新应力和应变分析强度理论

1、第七章第七章 应力和应变分析应力和应变分析强度理论强度理论 7-1 7-1 应力状态的概念应力状态的概念 7-3 7-3 二向应力状态分析二向应力状态分析- -解析法解析法 7-4 7-4 二向应力状态分析二向应力状态分析- -图解法图解法 7-5 7-5 三向应力状态三向应力状态 7-8 7-8 广义胡克定律广义胡克定律 7-11 7-11 四种常用强度理论四种常用强度理论第七章第七章 应力和应变分析应力和应变分析强度理论强度理论低碳钢低碳钢塑性材料拉伸时为什塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？么会出现滑移线？71 应力状态的概念应力状态的概念目录铸铸 铁铁脆性材料扭转时为什脆性材料扭转时为什

2、么沿么沿4545螺旋面断开？螺旋面断开？ 横截面上正应力分析和切应力分横截面上正应力分析和切应力分析的结果表明：同一面上不同点的应析的结果表明：同一面上不同点的应力各不相同力各不相同。sF71 应力状态的概念应力状态的概念横力弯曲横力弯曲Mz目录 直杆拉伸应力分析结果表明：直杆拉伸应力分析结果表明： 即使同一点不同方向面上的应力也即使同一点不同方向面上的应力也是各不相同的。是各不相同的。 FFkkpFkk2coscospsincos sinsin22p直杆拉伸直杆拉伸7-17-1 应力状态的概念应力状态的概念目录 由杆件的基本变形分析可知，一般情况由杆件的基本变形分析可知，一般情况下，下，不同

3、截面不同截面存在不同的应力，同一截面上，存在不同的应力，同一截面上，不同的点不同的点应力也不一样，即使同一点，不同应力也不一样，即使同一点，不同的方向上应力也不一样。的方向上应力也不一样。 在强度分析时，需要求出应力的极值，在强度分析时，需要求出应力的极值，为了找到构件内最大应力的位置和方向，需为了找到构件内最大应力的位置和方向，需要对各点的应力情况做出分析，一个点在各要对各点的应力情况做出分析，一个点在各个方向上的应力分布就是个方向上的应力分布就是点的应力状态点的应力状态。7-17-1 应力状态的概念应力状态的概念目录123yxz x y z xy yx yz zy zx xz 单元体上没有

4、切应力的面称为单元体上没有切应力的面称为主平面主平面；主平面上的正应力；主平面上的正应力称为称为主应力，主应力，分别用分别用 表示，并且表示，并且该单元体称为该单元体称为主应力单元体。主应力单元体。321,321 71 应力状态的概念应力状态的概念目录71 应力状态的概念应力状态的概念目录（1 1）单向应力状态：三个主应力中只有一个不为零）单向应力状态：三个主应力中只有一个不为零（2 2）平面应力状态：三个主应力中有两个不为零）平面应力状态：三个主应力中有两个不为零（3 3）空间应力状态：三个主应力都不等于零）空间应力状态：三个主应力都不等于零平面应力状态和空间应力状态统称为平面应力状态和空间

5、应力状态统称为复杂应力状态复杂应力状态拉压拉压扭转扭转弯曲弯曲弯扭弯扭组合组合目录Fl/2l/2S平面平面71 应力状态的概念应力状态的概念S平面平面4zFlM 2F543211232 231目录薄壁容器薄壁容器目录由横向截面上的静力平衡条件由横向截面上的静力平衡条件由纵向截面上的静力平衡条件由纵向截面上的静力平衡条件0201lDplY04022DpDX42pD21pD目录 0 nF 0 tF1.1.斜截面上的应力斜截面上的应力 y a a xyd dA Axyx 7-3 7-3 二向应力状态分析二向应力状态分析- -解析法解析法目录x xy yx y yx xy 0 nF0sin)sin(c

6、os)sin(cos)cos(sin)cos(dAdAdAdAdAyyxxxy列平衡方程列平衡方程 0 tF0cos)sin(sin)sin(sin)cos(cos)cos(dAdAdAdAdAyyxxxy y a a xyd dA Axyx目录 7-3 7-3 二向应力状态分析二向应力状态分析- -解析法解析法利用三角函数公式利用三角函数公式)2cos1(21cos2 )2cos1(21sin2 2sincossin2 并注意到并注意到 化简得化简得xyyx 2sin2cos)(21)(21xyyxyx2cos2sin)(21xyyx目录 7-3 7-3 二向应力状态分析二向应力状态分析-

