大学文科数学第二版习题答案

1、大学文科数学第二版习题答案大学文科数学第二版课后习题答案（含解答过程）面向2 1咚纪课程教材Textbook Series for 21st Century理文科螂弓张国楚徐本顺王立冬李祎主编更高等教育出版社r HIGHER EDUCATION PRESSi.设产八求小一1），/（占）j（/q）t）.分析 函数y = /3 ）表示y与/之间的对应法则，y = /?）就像一部函数 加工器，将原材料2”植入加工器（）中，就可生产出了.这是求解此类问题的思 想方法.解 由丁 */（） = 可知了与？之间的对应法则为了 = /（7） = /小于是第一篇兴修内容 Mr i2 .设/（”）=， T 求及函

2、数的定义域，并作函数的 I0,r * 1图像.分析对于分段函数/（工），求f（彳0）时要判明心属于分段函数的哪一 段，Z。落在不同的区间，要选用所对应的函数表达式.解 因为点才=0落在分段函数上一麦达式的定义域中，所以“0）n SW = 1 ,同理/（D-0.定义域为（-8, + 8）.其函数图像略.3 .求下列函数的反函数：（1） y = 3/ -2.解（2）解由了 = 3a -2得.，二上了，所以原函数的反函数为n = 手 （x6R）. + 1由v = 土二知i/LyWL解得之二丝,所以原函数的反函数为3= yzj1，六 L（3） 5 = .r2 - 1.解 因为才0时，该函数单调递减，7

3、三。时，该函数单调递增，所以原:函 数在（-8, + 8）内不存在反函数.但当1 -1）；当io时,反函数为N=/rn（j7-i）.（4） y = cot x.解 该函数住区间（2n,（2A + 1）“）（氏,）内单调递减，均存在反函数，称 为反余切函数.但我们只取区间（0亦）内的反函数，称为反余切函数的主值，筒称 为反余切函数，记作V = arccot- 8,十8）,h（0,冗）；（5） y = v it + 4arcsin x.解 函数.=+ 4arcsin ”的定义域为工W -g,1,值域为6 从y =，贯+ 4arcsin ”中解出工=sin ;(丁 - “)，所以反函数为y = si

4、n-(x2 -),x0,/3jt,yG -孝,1.4.分解下列复合函数：(1) y = J 3 + /.解.y = =3 +X 激机少的事砒和研究对象(2) y = c0s 21.解 y = cos , u = 2x . V = D 错解 y =L , 0 = - 1.COS Y精解分析一不是基本初等困数，分解不彻底. OB V解.y = “ = cos v , f - x - 1 .(4) yhn hi(工寸2).解 y = In u , u = n & 0 =1 + 2.(5) v = sin - - 1斛 y = sin u , u . v - J* - 1 v(6) )”工解 v =

5、2 , = Cretan vv= vCr .(7) 下列函数的定义域：(1) y = sec .r .解 v = sec=一，所以原函数的定义域为 才寺，.rR OGZ).(2) y - y0可知.原函数的定义域为(n/)U(i, + 8),6 .我国解放初期恩格尔系数为68,至1965年级慢降至61,“文革期间又 上升为65,70年代末改革开放后又逐年走低，至90年代末又盘:桓在50上下,研 究报告预测，到202。年可望降至40.试粗咯而出我国恩格尔系数随年代变化的 曲线图.解图略.7 .要造一个旧柱形天盖的落水池，容积为3。()ml底而(单位)的造价是例 面(单位)造价的2倍，设制面每平方

6、米造价为。元.试将整个蓄水池的造价了 表示为底面半径的函数.解 蓄水池底面积为兀,，侧面面枳为死?乂2门，而侧面每平方米造价为a Ttr元，底囱每平方米造价为2。元.所以整个蓄水池的造价为第一恁必熔内宕1y = (2兀/ + 卜(/ 0).8 .据海外时报1999年4月3 R报道.1998年我国人口息数为12.48亿，每 年净增人U数约为I 20()万，人口出生率已从1970年的33.43%,降到1998年的 16 03%.中国城市已基本实现向低出生、低死亡和低增长的现代人口再生类型 箍变，农村人口也正向这一类型过渡.但中国的人口情况仍然是严帔的.在新的 世纪中，中国将面临双重:的人口压力巨大

