大学-高等数学微积分教案

1、第一章：函数与极限1.1 初等函数图象及性质1.1.1 哥函数函数 y = X* m m是常数） 叫做哥函数。哥函数的定义域，要看 m是什么数而定。例如，当 m = 3时，y=x3 的定义域是（-00 ,+膂 当m = 1/2时，y=x1/2的定义域是0,+ ）;当m = -1/2时，y=x-1/2的定义域是（0,+ ）。但不 论m取什么值，哥函数在（0,+若内总有定义。1.1.2 指数函数与对数函数1 .指数函数函数y=ax （a是常数且a>0,a 4）叫做指数函数，它的定义域是区间（-00 ,+校因为对于任何实数值 x,总有ax >0,又a0=1,所以指数函数的图形，总在x轴的

2、上方，且通过点（0,1）。若a>1,指数函数ax是单调增加的。若 0<a<1,指数函数ax是单调减少的。由于y=（1/a）-x=a-x,所以y=ax的图形与y=（1/a）x的图形是关于y轴对称的。2 .对数函数指数函数y=ax的反函数，记作 y=logax （a是常数且a>0, a用），叫做对数函数。它的定义域是区间（0,+内。对数函数的图形与指数函数的图形关于直线y = x对称。y=logax的图形总在y轴上方，且通过点（1,0）。若a>1,对数函数logax是单调增加的，在开区间（0,1）内函数值为负，而在区间（1,+卞内函数值为正。若0<a<1

3、,对数函数logax是单调减少的，在开区间（0,1）内函数值为正，而在区间（1,+泗函数值为负。1.1.3三角函数与反三角函数1.1 角函数正弦函数和余弦函数都是以2兀为周期的周期函数，它们的定义域都是区间（-8 ,+ %值域都是必区间-1,1。正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数。正切函数和余切函数都是以兀为周期的周期函数，它们都是奇函数。1.2 三角函数反三角函数是三角函数的反函数，其图形都可由相应的三角函数的图形按反函数作图法的一般规则作出。这四个反三角函数都是多值函数。但是，我们可以选取这些函数的单值支。例如，把Arcsinx的值限制在闭区间-三，五上，称为反正弦函数的主值，并记作 ar

4、csinx。这样，函数y = arcsinx就是定义在闭区间-1 , 1上的单值函数，且有 2 arcEm x 2 。1.3 数列极限的概念设 4是一个数列，a是实数，如果对于任意给定的£0 ,总存在一个正整数 N ,当n>N时都有I4一仪K我们就称a是数列,的极限，或者称数列“收敛，且收敛于a,记为at心”, a即为时的极限。数列极限的几何解释： 勺以a为极限就是对任意给定的开区间i z ，第N项以后的一切数 居 奇金十目全部落在这个区间内。1.4 函数极限的概念设函数f（x）在£ > 口点附近（但可能除掉 £ > 点本身）有定义，设 A为一个

5、定数，如果对任意各定3，0 , 一 定存在 oqxwi"，使得当|/（幻,时，总有期J（幻",我们就称A是函数f（x）在£ > 0点的极限，记作0<|丫-4|<，这时称f（x）在£30点极限存在，这里我们不要求f（x）在点£0有定义，所以才有。 例如：1-JT - 1 ,当x=1时，函数是没有7E义的， 但在x=1点函数的极限存在， 为2。1.5 单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限，是判断极限存在的重要准则之一，具体叙述如下：如果数列(4)满足条件 否“石&-又+1,就称数列“ 是单调增加的;反之则称为是单调减少

6、的。在前面的章节中曾证明：收敛的数列必有界。但也曾指出：有界的数列不一定收敛。现在这个准则表明：如果数 列不仅有界，而且是单调的，则其极限必定存在。对这一准则的直观说明是，对应与单调数列的点/只可能向一个方向移动，所以只有两种可能情形：或者 /无限趋近某一定点；或者 小沿数轴移向无穷远(因为不趋向于任何定点且递增，已符合趋向无穷的定义)。但现在数列又是有界的，这就意味着移向无穷远已经不可能，所以必有极限。JT " (1 + -从这一准则出发，我们得到一个重要的应用。考虑数列 “用，易证它是单调增加且有界(小于 3),故 可知这个数列极限存在， 通常用字母e来表示它，即 典"

7、+晟)可以证明，当x取实数而趋于斗8或-r 时，函数 ' 二的极限存在且都等于 e,这个e是无理数，它的值是 e = 2.70451.6 柯西(Cauchy)极限存在准则我们发现，有时候收敛数列不一定是单调的，因此，单调有界数列必有极限 准则只是数列收敛的充分条件，而不是必要的。当然，其中有界这一条件是必要的。下面叙述的柯西极限存在准则，它给出了数列收敛的充分必要条件。柯西(Cauchy)极限存在准则数列 再)收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数 总，存在着这样的正整数 N,使得当m>N , n>N时，就有 上一 "J $ 。lim x = a-必要性的证明设