7、-解析法解析法2.2.正负号规则正负号规则拉为正；压为负拉为正；压为负使微元顺时针方向使微元顺时针方向转动为正；反之为负。转动为正；反之为负。由由x x 轴正向逆时针转轴正向逆时针转到斜截面外法线时为正；反到斜截面外法线时为正；反之为负。之为负。 y a a xyntxyxx目录 7-3 7-3 二向应力状态分析二向应力状态分析- -解析法解析法x xy yx y yx xy2sin2cos)(21)(21xyyxyx确定正应力极值确定正应力极值2cos22sin)(xyyxdd设设0 0 时，上式值为零，即时，上式值为零，即02cos22sin)(00 xyyx3. 正正应力极值和方向应力极

8、值和方向0 02 2c co os s2 2s si in n2 22 2) )( (2 20 00 0 x xy y0 0y yx x即即0 0 时，切应力为零时，切应力为零目录 7-3 7-3 二向应力状态分析二向应力状态分析- -解析法解析法yxxy 22tan0 由上式可以确定出两个相互垂直的平面，分别由上式可以确定出两个相互垂直的平面，分别为最大正应力和最小正应力（主应力）所在平面。为最大正应力和最小正应力（主应力）所在平面。 所以，最大和最小正应力分别为：所以，最大和最小正应力分别为： 22max4212xyyxyx 22min4212xyyxyx 主应力主应力按代数值按代数值排序

9、：排序：1 1 2 2 3 3目录 7-3 7-3 二向应力状态分析二向应力状态分析- -解析法解析法试求试求（1 1） 斜面上的应力；斜面上的应力； （2 2）主应力、主平面；）主应力、主平面； （3 3）绘出主应力单元体。）绘出主应力单元体。例题例题1 1：一点处的平面应力状态如图所示。一点处的平面应力状态如图所示。 y x xy 。30MPa，60 xMPa,30 xy,MPa40y已知已知目录 7-3 7-3 二向应力状态分析二向应力状态分析- -解析法解析法解：解：（1 1） 斜面上的应力斜面上的应力2sin2cos22xyyxyx)60sin(30)60cos(2406024060

10、MPa02. 92cos2sin2xyyx)60cos(30)60sin(24060MPa3 .58y x xy 目录 7-3 7-3 二向应力状态分析二向应力状态分析- -解析法解析法（2 2）主应力、主平面）主应力、主平面2yxxyyx22)2(maxMPa3 .682yxxyyx22)2(minMPa3 .48MPa3 .48, 0MPa,3 .68321y x xy 目录 7-3 7-3 二向应力状态分析二向应力状态分析- -解析法解析法主平面的方位：主平面的方位：yxxytg2206 . 0406060,5 .1505 .105905 .150y x xy 代入代入 表达式可知表达式

11、可知 主应力主应力 方向：方向：15 .150主应力主应力 方向：方向：3 5 .1050目录 7-3 7-3 二向应力状态分析二向应力状态分析- -解析法解析法（3 3）主应力单元体：）主应力单元体：y x xy 5 .1513目录 7-3 7-3 二向应力状态分析二向应力状态分析- -解析法解析法 7-3 7-3 二向应力状态分析二向应力状态分析- -解析法解析法022xyxytg 2max2min22xyxyxymax1min3xyxy xy13此现象称为纯剪切此现象称为纯剪切纯剪切应力状态纯剪切应力状态045 135或或45目录2sin2cos)(21)(21xyyxyx2cos2si

12、n)(21xyyxxyyxyx2222)2()2( 这个方程恰好表示一个圆，这个圆称为应力圆这个方程恰好表示一个圆，这个圆称为应力圆 7-4 7-4 二向应力状态分析二向应力状态分析- -图解法图解法目录xyyxyx2222)2()2(RCxyyxR22)2( 2yx1.1.应力圆：应力圆：目录 7-4 7-4 二向应力状态分析二向应力状态分析- -图解法图解法2.2.应力圆的画法应力圆的画法D( x , xy)D/( y , yx)c xy 2RxyyxR22)2( y yx xyADx目录 7-4 7-4 二向应力状态分析二向应力状态分析- -图解法图解法点面对应点面对应应力圆上某一点的坐

13、标值对应着应力圆上某一点的坐标值对应着 微元某一截面上的正应力和切应力微元某一截面上的正应力和切应力3 3、几种对应关系、几种对应关系D( x , xy)D/( y , yx)c xy 2 y yx xyxH ),(aaH 2目录 7-4 7-4 二向应力状态分析二向应力状态分析- -图解法图解法定义定义231三个主应力都不为零的应力状态三个主应力都不为零的应力状态 7-5 7-5 三向应力状态三向应力状态目录空间空间应力状态实例应力状态实例 7-5 7-5 三向应力状态三向应力状态目录任意斜截面的应力任意斜截面的应力已知：斜截面法向的方向余弦为已知：斜截面法向的方向余弦为nmln,nn、应用

