的和最小？ B A C A B l B C l B 如上右图，在连接如上右图，在连接AB两点的线中，线段两点的线中，线段AB最短最短. 因此，线段因此，线段AB与直线与直线 l 的交点的交点C的位置即为所求的位置即为所求. 证明：如图证明：如图. 在直线在直线 l 上任取另一点上任取另一点C ， 连接连接AC 、BC 、B C A 直线直线 l 是点是点B、B的对称轴，的对称轴， C C 点点C、C在对称轴上，在对称轴上， BC=BC，BC=BC AC+BC=AC+BC=AB 在在ABC中，中

4、，AB AC+BC， AC+BC AC+BC， 即即AC+BC最小最小 B l B 问题问题1 归纳归纳“一线两点一线两点” B A l 解决实解决实 际问题际问题 B A C l B 抽象为数学问题抽象为数学问题 B A C 联想旧知联想旧知 l A 用旧知解决新知用旧知解决新知 C l B 问题问题2 （造桥选址问题）如图，（造桥选址问题）如图，A和和B两地在同一条两地在同一条河的两岸，现要在河上造一座桥河的两岸，现要在河上造一座桥 MN桥造在何桥造在何处可使从处可使从A到到B的路径的路径AMNB最短？（假定河的两最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直岸是平行的直线，桥要与河垂直.

5、） 思考：思考： 你能把这个问题转化你能把这个问题转化 为数学问题吗？为数学问题吗？ 分析：分析： 如图假定任选位置造桥MN，连接AM和BN，从A到B的路径是AM +MN +BN，那么折线AMNB在在什么情况下最短呢？ A M a b N B 由于河宽是固定的，因此当AM +NB最小时，AM +MN +NB最小. 分析：分析： A A N M a b A C l B B 如左图，如果将点A沿与河岸垂直的方向平移到点A，使AA 等于河宽，则AA =MN，AM=AN，问题转化为：当点N在直线b的什么位置时，AN+NB最小？ 参考右图，利用“两点之间，线段最短”可以解决. 解：解： A A M N

6、B a b 如图，沿垂直于河岸的方向平移A到A，使AA 等于河宽，连接AB交河岸于点N，在点N处造桥MN，此时路径AM+MN +BN最短. 证明：证明： 另任意造桥MN， 连接AM 、BN 、AN. 由平移性质可知， AMAN，AM AN， AA MNM N. A A M M N B N a b AM+MN+BNAA +AB， AM +MN+BN AA +AN+BN . 在ANB中，由线段公理知AN+BN AB， AM +MN +BN AM+MN+BN . 问题问题2 归纳归纳 A抽象为数学问题抽象为数学问题 NMBab解决实解决实 际问题际问题 AANBM联想旧知联想旧知 A ab用旧知解决

7、新知用旧知解决新知 C l B 小结归纳小结归纳 B A C l B AANBMab轴对称轴对称 变换变换 A C l B 平移平移 变换变换 两点之间，线段最短 . 课堂练习 如图，A为马厩，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到马厩. 请你帮他确定这一天的最短路线. A 小 河 已知：如图，在l1、l2之间有一点A. 求作：分别在l1、l2上确定一点M、N，使AM +MN +NA最小. l1 M A l2 N 方法归纳：方法归纳：“两线一点两线一点”要作两次轴对称要作两次轴对称 如图，作点A关于l1和l2的对称点A1、A2， 连接A1A2，交l1于M点，交l2于N点. 连接AM和AN，则AM+MN+NA最小. 因此，那天这样走路线最短. A1 M N A2 A l1 l2 课堂小结 BAA B Cl最短 路径 线段公理： 两点之间，线段最短. BAANMabB问题 A l B 垂线段性质： 垂线段最短. 课后作业 1.必做作业 教材复习题13 第15题. 2.选做作业 你也许很喜欢台球，在玩台球过程中也用到数学知识. 如图，四边形ABCD是长方形的球桌台面，有两个球分别位于P、Q两点上