8、;ws * ，若任意给定正数 £，则2也是正数，于是由数列极限的定义，存在着正整数N,当所时，有肉T齿同样，当m>N时,也有上叫.因此，当m>N ,I氏-/值 3K -到勺芍-小人-小5+合卢n>N时，有2 2所以条件是必要的。 充分性的证明 从略。这准则的几何意义表示，数列 工J收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数£ ,在数轴上一切具有足够大 号码的点/ ,任意两点间的距离小于石。柯西极限存在准则有时也叫做柯西审敛原理。1.7 连续函数上帕上 "口1蛆ra)=F(*o)1.7.1 定义：若函数f(x)在X0点的附近包括Xo点本身有7E乂，并

9、且题则称f(x)在X0点连续，X0为f(x)的连续点。1.7.2 充要条件：f(x)在xo点既是左连续又是右连续。初等函数如三角、反三角函数，指数、对数函数等都是在自定义区间内的连续函数。1.7.3 三类不连续点：(1)第一类不连续点：f(xo+O),f(x o-O)存在但不相等。(2)第二类不连续点：f(xo+O),f(x o-O)中至少有一个不存在。(3)第三类不连续点：f(xo+0),f(x 0-0)存在且相等，但它不等于f(xo)或f(x)在xo点无定义。1.8 一致连续性的概念及它与连续的不同1.8.1 定义：对Vs0 ，可找到只与.有关而与x无关的厅0，使得对区间内任意两点xi,x

10、2,当kl 时总有 £ ,就称f(x)在区间内一致连续。1.8.2 与连续的比较：(1)连续可对一点来讲，而一致连续必须以区间为对象。(2)连续函数对于某一点 xo,"取决于x0和.，而一致连续函数的 门只取决于与x值无关。(3) 一致连续的函数必定连续。例：函数y = 1/x,当xC (0,1)时非一致连续，当 xC(C,1)时一致连续(4)康托定理：闭区间a , b上的连续函数f(x)一定在a , b上一致连续。第二章：导数与微分微分学是微积分的重要组成部分，他的基本概念是导数与微分，其中导数反映出自变量的变化快慢程度，而微分则指明当自变量有微小变化时，函数大体上变化多

11、少。2.1 导数的概念2.1.1 导数的定义：设函数y=f(x)在点xo的某个邻域内有定义，当自变量x在xo处取得增量x (点x0+x仍在该领域内)时，相应地函数 用取得增量3=/(/+&)-询；如果少 与Ai之比当 卜 t 0时的极限存在，则称函数在面处可导，并称这个极限为函数y=/(M)在点面处的导数，记为了1鹏"|一 = bm 生三加 "%+.)-八瓦)尸炽。),电| 或®区 J即以如3 Ar&，也可记作小事 小。尸(而)=如人.+与尸(而)=11m "X)7值)导数的定义式也可取不同的形式 ，常见的有0 5%和天一。导数的概念就是

12、函数变化率这一概念的精确描述。2.1.2 求导举例例 求函数/工)=工(n为正整数)在x 仪处的导数到7)=丽幽二胆=亚±± % (广】+«+产户汉斛 - -:二一二 一 一二把以上结果中的修换成彳得/卜)=抬尸,即加更一般地，对于募函数 广V (尚为常数)，有(廿)=滔'"这就是哥函数的导数公式.例求函数/=了的导数(sin x)f = cosx这就是说，正弦函数的导数是余弦函数.用类似的方法，可求得(co$y = - $由工 就是说，余弦函数的导数是负的正弦函数。例求函数/=/ 10,4 * 1)的导数.45 / 38=lim woMl1m%

13、 T。Zi即（&'）' = In &这就是指数函数的导数公式，特殊地，当4二。时，因In电 1,故有（或）'=/例求函数用=%确0工0 1）的导数./（琦11 ( x + k=lim _log&7万 X处AT-勺i log + ) llini 口x *-*o hU =作代换 .即得.二一这就是对数函数的导数公式，特殊地，当。=理时，由上式得自然对数函数的导数公式2.1.3导数的几何意义(In - x分导数的定义可知：函数j -/在点面处的导数/在几何上表示曲线y -/W在点处的切线斜率，即/ '00 =刖修淇中"是切线的倾角.如

14、下图:例求等边双曲线y=1/x,在点（1/2,2）处的切线的斜率，并写出在该点处的切线方程和法线方程。 -一 - ,一解根据导数的几何意义知道，所求切线的斜率为y =(-Y =-由于 x£2二中一4 , -、，_y_2 = T（_）,飞 从而所求切线方程为2即4x+y-4=0.所求法线的斜率为 k2-1/k 1=1/4,于是所求法线方程为2x-8y+15=0.2.2微分的概念2.2.1 微分的定义 设函数） =/0）在某区间内有定义工0及%+加在这区间内，如果函数的增量3二-（%+&）-/可表示为国=34其中a是不依赖于Ax的常数，而是比Ai高阶的无穷小，那末称函数了 = /