7、的人口规模和人口的老龄化,例计 1h二 .TVLOtX16到2000年60岁以上人口将达到L3亿.据预测，未来20年中国人口还要增加 3亿多才能稳定下来.现以1999年初我国人口总数12.48亿为基数，按预测.假定2020年初我国 人口总数为15.55亿,问我国人口年平均增长率应控制在多少(精倘到0.01 %)?解设我国人口年平均增长率应捽制在工.由题意可得.12.48(1 +*产=15.55, (I +工/工55U12.48.两边取自然时数，有 21 ln(l+ r) = ln 15.55-In 12.48,0.(110 5,21一 、In 15.55-ln 12.48 )n(1 + & )

8、=查反对数表1010,解得1=0.01.所以我国人口年平均增长率应控制在1.0%.9 .已知水渠的横断面为等腰梯形,如题图1.1所东，斜角为o当过水断面 ABCD的面积为定值So时，求湿周L(L = AB + BC+ CD)与水深h之间的函 数关系式，并说明定义域.17第一章 湫积分的基拙和圻究对象解 如图所示，AS - 8,/八。=个,设次二二3,则So =-1a(BC+ AD).h = CDsin 中，AD = b 卜 2CDcos 华、 从而Sg =今(6+6 + 2 Mcos g ) = (6+人 ent p).又由于 L = AB + BC4- CD=A + 2CD = 6 + -.

9、tsin (p由，消去。得Su = A | L - 2h i 48t sin 仪 rj从而有二 +磊即得湿周L与水深之间的函数关系式由题意可知,其定义域由办0和60所谛定，由式知b =-h cot y。.从而h2 Sitan 伊，所以0 V h 0),销货10件时的利润为L(10) = l 410.第一篇兴修内容1.用观察法判断下列各数列是否收敛？如果收敛，极限是什么？1 1) !(；(2) 2-y-i(3) ll + (-l)AL (4)*1解(1)收敛，0;(2)收敛，2;(3)发散：(4)发散.2 .用%-尸定义证明下列极限：(1) lim(3jr 4 1) = 4. I证 任给 0,由

10、 1/(/)Al =|3f+1-4| = |3八-3|=3|工-1|求 出即由|工-1|0,当 I2一 11 台=5时，有13才+1 - 43$=&恒成立，所以吧(3彳+1)=4.(2) lim = -2.C 、1 1 十，兴修内容证 当 xX - 1 时.孑彳，=工 一 1 .由；+ ； - ( - 2) = |x-l-(-2)| = |N + 1|0,存在8=6,当0|k一(-1)|3= 时，有 二-(-2)| = |l + 1恒成立，所以lim 与?=-2.呵寿=2.38证当一犯，由于|闺-2卜|1一21-2|=21+外由 2|%+ 或|得,+ *|,取3 = /,所以对任给的0,存在6

11、 = *0, 当。上一(勺)1方/时型-2卜2|工+4|0,由|/-4|二|工十2|彳一2| 厂、所以当。廉-21 * 二 三时，植有|/一4| Lr + 21 I Jr+ 21I 才 4 2成立，故得证.错证分析当由|一4| = |工+ 2|7-2|求8时，变形为|工一2|： rA7r是错送的，因为此时所率的日=L，当6固定时，6随1f2的变化 而变化，正确的取法应该是8中仅含,而不含工.应该限制上的变化量固，用放 大法，以教代替|l + 2|.证.于 |M-4| = |k-2|/421.限制不妨令丘-2 lt,而此式等价于/3,取.=3,划日+ 2| 5,用5代替1/+21,于是有U +2

12、| |工一2| V5I/一2| Ve,对任给的只美 取d = min 91；则当0|1-2|46时，恒直|/一4|成立，所以lim.r2 = 4.X滋枳分的直接遥础-2注意 在上面的证法中，闲为所以可以限制用宏效5放 大变支11+ 21,从而找到台=8($).这祥的证法称为放大法.3.求下列星数成点工。=0处的左极限和也极限：分析 按照z的不同取值值国，去祥空时便符号，将/(不)衷示为分段函 期.而后求分界点处的左右极限.解因为兀皿I - 大，1, X0.解 因为 /(jr) = - Isgn x I =A。， j? = 0,I 1,jt= lim ( - 1) = - 1.彳+ 1,40,X