14、截面法可以求出应用截面法可以求出 满足以下方程组满足以下方程组)()2()2()()2()2()()2()2(231322212221123222132213312122322232nmlnnnnnn 7-5 7-5 三向应力状态三向应力状态目录由三向应力圆可以看出：由三向应力圆可以看出：231max 结论：结论：代表单元体任意斜代表单元体任意斜截面上应力的点，截面上应力的点，必定在三个应力圆必定在三个应力圆圆周上或圆内。圆周上或圆内。213 32 1 7-5 7-5 三向应力状态三向应力状态目录IIIIII 1 2 3 x x max= 1 2 3 2 1 2 3 1 3 2 1 2 3 1

15、 3 1 3 2 3 2 1 7-5 7-5 三向应力状态三向应力状态目录 在三组特殊方向面中都有各自的在三组特殊方向面中都有各自的面内最大切应力面内最大切应力,即：即：221232 231 7-5 7-5 三向应力状态三向应力状态 一点处应力状态中的最大切应力一点处应力状态中的最大切应力只是只是 、 、 中最大者，即中最大者，即: 231max 目录123123123 7-5 7-5 三向应力状态三向应力状态目录1. 1. 基本变形时的胡克定律基本变形时的胡克定律xxE Exxy xyx1 1）轴向拉压胡克定律）轴向拉压胡克定律横向变形横向变形2 2）纯剪切胡克定律）纯剪切胡克定律 G 7-

16、8 7-8 广义胡克定律广义胡克定律目录2 2、三向应力状态的广义胡克定律、三向应力状态的广义胡克定律叠加法叠加法23132111E12311()E2()E3()E 7-8 7-8 广义胡克定律广义胡克定律目录=+23132111E13221E21331E 7-8 7-8 广义胡克定律广义胡克定律目录)(1zyxxE Gxyxy 3 3、广义胡克定律的一般形式、广义胡克定律的一般形式)(1xzyyE )(1yxzzE Gyzyz Gzxzx x y z xy yx yz zy zx xz 7-8 7-8 广义胡克定律广义胡克定律目录123单元体体积变化：abccbaVVabc1123111()

17、()()1 (321cba:单位体积的体积改变为VVV 1也称为。体体积积应应变变123目录12312123E()3 123123() EmK式中：体积弹性模量KEm3 123123()112322313312111EEE（）（）（）目录12321能密度：单向应力状态下的应变332211212121能密度：三向应力状态下的应变7-9 7-9 复杂应力状态下的应变能密度目录332211212121112322313312111EEE（）（）（）122122232122331E ()目录13mm2m1m2m3m应变能密度应变能密度=体积改变能密度体积改变能密度+畸变能密度畸变能密度m1233dv目

18、录v由前面的讨论知由前面的讨论知mmmmmmmmv23212121由广义虎克定律由广义虎克定律mmmmmEEEE21v3 1222()Em1261232E()目录)(221133221232221Ev3 1222()Em1261232E()vd16122232312E()()()123mmm1m3mm2目录max,maxAFN（拉压）（拉压）maxmax WM（弯曲）（弯曲）（正应力强度条件）（正应力强度条件）*maxzzsbISF（弯曲）（弯曲）（扭转）（扭转）maxpWT（切应力强度条件）（切应力强度条件）max max 杆件基本变形下的强度条件杆件基本变形下的强度条件7-10 7-10

19、强度理论概述强度理论概述目录max max 满足满足max max 是否强度就没有问题了？是否强度就没有问题了？目录7-10 7-10 强度理论概述强度理论概述构件由于强度不足将引发两种失效形式构件由于强度不足将引发两种失效形式 (1) (1) 脆性断裂：材料无明显的塑性变形即发生断裂，脆性断裂：材料无明显的塑性变形即发生断裂，断面较粗糙，且多发生在垂直于最大正应力的截面上，断面较粗糙，且多发生在垂直于最大正应力的截面上，如铸铁受拉、扭，低温脆断等。如铸铁受拉、扭，低温脆断等。关于关于屈服的强度理论：屈服的强度理论：最大切应力理论和形状改变比能理论最大切应力理论和形状改变比能理论 (2) (2

20、) 塑性屈服（流动）：材料破坏前发生显著的塑性塑性屈服（流动）：材料破坏前发生显著的塑性变形，破坏断面粒子较光滑，且多发生在最大剪应力面变形，破坏断面粒子较光滑，且多发生在最大剪应力面上，例如低碳钢拉、扭，铸铁压。上，例如低碳钢拉、扭，铸铁压。关于关于断裂的强度理论：断裂的强度理论：最大拉应力理论和最大伸长线应变理论最大拉应力理论和最大伸长线应变理论目录7-10 7-10 强度理论概述强度理论概述强度理论：强度理论： 人们根据大量的破坏现象，通过判断推理、概人们根据大量的破坏现象，通过判断推理、概括，提出了种种关于破坏原因的假说，找出引起破括，提出了种种关于破坏原因的假说，找出引起破坏的主要因