15、（I）在点而血叫做函数丁 = /（了）在点如相应于自变量增量Ai的微分，记作夕即砂=*自例 求函数y=x2在x=1和x=3处的微分.解函数了 "工在工=1处的微分为 俞=（7& = 2加，在工二3处的微分为6= (/"4及- 6加.函数y=JW在任意点X的微分，称为函数的微分，记作小或岁炽），即0=人心例如，函数y 一。$ 1的微分为力-（co$I）&加工加,函数的微分为办=（ggX）'&=屋加通常把自变量 了的增量Ax称为自变量的微分，记作dx,即dx = Ax .于是函数y=f(x)的微分又可记作dy=f' (x)dx,从而有x=

16、3就是说，函数的微分 dy与自变量的微分dx之商等于该函数的导数.因此，导数也叫做"微商2.2.2微分的几何意义设Ay是曲线y=f(x)上的点的纵坐标的增量，dy是曲线的切线上的纵坐标的相应的增量,当I x I很小时，I y-dy I比I x I小得多，因此在M点的邻近，我们可以用切线段来近似代替曲线段第三章：中值定理与导数的应用上一章里，从分析实际问题中因变量相对于自变量的变化快慢出发，引出了导数的概念，并讨论了导数的计算方法。本章中，我们将应用导数来研究函数以及曲线的某些性态，并利用这些知识解决一些实际问题。我们将介绍微分学的几个中值定理，他们是导数应用的理论基础3.1 三个中值

17、定理3.1.1 罗尔定理罗尔定理 如果函数f(x)在闭区间a , b上连续，在开区间(a,b)内可导，且在区间端点的函数值相等，即f(a) = f(b),那么在(a,b)内至少有一点 物 ?方) ,使得函数f(x)在该点的导数等于零：=。3.1.2 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理如果函数f(x)在区间a,b上连续，在开区间(a,b)内可导，那么在(a,b)内至少有一点物 3b)，使等式阳一仙)5淅(1)成立。3.1.3 柯西中值定理柯西中值定理如果函数f(x)及F(x)在闭区间a,b上连续，在开区间(a,b)内可导，且 F' (x狂(a,b)内的每一点处均不为零，那么在(a,b)内至

18、少有一点 一使等式 产电一开 炉石(2)成立。3.2 洛必达法则3.2.1 .洛必达法则的概念.0加白淞定义:求待定型的方法(。与此同时s);定理:若f(x)与g(x)在(a,a+§ )上有定义，且f(x)= xmM g(x)=0;5rUm 阴 Um 44 Lm M并且f '(疝g' (x在(a,a+3)上存在.g W # 0且而7 =A则丽 =9 =A,(A可以是 ).证明思路：补充定义x=a处f(x)=g(x)=0,则a,a+百)上C=市卜=虱/)n a n Lm /u) Um /w 即x T。+ U时,xU T G + U ,于是xt时0丽=而y3.2.2 定理

19、推广：由证明过程显然定理条件x0可推广到x 0- 0 , xT 4 ,xT CO。所以对于0待定型，可利用定理将分子、分母同时求导后再求极限。注意事项：1.对于同一算式的计算中，定理可以重复多次使用。 2.当算式中出现 Sin00或Cos00形式时，应慎重考 虑是否符合洛必达法则条件中 f'(疝g'(那存在性。向其他待定型的推广。(下转化过程中描述引用的仅为记号 .)1/ «0 o1. 口可化为1/0° = 口 ,事实上可直接套用定理。上工工-22. 08=0, 03. 8-8=6 -G ,通分以后=0-0=3 。4.0。、一、8° 取对数 n0L

20、n0、8Ln1、0" Ln 0"> 8. 0、。* 8。3.3 泰勒公式及其误差图示来源：实践，常用导数进行近似运算.由于Ait时£T所以血少加，因此了二了(%) +勺率/缶)+ /(媪(广用 范围：在直接求f(x)困难，而在x附近X0处f(Xo)与F(X0)较易时应用.条件是x与X0充分接近，可达到一定的精度.利用 /W匈/(/)+/(/)(-碣)当X)为不同函数时.有常用近似公式如下：(|x|很小时) 士一 等 1 士 1 - X * * 1 上Sinx 如 x,tgx 如 x,».,.，：-二，Ln(1+x) & x.泰勒公式来源：上

21、述公式在|x|很小时 J=/+g)于是/中，(。)+八0” 即,Pl=f(0)+f ' x(0) 与f(x)在x=0处函数值相等，且一阶导数相等.为进一步提高精度欲使P2 = % +乎+向/与/(X)在二阶导数处也相等.于是-/：,/.-.'',/'.' ：-/1""./日心=" 0)+/(。”一八幻“(工)=/(o)+/(o)工+ +51/得2! 依此类推：2!加R十+】对于误差有定理：/(X)在x=0处有n+1阶连续导数，则上式误差苛 5 + 1)!(广在x与0之间)由定理：阳飞+4此式为了W 在x=0处的关于x的泰勒展