13、必修内容的图像，并证明该函数在0时不存在JT 1 , JT ()极限.分析 该函数是分段函数，分界点是才=0,要证明该分段函数在分界点 * =。处不存在极限，应根据“函数在一点处存在极限的充要条件是左右极限存在且相等”的定理，证图形如答图2.1.fi (0) = lim /(j, ) = lim (” + 1) = 1, .r-*O*.rf-f - (0) = lim /(jr ) = lim (才- 1) = - 1 , .r-nL。因为lim/。)# lim/(a ),所以lim/J)不存在.Zu -0”5.下列变量在给定的变化过程中，哪些是无穷小 量，哪些是无穷大量？(1) v =三遇(

14、比-*0 ).解 因为0时，分子1 - N-1，分母0, 乂无穷小疝的倒数是无穷大量，所以当X-0时y=二土是无穷大量.X(2)尸=oo)#解 因为j：f 8时0,即有limsin工=0,所以y = sin,是1-8时的无 1JCJC穷小量.40(4) = 3- -1解因为I吧(3一，- 1) = 1叫！ (J) - 1 = = 0,所以 =3七-是 工+0时的无穷小量.(5) j/ = ln x (一。.).解因为li吗InH=- 8,所以jt = ln x是r-0,时的无穷大量.，一。1心 l + (T)l 、=(H -8),解 因为“f8时，分子|+(-i)”W2是有界变量，分母是无穷大

15、盘， 又无穷大哥的倒数是无穷小鼠.所以X, = M 一碗是一8时的无穷小量.6.当工fO时，讨论下列无穷小鼠关于无穷小量x的阶的比较: d.解 因为lim = limz = 0,所以 x3 = o(x). r-#0 X(2)工？sin .工解 由于”fO时,为无穷大盘,从而使得sin上不存在极限，但|sin【a0 H .r-*D .T于是J:2sin - = o(x).x(3) yfx.拿激枳分的X接参础 因为limg= lim 3= +8,所以心为”的较低阶无穷小昼.(4 ) vGrco X .解 困为法丝 =Jim 华= + g,所以，38S X为I的较低阶无 .1。 NLU* VvT穷小

16、屋.7.根据变量、极限、无穷小成之间的关系定理证明：若两个函数的极限都存 在，则两个函数之积的极限等于极限之积.证设 lim/(工)=A lim.(7) = J3. u所以 /m) = A + a,/rCHluB + B，其中 Qf0,产0 (上一口)，4 -于是 /(.r)()= (A +a)(H + 0) = A8 +AB+ Ha： af，而AS。，Ba0 , o/3-*0( a-*0.0)，所以由变量、极限、无穷小酸之间的关系定理,证得lim /(才)*(才)= AB=lim &(r).H.求下列极限；(1) lim(3.一一+2)./ 7解 limO.r3 一/T 2) = lim(3

17、.r2) - lim.r + Iim2 3 - I +2 = 4.1- i.* - I * I ，rlini2. J .r + 2 _ 灼2厂一 i 十_ 2 x (2)2 - 2 2ism(.r, -4) j- a?8一4=2.linilini1一4/ 4 二节 2 a + 2liniy - 2)(，十 2)(戈-2) _j t-2lini (.r - 2) = - 4. 7-2，(21-3)独(3才+ 2)%(5) lim.r t jt .2linur cot x =limL。j *DX CX3 Xsin xlimcos x- =1.xtn -rlim jotan x - sin nXta

18、n三一 sin R二，山/ / _1惹&/.解 设函数在定义域X = (U, + 8)内某点 也处向焚度的增城为Ar干是*、=1 空”(7。+ .?) - log.jo = log, I 1 + ；：)13.用定义1或定义2证明下列函数在其有定义的区间内连续：(1)/(r)= r2-l.分析 要证明函数在定义域内连续，第一步任取一点46X,证明/(外在 几处连续；第二步由心的任意性,便证明了 ./(T)在X匕连续.在讦明在了“处 连续时，有些函数可以用定义1也可以用定义2,但有些函数只能用定义1,不能 用定义2,或者相反.应根据具体函数具体分析.证用定义1证明.任取一点汇.6(-318),因为