21、素，经过实践检验，不断完善，在一定坏的主要因素，经过实践检验，不断完善，在一定范围与实际相符合，上升为理论。范围与实际相符合，上升为理论。 为建立复杂应力状态下的强度条件，而提出的为建立复杂应力状态下的强度条件，而提出的关于材料破坏原因的假设及计算方法。关于材料破坏原因的假设及计算方法。目录7-10 7-10 强度理论概述强度理论概述 强度理论认为：无论是简单或复杂应力状态，引起强度理论认为：无论是简单或复杂应力状态，引起同一种失效形式的因素是相同的。同一种失效形式的因素是相同的。1. 1. 最大拉应力理论最大拉应力理论（第一强度理论）（第一强度理论）01 构件危险点的最大拉应力构件危险点的最

22、大拉应力1 极限拉应力，由单拉实验测得极限拉应力，由单拉实验测得b 00 目录7-11 7-11 四种常用强度理论四种常用强度理论 无论材料处于什么应力状态无论材料处于什么应力状态, ,只要发生脆性断裂只要发生脆性断裂, ,都是由于微元内的最大拉应力达到简单拉伸时的破都是由于微元内的最大拉应力达到简单拉伸时的破坏拉应力数值。坏拉应力数值。 b1 断裂条件断裂条件 nb1强度条件强度条件最大拉应力理论（第一强度理论）最大拉应力理论（第一强度理论）铸铁拉伸铸铁拉伸铸铁扭转铸铁扭转目录7-11 7-11 四种常用强度理论四种常用强度理论2. 2. 最大伸长拉应变理论最大伸长拉应变理论（第二强度理论）

23、（第二强度理论） 无论材料处于什么应力状态无论材料处于什么应力状态, ,只要发生脆性断裂只要发生脆性断裂, ,都是由于微元内的最大拉应变（线变形）达到简单都是由于微元内的最大拉应变（线变形）达到简单拉伸时的破坏伸长应变数值。拉伸时的破坏伸长应变数值。 01 构件危险点的最大伸长线应变构件危险点的最大伸长线应变1 极限伸长线应变，由单向拉伸实验测得极限伸长线应变，由单向拉伸实验测得0 E/)(3211 Eb/0 目录7-11 7-11 四种常用强度理论四种常用强度理论实验表明：实验表明：此理论对于一拉一压的二向应力状态的脆此理论对于一拉一压的二向应力状态的脆性材料的断裂较符合，如铸铁受拉压比第一

24、强度理论性材料的断裂较符合，如铸铁受拉压比第一强度理论更接近实际情况。更接近实际情况。强度条件强度条件)(321nb最大伸长拉应变理论（第二强度理论）最大伸长拉应变理论（第二强度理论）断裂条件断裂条件EEb)(1321b)(321即即目录7-11 7-11 四种常用强度理论四种常用强度理论 无论材料处于什么应力状态无论材料处于什么应力状态, ,只要发生屈服只要发生屈服, ,都都是由于微元内的最大切应力达到了某一极限值。是由于微元内的最大切应力达到了某一极限值。0max 3. 3. 最大切应力理论最大切应力理论（第三强度理论）（第三强度理论） 构件危险点的最大切应力构件危险点的最大切应力max

25、极限切应力，由单向拉伸实验测得极限切应力，由单向拉伸实验测得0 2/0s 2/ )(31max目录7-11 7-11 四种常用强度理论四种常用强度理论s31 屈服条件屈服条件强度条件强度条件最大切应力理论（第三强度理论）最大切应力理论（第三强度理论）低碳钢拉伸低碳钢拉伸低碳钢扭转低碳钢扭转目录 ss31n7-11 7-11 四种常用强度理论四种常用强度理论实验表明：实验表明：此理论对于塑性材料的屈服破坏能够得到此理论对于塑性材料的屈服破坏能够得到较为满意的解释。并能解释材料在三向均压下不发生较为满意的解释。并能解释材料在三向均压下不发生塑性变形或断裂的事实。塑性变形或断裂的事实。)0(max局限性：局限性： 2 2、不能解释三向均拉下可能发生断裂的现象。、不能解释三向均拉下可能发生断裂的现象。1 1、未考虑、未考虑 的影响，试验证实最大影响达的影响，试验证实最大影响达15%15%。2最大切应力理论（第三强度理论）最大切应力理论（第三强度理论）目录7-11 7-11 四种常用强度理论四种常用强度理论 无论材料处于什么应力状态无论材料处于什么应力状态, ,只要发生屈服只要发生屈服, ,都是都是由于微元的最大形状改变比能达到一个极限值。由于微元的最大形状改变比能达到一个极限值。0sfsfvv 4. 4. 形状改变比形状改变比能理论能理论（第四强度理论）（第四强度理论） 2132322