22、开公式.即：/W = /(0) + ；'(0)x +呼 d + + 华 广 + 凡 2!n公式推广：一般地在x=X0附近关于X。点的泰勒公式/() = /(/) +/(%)(-/) + / I:%一瓦)“ (-/)” +&(力&。) = I (彳-访严2!M5十1只注意:虽然泰勒公式是在 x= / "附近”展开，但是事实上x可以取f(x)定义域内任意值，只不过若|x-% |过大(即x离皿 过远)时，凡: W相应变大.即使用Pn W 代替f(x)的误差变大.可是，无论如何泰勒公式总是成立的 ，当而固定后,不 同的x将使发生变化，并使凡变化，从而影响 入对f(x)

23、的近似精度.3.4 函数图形描绘示例定理:若f(x)在a,b上连续，(a,b)可导.则f(x)在a,b单调上升(或单调下降)的充分必要条件为(a,b)内/2°(或“口)，推论:若f(x)在a,b连续,(a,b)可导，且/不变号，则/° (或<0)严格单调上升(下降).定理(极值的必要条件):若x0为f(x)的极值点，那么x0只可能是f'(顺零点或f(x)的不可导点.定理(极值判别法)：J %) 一 °则/。，f(飞)为极大值,/(%)*为)为极小值若瓦)不存在，但f(x)在& .4“)与(两，%+出上可导则若&一/)内/仇)°

24、;,("而+ e内/(%)°则为极小点，反之为极大点定义:若曲线在一点的一边为上凸，另一边为下凸，则称此点为拐点，显然拐点处."(%)二。Lim =+ ,定义:若x T g 汗 """则称ax+b为f(x)的一条渐进线.定义:若犬T e ' 则称x=c为f(x)的一条垂直渐进线Ltm f(x) . 口僧 r “ x4 =b = /W-axte理：右f(x)的一条渐进线为 ax+b则工一>8 x , 工一证明：由定义知芸/出。即令。*'、Limx > «>3、门一式用时,再推导一川，因为ds

25、= 士.卜 +了)也出=±再而%加.(令2、工=心 =刷时，加="巧)+/©5 y1,所以£产承以gy，两边对x求导,)闻 1yd明 丁，小,推出 1+歹卜面将d胪与ds代入止阳无一阳一1Hsi公式中：2*口i +_.中Jl f 曰X,即为曲率的计算公式。心一 7-0 g-所以XTco X即工一8元带回定义得 函数图象描述的基本步骤：1 .确定y=f(x)的定义域并讨论函数的基本性质，如奇偶性，对称性周期性等.2 .求出 /=0与川加。及/与广不存在的各点3 .由2的结果函数的上升，下降区间，及图形的上凸，下凸区间以及各极值点.4 .定出函数的渐近线.5

26、.描点彳用.3.5 曲率的概念及计算公式3.5.1 概念：来源：为了平衡曲线的弯曲程度。工=附平均曲率 一工，这个定义描述了 AB曲线上的平均弯曲程度。其中 声表示曲线段AB上切线变化的角度， s为AB弧长。r _ .芦 _ A 呼 _ I.例：对于圆， 总 w 五。所以：圆周的曲率为i/r,是常数。而直线上A游°,所以近，即直线 不弯曲”。F r 附 户4附仃 5尤=lim = lim =对于一个点，如A点，为精确刻画此点处曲线的弯曲程度，可令Wt 4,即定义 WWTQ& 去，为了方便使用，一般令曲率为正数，即：止TvL3.5.2 计算公式的推导：由于左|高，所以要推导辟与

27、ds的表示法，ds称为曲线弧长的微分(T5-28, P218)因为(M乎夕，所以(& ) "(J。令Axt 0,同时用加代替丽得(苏)所以加=加+犷或加=土户户办=士而齐而 具体表布;3.5.3 曲率半径：一般称 卬一奏为曲线在某一点的曲率半径。几何意义(T5-29)如图为在该点做曲线的法线(在凹的一侧) ，在法线上取圆心，以p为半径做圆，则此圆称为该点处的曲率圆。曲率圆与该点有相同的曲率，切线及一阶、两阶稻树。应用举例：求了 = /上任一点的曲率及曲率半径(T5-30)3.6 方程的近似解法3.6.1 应用前提：方程f(x)=0 ,则f(x)应满足：(1) f(x)在a,

28、b连续，f(a)与f(b)不同号。(2) /在(& b)内连续且不变号。(3) /在(a, b)内连续且不变号。3.6.2 应用步骤：首先：判断方程是否满足应用前提，先对端点 a, b求f(a)、f(b),取与fn(x)同号的一点为起点。过起点做f(x)的切线，交x轴与勺。然后：过(工】，/(11)做/S)的切线，交x轴与电 。以次类推，直到Fx 一二加11满足精度要求。3.6.3 应用举例：求:9+3x-5二0在1, 2内的根，误差 £< 0.0001解：令 / 3 9一 5,有：川-K 0,42) = 9 > 0/=3/ + 30/=6C 0所以可应用上述方法