19、篇这修内容lien(X? T ) = kj - 1.=/(.r0 ),所以由定义1可知该函数在点八处连续,再由打的任意性，所以八工)=，- 1在其定义区间内连续./(才)=与.证 在函数的定义区间(- 8,-2)13(-2, + 8)内任取一点与，因为，界 /彳2 - TmQ+力-五彳2-，0)，所以由定义1,该函数在1。处连续.再由4的任意性，所以/X)= 占在其 定义区间内连续，注意 本题也可以用定义2来证明，读者不妨一试.(3) /(.r) = cos .r.锦证 在函数/G)=8一的定义城(-8, +8)内任取一点4， 因为 lim ./ ( x ) = lim cos i = cns

20、 八=/(所以由定义1及4 的任意性便证明了该函数在其定义区间内连续.错证分析 上述证明中，limes .r = cos4 的依据是连续函数取极限的法 .，则，但此题中正是要证明CCS才在(- 8 ,十8)内是连续的，这一证法是把结论 当条件，把未知当已知，犯了逻辑锵误.因而此题不能用定义1来证明.证 用定义2来证明.任取一点.( -8, + 8),给入一个增量工，相 应的函数增量为y = ./ ( + )-/( ) = co虱匹 +) - cos x0 - - 2sin ( h() 十苧卜in 竽，因为sin 卜u + )卜 1 sin 学 |,所以 I I = 2 卜in (+ 粤 j |

21、 sin j W | I , / 一 ，显然.当0时，Av-0.由定义2,所以8s Z在点I。处连续.再由To的任意 性，可知f(h) = COS 1在定义区间(一 8,十8)内连续.* 漱枳分的Jk.捅暮叱(4) /(#) =77,解 在/(/) =的定义区间内任取一点对，给笳一个熔量&r,相 应的函数增量为！Ay =，h(, + Ar -= 一空,八。+ 彳 + / Xo显然，当Ai-0时，Ay-Q，由定义2及八的任意性，所以/(工)在定义区 间0,十8)内连续.注意 在证明过程中.hm J=lim(4利用了塞函4-0-0数求极限的法则.限4 2 2- = V-以 所XI修内记1-2 1-

22、2在处连续.14.设函数/(.r)=: 应当怎样选择数，使得函数/(I)在d + .r -r 衣 0(- 8. + 8)内连续.解 由初等函数的连续性可知./(才)在(- 8,()和(0, + 8)内是连续的， 下面仅讨论彳=0处的连续性./(0) = 4 ,J . (0) = lini /(=A -解 了=4在)=U处尤定义，所以y = 4在”。=()处间断. XX(2) y = I tan j- I.tan 4 ,0” y,解 y = I tan % I =一 tan x , - 之 /_ (0) = lim tan = - lim tan ;r = 0,0i-*u-且 J(0)= Itm

23、 N K =0,即有九()=，. (0) = /(0),所以I tan /在外 = 0处连续.14短一1, 1JlTf，亍了 = 2 , .r = 4-.解 由于小=0不是垓分段函数的分界点，故有|g 票=1 = 1 Q /(0)= , (! z.r -/八 J* 4 2,工，o,（4） v = 5l0f x/.（0）= lim0 = 0,即jr-0（0）= tim（0） = lim /（x） wX-Ox-。所以？ = 4 2在i0 = 0处间斯0,xo = /oe-,0W,209f,两边取自然对数,得 In 0.78= -0.000 120 %,于是fF0而T2底-o.oo6120 9,25

24、5所以尸体已埋藏为2 055年.17 .证明方程3孑=1在1和2之间至少存在一个实根.分析 证明某方程在某区间内存衣实根的问题，应该用介值定理的排油，印 报的存在定理.关旋是要找到一个捕幼函数3，= （工），讨论它是否满足推论的 条件，只要把所给的方程变形为右端为（）的形式,那么左端的代散式就是要找的 辅助理，数.章淑枳分的X接差础！极限证 将所给方程变形为一一3/-1=0,作辅助组数1r.f（7）= s -3支一 1 .因为适函数是初等函数，且在区间1,2上有定义，所以它在闭区间1,2上 连续.Z /（1） = 1 -3- 1 = -3。.可见的数/（1） = / 3差T 满足推论的条件，于

