阶电路分析——LC震荡推导

1、二阶电路分析LC 震荡的推导如图 9.16 所示， RLC 串联电路零输入响应的数学分析依KVL ，得uRuLuC0按图 9.16 中标定的电压，电流参考方向有iduCCdtuCRiRC du Cdtu Ldid 2 uCLLC2dtdt将以上各式代入 KVL方程，便可以得出以uC为响应变量的微分方程，为d 2 uCduC0T 0（9.10 ）dt 2dtLCRCuC式（ 9.10 ）为一常系数二阶线性齐次微分方程，其特征方程为LCp 2RCp10其特征根为RR2122p1,22LLC02L式中：R / 2L 称为衰减系数；0 1/LC 称为固有振荡角频率。1.几种不同情况的讨论(1) 当(R

2、/2L)2>1/LC 时， p1 、 p2 为不相等的负实根，称为过阻尼情况。特征根为22p1,2aa0微分方程的通解为uC tA1ep1tA2 ep2 t（9.11）其中待定常数A1 、 A2 由初始条件来确定，其方法是：当t0 时刻，则由式(9.11)可得uC tA1A2对式 (9.12) 求导，可得 t0 时刻 uC t 对 t 的导数的初始值为duC tA1 p1i 0uC 0A2 p2dtt 0C联立求解式 (9.12)和式 (9.13)，便可以解出 A1 、 A2 。根据式 (9.11) 可知，零输入响应 uC t 是随时间按指数规律衰减的，为非振荡性质。 uCt 的波形如图

3、 9. 17 所示。（2）. 当 R/ 2L 21/ LC 时， p1、 p2 为相等的负实根，称为临界阻尼情况。特征根为p1p2a微分方程的通解为utAA t e atC12其中常数A1 、A2 由初始条件 uC 0和 uC 0 来确定。 uC t的波形图根据式 (9.13)可知，这种情况的响应也是非振荡的。(3) 当时， p1 、 p2 为具有负实部的共轭复根，称为欠阻尼情况。待征根为R12p1,2RjLCjd2L2L其中d1 RLC2L2220称为阻尼振荡角频率。微分方程的通解为uC tAet sin( d t)其中常数 A和妒由初始条件确定。根据式 (9.15) 可知，响应随时间变化的

4、规律具有衰减的振荡特性，它的振幅Aet随时间按指数规律衰减， 衰减的快慢取决于衰减系数的大小，越大则衰减就越快。衰减振荡的角频率为d ，d 越大，则振荡周期T2/d 就越小。uC t 的波形图如图 9.18 所示。（4) 当R=O时， p1 、 p2 为一对共轭虚根，称为无阻尼情况。特征根为p1,2j0相应的表达式为uC tA sin 0t其中 A和可以直接由初始条件确定。uC t 的波形如图 9.19 所示。从式 (9.l6)和 uC t 的波形图可知，电路的零输入响应是不衰减的正弦振荡，其角频率为0 。由于电路电阻为零，故称为无阻尼等幅振荡情况。2. 以上几种情况的物理意义电容和电感都是储

5、能元件，只有电阻是耗能元件。电容放电时它所储存的电场能量，一部分消耗在电阻中，一部分转移到电感储存于磁场中。在过阻尼情况下，由于 R较大，能量消耗极为迅速，因此电感获得的磁场能量不可能再返回给电容，而是随电路电流的下降而逐渐释放出来，一起消耗在电阻上。所以，电容电压uC 是单调下降的，形成非振荡的放电过程。在欠阻尼情况下，由于 R较小，电容放电时，被电阻消耗的能量较少，大部分电场能转变为磁场能储存于电感中。当电容储能为零时，电感开始放电，电容被反向充电。当电感储能为零时，电容又开始放电。这样周而复始。由于电阻不停地消耗着能量，因此电容电压呈指数衰减的振荡过程。如果R=O，即电路中无能量损耗，则在振荡过程中