29、，求得:yl4yL均=口545m=口54"冉 H15417由于卜15Kt所以误差范围内的近似解为 = 1154173.6.4 两点说明：1 .前提条件的作用：第一个条件显然是为了保证区间上解的存在性。第二、第三个条件是为了保证各步迭代后，得到的交点仍落在区间上的2 .迭代公式：设第n步后的交点为 小,所以下一步过(4 , /(4)做f(x)的切线，写出其方程就是：f(xx)”他)/)八) ,它与X轴交点为H+1 相 fg),这就是迭代公式。第四章：不定积分在第二章中，我们讨论了怎样求一个函数的导函数问题，本章将讨论他的反问题，即要求一个导函数的原函数，也就是求一个可导函数，使他的导函

30、数等于已知函数。这是积分学的基本问题之一4.1 不定积分的概念与性质4.1.1 原函数与不定积分的概念定义1如果在区间I上，可导函数 F(x)的导函数为f(x),即对任一 xCI,都有F' (x)=f(x)或dF(x)= f(x)dx,那 末函数F(x)就称为f(x)(或f(x)dx)在区间I上的原函数。例如，因(sin x) ' =co§瓶 sin x是cos x的原函数。那一个函数具备何种条件，才能保证它的原函数一定存在呢？简单的说就是，连续的函数一定有原函数 。下面还要说明两点。第一，如果有 M力=/(&, 那么，对任意常数 C,显然也有 F(x)+c&

31、#39;=y(i) ,即如果E(x)是/的原函数，那F(x)+C也是f(x)的原函数。第二，当C为任意常数时，表达式 F(x)+C,就可以表示f(x)的任意一个原函数。也就是说， f(x)的全体原函数所组 成的集合，就是函数族<C<cd) o由以上两点说明，我们引入如下定义。定义2在区间J上，函数/(I)的带有任意常数项的原函数称为 了(或遍出 )在区间I上的不定积分，记作其中记号J称为积分号，,称为被积函数，称为被积表达式，X称为积分变量。由此定义及前面的说明可知，如果F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数，那么 F(x)+C就是f(x)的不定积分，即,乩且。)+ C。因而不定

32、积分岫可以表示了的任意-个原函数。例i求 .解由于f1 =/，所以 百是/的一个原函数。因此J T .f-dx例2求J工.,11.1 日工 一 x +解当X > 0时，由于心幻=-所以In x是1在内的一个原函数。因此,在(Q+b)内，、 X当了<口时，由于 一；1=:,由上同理，在(-8,0)内，H *+"fi/x - In I z I +C.将结果合并起来，可写作一4.1.2 不定积分的性质根据不定积分的定义，可以推得它的如下两个性质：性质1函数的和的不定积分等于各个函数的不定积分的和，即 JL'"” ga)“x- J/(x)"x +.性质

33、2求不定积分时，被积函数中不为零的常数因子可提到积分号外面来，即J' (k是常数，kw0).51i151例3求向'-5的解J石1-汕=脚一=卜】5取/%-5#治- 5 - +C -x3-x/7- X-77 + C='二=二注意 检验积分结果是否正确 只要对结果求导，看它的导数是否等于被积函数，相等时结果是正确的，否是错误的。4.2两类换元法及举例利用基本积分表与积分的性质，所能计算的不定积分是非常有限的.因此，有必要进一步来研究不定积分的求法.把复合函数的微分法反过来求不定积分，利用中间变量的代换，得到复合函数的积分法，称为换元积分法，简换元法.换元法通常分成两类.pl

34、网公*5)原二JV (以料4.2.1 第一类换元法 定理1设f(u)具有原函数，u = (f) (x可导，则有换元公式例 1 求 / 2cos2xdx解 作变换 u=2x，便有 / 2cos2xdx = / cos2x - 2dx = / cos2x - (2x)' dx =i = Sinco+C d再以 u=2x 代入，即得 / 2cos2xdx =sin 2x+C例 2 求 / tan x dx解 f tan x dx = f sin x /cos. x 0x -sin x dx = d cos x ,所以如果设 u=cos x,那么 du=-sin xdx,即 -du=sin x

35、dx ,因此+cftanxdx- = -C- = - lnhl + C = -Inlcosxl J J cosx J u类似地可得f cot x dx =ln|sin x|+C.在对变量代换比较熟练以后，就不一定写出中间变量u.例 3 求 / ch(x/a) dx- dx例 4 求 J -三(a>0).dx/w rF(iy下面求积分的例子，它们的被积函数中含有三角函数，在计算这种积分的过程中，往往要用到一些三角恒等式.例 5 求/s3nx dx.解 f s3x dx = /2xisinx dx=-/-1os2x)d(cosx尸-/ d(cosx)+ 2xc(Bosx尸-cosx+(1/3