25、是由推企可知，在开区间（I, 2）内至少存在一个内点也健/（力=0,即-39- 1=0,这就证明了方程i一 34 1=0或（1,2）内至少存在一个实根.(1) lim cosA -*0 .ln(x + 1) 工工+118 .利用连续函数求极限的法则求下列极限：分析 函数/（X）=COS x -吟异2是初等函数，/=0是/）有定义的点,所以/C)在1 = 0处连续,可根据连续函数极限的法则求极限. 解1.ln( j* + 1),uni cos r -n-I.r+1.i. InQ + 1): Inncos j - urn,i- l，-U Z十 1liniln(.r + 1)=-* finj 1 =

26、 -()=、. ，(2) lim f -v - arctan V2jc + 1 .一 arclan 7 2 + 1517/、,一 .=lim 片 一 lim arctan v 2.r + 1.r- L / *%与分析 函数/（彳）=玄二4二2在 = 5处不连续.但在.r-5的过程中，因 为7炉5、所以可用分母有理化的方法消去极限为零的公因式,化为在点工;5 连续的函数，而后应用连续函数取极限的法则求极限. VT-1 1 2 lim -=-7 X 5=lim mi岑。HimI5 (x - 5)(- 1 + 2)=lim；(/- 5)(771 + 2)T11-lim -y=丁.i/Y7r1 + 2

27、 4s 兴修内容(4) limarcsiny - tan x - cos 卜+合)解 lirnarasirj，-tan .r -a6(/ 卜卡)1-arcsin lim t，咛/十三)=arcsin( - 1) = - y.一sin j , tf 0,x连续？分析 函数八)是分段函数,分界点为.r = 0,除分界点外，其余不同子区 间上的函数均为初等函数，因而在它所定义的区间上均为连续岳数，因而函数 /(%)在其定义区间(- 8, + 3)内是否连续，归结于“才)在分界点工=0处是 否连续.解 讨论函数/Q )在分界点.r=0处的连续性.因为/- (0) = lim sin jc = lim

28、把三=3 工-广彳4iT x3 (0) = lim sin + 1 = lihi asin + lim 1=1,又/(。)工6,要依/(”)在分布点了 = 0处连续，则须lim /(,7) = lim f(x) = /(0)n A,所以 J(I.r -*OJ-u.r-*114 = 1.注意 在证明过程中，因为x-01时，1是无穷小量，sin虽然不存在极xF艮，但sin -是有系变量，即sin .所以lim xsin 0.承二章激积万的宜堞 = L. G N.）分析 要求用定义证明，就应该按照导数定义的三个步骤来证.证 令） =/（二）=小，任取“ e 十g）,给一个增量上,求得,Y = f（i

29、+4才）一/（工）-（上+4 ） 一 u =九/TAn t nn 一 l）.zn-J（A,r）2 十十（纵厂，十 n （）i - 1）n 2 A.r + + （t）at ,所以y = lim 翌=-十九（-1 十+上尸 nz， &z Zxr 2-0X 支*变化遽度与局部改变费估值问题导与 漱 分67注意4 + R A - R 证明中使用 了公式 cos A - cos 11 = - 2sin 一cos因为sin a-在点工处连续，根据连续函数求极限的法则，所以lim sin (x +)=Ar *o i I注意 对于较新单的问跑,可不完全按照求导数的三个步骤来作，可直接写使用了公式lim迎卫=1

30、 x *0 X目=-3分析 令y - /= ：，任我x R,衿工一个增紫Ah ,则函数”有增 量于是I， p 一 p 一 %，1r%(V + )V d 工.11 &p v= -lim f- hm 7 = - -5-.d -0 v + 幻号 -0 Al0注意 当Ar fO时，工固定不动，所以Mi)是常数，又因为函数aj)在 w可导，所以v(x)在点连续，根提连续性定义2,因为n + O时、， ()，于 是有1而 =1= 1a-o v 4 vlv lim (v2 + nAzi) lim vz + lim v limAv-d-。2r *U &410= 1 = 1V + v 0(4) (In x) =