36、)cos 3x+C.例 6 求 / c0& dx.1 + cos 2x , axcos)=打 d及 +1 Jcos 2xd(2x) =3in 2x -+ C4类似地可得 /si2ix dx=x/2-(sin2x)/4+C .利用定理1来求不定积分，一般却比利用复合函数的求导法则求函数的导数要来的困难，因为其中需要一定的技巧而且如何适当的选择变量代换u=。(x)没有一般途径可循，因此要掌握换元法，除熟悉一些典型的例子，需多练习.4.2.2第二类换元法定理2设x=(x)是单调的、可导的函数，并且少'(x)户区设f少(t)崂帧原函数，则有换元公式件如0W” (阚小其中即是x=少(t)

37、勺反函数.7求-x2dx(a>0)求这个积分的困难在于有根式'',但我们可以利用三角公式sin2t+cos2t=1来化去根式.x=asint,-兀/2<<兀/2那么-CO比位=4 COS成，于是根式化为了三角式，所求积分化为=二+门：”.K肝-乒6工=化+变3利用例6的结果得124由于 x=asint,-兀 /2<< 兀 /2W以x4：f x 丫 一-arc sin 3cos £ = 7、 sin £ = JI I I =aU I & J a.于是所求积分为- x i_5T cx ax = arcsin +1 -x +

38、C2 戊.具体解题时要分析具体情况，选简捷白代换.第五章：定积分本章将讨论积分学的另一个基本问题定积分问题。我们先从几何与力学问题出发引进定积分的概念，再讨论他的性质和计算方法，关于定积分的应用，将在下一章讨论。5.1定积分概念定义 设函数f(x)在a,b上有界，在a,b中任意插入若干个分点把区间a,b分成n个小区间孙西口工卜占1&-1，工M ,设有常数I,如果对于任意给定的正数个正数d ,使得对于区间a,b的任何分法，不论行在看，4中怎样取法，只要,总有二八点" 2-11 < '成立，则称I是f(x)在区间a,b上的定积分，记作 炽)"工。接下来的问

39、题是：函数f(x)在a,b上满足怎样的条件，f(x)在a,b上一定可积？以下给出两个充分条件。定理1设f(x)在区间a,b上连续，则f(x)在a,b上可积。定理2设f(x)在区间a,b上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在a,b上可积。对面积赋以正负号，在 x轴上方的图形面积赋以正号，在x轴下方的图形面积赋以负号，则在一般情形下，定积分£ "衣 的几何意义为：它是介于x轴、函数f(x)的图形及两条直线 x = a、x = b之间的各部分面积的代数和。5.2 牛顿莱步尼兹公式及实例定理如果函数F(x)是连续函数f(x)在区间a,b上的一个原函数，则163'一&quo

40、t;3)尸(的。) 证 已知函数F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，又根据前面的定理知道，积分上限的函数也是f(x)的一个原函数。于是这两个原函数之差为某个常数(第四章第一节)，即E一中(X)=C(2)在上式中令x = a,得F(d)-=c。又由F (x)的定义式及上节定积分的补充规定知F (a) = 0,因此，C = F(a)。以F(a)代入(2)式中的C,.n以丁出代入(2)式中的f (x),可得 就一" ",在上式中令x = b,就得到所要证明的公式由积分性质知，(1)式对a>b的情形同样成立。为方便起见，以后把 F(b) - F(a)记成。公式叫做牛顿(N

41、ewton)-莱步尼兹(Leibniz)公式，给定积分提供了一种简便的计算方法,也称为微积分基本公式。A = C sin xdx = - coszln = 2例4计算正弦曲线y = sinx在0,p 上与x轴所围成的平面图形的面积。解 一一11m“.、一 " 2，一 ,一例5求A。 X1解 易知这是一个口型的未定式，我们利用洛必达法则来计算。= - dt =- -(cosz)1 .% t x rj煞飞皿 1lim f =lim=因此六2式 加。5.3 定积分的近似计算在应用问题中常遇到要求定积分的数值，但f(x)的原函数根本不能普通的初等函数表不出来。例如泌.i!汗 等，所以提出了积

42、分的近似计算问题。定积分近似计算公式的原理：求定积分就是求面积，近似计算公式是对面积的近似求法。此处介绍抛物线法b-a能6"原理：实质上是用抛物线逼近曲线段，如图由此可推出% + 为 + 20广+ 为一)+ 4(用 + + jQO此公式称为辛卜生公式。近似计算方法很多，但实质上多是曲线逼近(见数值分析)5.4 广义积分的概念5.4.1 无穷限的广义积分te义1 设函数f(x)在区间a , +¥)上连续，取 b>a,右极限廿*他4k存在，则称此极限为函数f(x)在无穷区间a , + 肚的广义积分，记作/公力公=啊(f(x)dx。+»这时也称广义积分 I -八*

43、0K收敛；若上述极限不存在，称为广义积分C办发散。工存在，则称广义积分r类似地，若极限设函数f(x)在区间(-¥+¥上连续，如果广义积分f(x)dx都收敛，则称上述两广义积分之和为函数f(x)在无穷区间(-¥ +的广义积分，记作收敛；否则就称广义积上述广义积分统称为无穷限的广义积分。例1证明广义积分工一(a>0)当p>1时收敛，当p£l时发散。证当p=1时，与=三=叱丁，当pi 1时,4 ZP-1 ;当p£l时，这广义积分发散。存在，则称因此，当p > 1时，这广义积分收敛，其值为5.4.2 无界函数的广义积分现在我们把定积分

44、推广到被积函数为无界函数的情形。定义2设函数f(x)在(a,b上连续，而在点a的右领域内无界，取 £>口，如果极限此极限为函数f(x)在(a,b上的广义积分，仍然记作工,(幻'这时也称广义积分收敛。f /公I都收敛，则定义f/SV”工磔+ f /办=吧Jr 丁(工加(2)类似地，设函数 f(x)在a,b上除点c(a<c<b)外连续，而在点 c的领域内无界，如果两个广义积分I'''否则，就称广义积分口3廖发散。dx例2证明广义积分口/当q < 1时收敛，当q>1时发散。? dx证当q = 1时，（犬一“蚂葭蚂即dL =囱（齐

45、-加当q W1时，上a i.1因此，当q < 1时，这广义积分收敛，其值为 （b-a）1-q/（1-q）；当q>1时，这广义积分发散。第七章：空间解析几何与向量微分在平面解析几何中，通过坐标把平面上的点与一对有序实数对应起来，把平面上的图形和方程对应起来，从而 可以用代数方法来研究几何问题，空间解析几何也是按照类似的方法建立起来的。7.1 几种常见曲线：匚£三叶取晒J:也也海肃慑战7.2 曲面方程如果曲面S与三元方程F（x, y, z）=0 （1）,有下述关系:（1）;不在曲面S上的点的坐标都不满足方程（1）,7.2.1 曲面方程的概念及一般方程1 .曲面S上任一点的坐标

46、都满足方程那末，方程（1）就叫做曲面S的方程，而曲面 S就叫做方程（1）的图形。7.2.2 平面方程的几种形式一般形式：Ax+By+Cy+D=0，其中A , B, C是平面法向，A2+B2+C2a点法式方程:除钞始-比）+ C（zf尸0。三十匕十三截距式方程：- 一三点式方程:已知平面过空间三点 跖5/,M（孙乃，场包仍鸟） ,则平面方程为1.几种特殊的曲面方程1.旋转曲面方程 设平面曲线l :绕z轴旋转，则旋转曲线方程为2.柱面方程母线平行与坐标轴的柱面方程为不完全的三元方程，如F（y, z）=0就表示母线平行与 x轴,尸5,乃=0准线为t x "0 的柱面. 二次曲面方程（见第七

47、章知识点3）7.3 空间曲线7.3.1 空间曲线一般方程空间曲线可以看作两个曲面的交线。设F（x, y, z）=0和G（x, y, z）=0是两个曲面的方程，它们的交线为 C。因为曲J 尸= 0线C上的任何点的坐标应同时满足这两个曲面的方程，所以应满足方程组.口（1）反过来，如果点 M不在曲线C上，那末它不可能同时在两个曲面上，所以它的坐标不满足方程组（1）。因此，曲线C可以用方程组（1）来表示。方程组（1）叫做空间曲线C的一般方程。（x = 6。）y =+3）工-2）t为参数.（X X .口表示曲线C在yOz面上的投影，1工-口表示曲线C在xOz面上的投影。 -j2jjj例已知两球面的方程为

48、工+1' +7 - 1 （a）和二1+ 0 - 1） + U -1）二（b）求它们的交线 C在xOy面上的投影方程。解 先求包含交线C而母线平行于z轴的柱面方程。因此要由方程（a） , （b）消去z,为此可先从（a）式减去（b）式并化简，得到y + z = 1,再以z = 1 y代入方程（a）或（b）即得所求的柱面方程为x2+2y2-2y=0ifj：3 + 2_ya 4 2y 0易看出，这是交线 C关于xOy面的投影柱面方程，于是两球面的交线在xOy面上的投影方程是f i注：在重积分和曲线积分的计算中，往往需要确定一个立体或曲面在坐标面上的投影，这时要利用投影柱面和投 -+- >

49、3 = 11 .方程组（“靠十三* 一图表示怎样的曲线？方程组中第一个方程表示母线平行于z轴的圆柱面，其准线是xOy面上的圆，圆心在原点 O,半径为1。方程组中第二个方程表示一个母线平行于y轴的柱面，由于它的准线是zOx面上的直线，因此它是一个平面。方程组就表示上述平面与圆柱面的交线。方程组中第一个方程表示球心在坐标原点O,半径为a的上半球面。第二个方程表示母线平行于z轴的圆柱面,它的准线是xOy面上的圆，这圆白圆心在点（a/2, 0）,半径为a/2。方程组就表示上述半球面与圆柱面的交线。7.3.2 空间曲线在坐标上的投影= 0设空间曲线C的一般方程为1仃5沙衣）. 0由上述方程组消去变量z,