31、 L x证 / = (lnz)= lim= lim 皿匚L守二以 Alo6x *068注意利用公式alnor方向变形，其中作了变形因为Ini在/ = e处连续，所以由连续函觥取极限的法则,有lim In 1 &L!=In liin=In e = L2,用定义讨论南数/(J)= I” |卜I在点T = 0处的连续性和可导性.分析 当工0时，八工)=I工|十1二工+ 1：蛋1 0, rx)二, 八一/+ 1,0.(1)讨论函数在点x = 0处的连续性.当工 0 时，右极限为 f (0)二 lirn /(上)二 lim (* 4 1) = 1.X ，T-*0 *当才 0.于是右导敷为ft (0) =

32、 lim 黑=lim(0 + Ajt) 4 1-1lim ”=1.I -当n0时，给z = 0 一个增量 0,于是左导数,，,a、1- Ay 卜一(0 + An) + 1 - 1 _ 1-/- = (3.r4 + 5.r ) = 123 + 15/ .(6) y = zln /解 y = (x*) /In r + x2(ln jc ) = 2：rn .r + jr = z(21n j + 1).(7) y - zsin In .分析 三个因数乘积的导数，可组合为两个因数乘积的形式，两次使用乘积 求导数的公式.解 J = (zsin 才)In = xsip 彳”In jc + xsin j(ln

33、 j)y = (sin x +工m5 .r )n x 寸 sin .r.注意 (“uid = C( UV)wY = (#) + 14k戊, = u vw + uv w + uvw，9 所以(UUW) U VW + uv w + vuwcot 彳.，D =sin x-sirfi - cos x； sm xi+212= - y- = _ esc .r.sin x.V(10)-2(工十 2_(1 = 2) -(h+2)_42)=(r2p =一(二.2oos 13r1 + sin x */ 2 cos ”(il) 1 1 sia r /=a1 In. x (a 0 且 a # 1 ).= 2sin /

34、(1 十 sin 工 - Zcos*/(1 + sin r_ 21 + sinTr 二(aln x) = (/ In an zr +(12)y =(工 + In 2)log2 j1.=(* + bi 2)Iog?工厂=k)&z + J，(13)- sec j?tan 工解 y = (secm/=(离_ cost r + 2sin2 xcos jL*. COS X1 + gin%cosJx或 y 二(sec jrtan a) = (sec x) tan x 4- sec xtan 工 =sec jtan2 4 sec jrsec = sec+ sec2 j).(14)y = esc scot .

35、皿 z / cos ，_ _ sin& - 2 cdz_ 1 + c/ 工Y 一 (sin2 jc / - - sin4 xx-2(15) = 4.ry + sin 1.解 y r = (4 工一义十 sin 1) (4n) ($)+ (sin 1) * = 4 + -p-.(16) y = .rMn jtcos t 解 y z = (a21n xcos )=(t2) In hcos i + (In 2cos x 十(cos x) x2ln x= 2:rln xeos 工 + zoos r ./sin rn 工= x(21n xcos x + cos x - -rsin xln x).5.求下

36、列函数的导数:（1） y = V 1- x2.错解 .=（/T二?） =J,2 71 -工，错解分析 3 = JT=7是之的复合函数，中间变量u = 1 一一此解错 在只求出对中间变量M的导数，丢掉了中间变量 =1 一/对X的导数.解一令 =1 -,则V = /工，因为注意 解一是直接套用求复合函数导数的链式公式，解二是从外向里 层层求导，每次求出外层变量对里层变量的导数，乘以里层变量对Z的导数，常 常使用解二.在求y = J7的导数时可以将灯 写成军函数的形式.十而后求导数，但（右/=3 应该按公式记忆，对于中间变黄也适用.即T =/；.则）二=第2 G一再汽修内容72(3) y = cos

37、(x2 + l + 1).解 y = - sin(x2 十工+1)(12 + n + I) = - (2j? + 1 )sin(.r2 + + 1).(4) v = (31 -6 + 1)1解 y = 5(3* 6文 + 1) (3/ - 61 + 1) = 30(1 1 )(3/ - 6工 + 1 厂.(5) v = ln( jt 斗 J 二r ).1(1 +. +、/ 1 +J 2 + 一 七 一- 二 一二 留，一( n 十。1 +1) _2 y i +yI + x1ji / i“ - 厂一/ + V 1 I 工2 X +，1 1 X 十 V1+15 =(8) y = Intan错解 二_J_ xtan k错解分析 结果虽然是正确的，但第一个等号后面的式子写法是错的，错 在多写卜中间变僦*对jc的导数。，