50、 x, y后所得的方程分别为：产=07.4.1椭球面方程所表示的曲面叫做椭球面。7.4.2抛物面方程： 二（p和q同号）所表示的曲面叫做抛物面。H（ x , y ）=0 R（ y , z ）=0 T（ x , z ）=0,1 上 口 表示曲线c在xOy面上的投影，7.4.3 双曲抛物面 方程 赤至"(p和q同号)所表示的曲面叫做双曲抛物面。J 口 二二十匕+乙= 17.4.4 双曲面 方程川 b2e2所表示的曲面叫做单叶双曲面。工营 力 I方程三十力一三一 T所表示的曲面叫做双叶双曲面。第八章：多元函数微分在很多实际问题中，往往牵涉到多方面的因素，反映到数学上，就是一个变量依赖于几个

51、变量的情形，这就提 出了多元函数微分和积分的问题，本章将在一元微分的基础上，讨论二元及二元以上的多元函数的微分。8.1 多元函数的极限与连续性。归马卜工口)+(厂幻 < "的一切点P(x,y) e d, = A的正数目总存在正数使得对于适合不等式8.1.1 定义 设函数f(x,y)在开区域(或闭区域) D内有定义，Po(xo,yo)是D的内点或边界点。如果对于任意给定耳T丽都有|f(x,y)-A|< e成立，则称常数 A为函数f(x,y)当x一x 0,y 一y0时的极限，记作*一小 或 f(x,y) 一A ( p f DM p =F西。上,、r 1八1lim / (x,

52、y) = 0例设才*1y(x+yWQ,求证FT。因为,o2 x1(工 +厂)sm泰一 a/sin x，可见，对任何则当o后干时,总有L +尸”)sin 1- 0炉X + y成立，所以 我们必须注意，所谓二重极限存在，是指定义设函数f(x,y)在开区域(或闭区域)P (x,y)以任何方式趋于 Po (xo,yo)时，函数都无限接近于D内有定义，Po(xo,yo)是D的内点或边界点且 Po C D。如果.上则称函数f(x,y)在点Po(xo,yo)连续。8.1.2 性质性质1 (最大值和最小值定理)在有界闭区域 D上的多元连续函数，在 D上一定有最小值和最大值。性质2 (介值定理)在有界闭区域 D

53、上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在 D上取得介于这两个值之间的任何值至少一次。一切多元初等函数在其定义区域内是连续的。所谓定义区域，是指包含在定义域内的区域或闭区域。由多元初等函数的连续性，如果要求它在点P0处的极限，而该点又在此函数的定义区域内，则极限值就是函数lim f(P)=f(R)在该点的函数值，即 J曷。8.2 偏导数的定义及计算法8.2.1 定义 设函数z=f(x,y)在点(xo,yo)的某一邻域内有定义，当 y固定在yo而x在xO处有增量Ax时，相应的函数有增量f(xo+A x,y)-f(x o,yo),如果此t"&存在，则称此极限为函数z

54、=f(x,y)在点(xo,yo)处对x的偏导数，记作 大比一九或fx (xo, yo)。对于函数z=f(x,y),求,时，只要把y暂时看作常量而对 y求导。例求z=x2sin2y的偏导数。=2zsin 2yf = 2x3 cos2v解'''d2z d2z8.2.2高阶偏导数定理 如果函数z=f (x,y)的两个二阶混合偏导数 4p31ax陟在区域D内连续，那末在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等。8.3 多元复合函数求导法则及实例少定理如果函数u=(f)及Mt)都在点t可导，函数z=f(u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导数，则复合函数z=f (f) (t),isfe

55、mN或鼠王c/v二-=-十在点t可导，且其导数可用下列公式计算:W也3 WEdv 公。dz也日Nda Hw插v +da dx 3vdz du + & dv du dy dv dy例 设 z=eusinv,而 u = xy , v = x+y。求也 方。营，sin v y + cos v 1 =口中y sin(1 + #)+ cos( +尸)sin v 1 x + cos v 1 =总中sin( x 十十+ _y).8.4 隐函数的求导公式8.4.1 一个方程的情形隐函数存在定理1 设函数F(x,y)在点P(xo,yo)的某一邻域内具有连续的偏导数，且F(xo,yo)=0, Fy(xo,

56、yo) w ,0则方程F(x,y) = 0在点(xo,yo)的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数y = f(x),它满足条曳=_ 一件yo = f(xo),并有念 珏。上面公式就是隐函数的求导公式。隐函数存在定理 2设函数 F(x,y,z)在点P(xo,yo,zo)的某一邻域内具有连续的偏导数，且F(xo,yo,zo) = 0,Fz(xo,yo,zo) w,则方程F(x,y,z) = 0在点(xo,yo,zo)的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数z = f(x,y),它满足条件Z0 = f(x0,y0),并有 双 年dy例 设 x2+y2+z2-4z = 0 ,求浦，% = X解设 F (x,y,z) = x2+y2+z2-4z ,贝U Fx = 2x, Fz = 2z-4。应同上面