自动控制原理04(拉氏变换)

1、2-12-1动态微分方程式的编写动态微分方程式的编写机械运动系统例：弹簧-质量-阻尼系统输入外力输出位移)(tF)(tykfFFtFdttydm)()(22dttdyfFf)()(tkyFk 阻尼系数，与运动方向相反f)(22tFkydtdyfdtydm)(tFKmf)(ty2-22-2非线性数学模型的线性化非线性数学模型的线性化2-2 非线性数学模型的线性化2-22-2非线性数学模型的线性化非线性数学模型的线性化)(tx)(ty)()(xfty0 x0y2-22-2非线性数学模型的线性化非线性数学模型的线性化.! 2)()()()()(20220000 xxdxxfdxxdxxdfxfxfx

2、xxx.2)()()()(200 000！xxxfxxxfxf当|x-xo|很小时，忽略其二阶以上各项，得：)()()(000 xxxfxfxf即：xxfyy)(00 xxfy)(0)(xfy 也即：是 线性化模型例：例：将上例流体运动非线性方程线性化如：1QhCdtdhAv可将非线性特性 在 处线性化hhf)(0hhhhhhhfhfhf0000021)()()(2-22-2非线性数学模型的线性化非线性数学模型的线性化即有：102QhhCdthdAv去掉 即为线性化方程。 不难看出线性化方程与工作点有关，工作点不同，方程就不同。110000)21()(QQhhhCdthhdAv代入原方程得：2

3、-22-2非线性数学模型的线性化非线性数学模型的线性化h 为了对系统性能进行分析、比较，给出了几种典型输入信号定义如下000)(tAttxrA=1时称为单位阶跃信号对于恒值系统，相当于给定值突然变化或者突然变化的扰动量；对于随动系统，相当于加一突变的给定位置信号。0 t000)(tAtttxr相当于随动系统加入一按恒速变化的位置信号，该恒速度为A。0 t 000)(2tAtttxr相当于随动系统加入一按恒加速度变化的位置信号，该恒加速度为A。 1tttAtxr, 000)( 用正弦函数作输入信号，可以求得系统对不同频率的正弦输入函数的稳态响应，由此可以间接判断系统的性能。 拉普拉斯变换拉普拉斯

4、变换(Laplace变换变换)l拉普拉斯变换l拉普拉斯变换的基本性质 l拉普拉斯逆变换l拉普拉斯变换的应用 在数学中，为了把较复杂的运算转化为较简单的运算，常常采用一种变换手段，所谓积分变换，就是通过积分运算把一个函数变成另一个函数的变换。积分变换包括拉普拉斯（Laplace）变换和傅立叶（Fourier）变换。这里只研究Laplace变换，讨论他的定义、性质及其应用。在 所确定的某一域内收敛,则由此积分所确定的函数可写为 设函数 当 有意义,而且积分( )f t0t （ 是一个复参量） s0( )( )stF sf t edt称上式为函数 的拉普拉斯变换式 ( )f t( )F s ( )f

5、 t叫做( )f t的拉氏变换,象函数.( )F s叫做的拉氏逆变换,象原函数,( )f t( )F s一、拉普拉斯变换的概念0)(dtetfsts( )f t= )(1sF二、一些常用函数的拉普拉斯变换二、一些常用函数的拉普拉斯变换 例2 求单位阶跃函数求单位阶跃函数 的拉氏变换的拉氏变换 u t解解 0( )( )1sttt edt例1 求单位脉冲函数求单位脉冲函数 的拉氏变换的拉氏变换 t解解 011( )00sts tu tedteRe sss 1u ts例3 求函数求函数 的拉氏变换的拉氏变换 ( )k tf te.kR解解 ()001( )ktsts k tf te edtedtR

6、e sksk 1ktesk 例4 求单位斜坡函数求单位斜坡函数 的拉氏变换的拉氏变换 000ttt u ttt解解 200111( )00sts tstttedtteedtRe ssss 21( )( )ttu ts 例例5 5正弦函数正弦函数 0sin00t t t f(t) dteeejdtetf(t)Lsttjtjst 0021sin dteej)tj(s)t-(s-j 021 001121)tj(s)tj(sejsejsj 22222211121 ssjjjsjsj 是周期为当 在一个周期上连续或分段连续时,则有周期函数的拉普拉斯变换周期函数的拉普拉斯变换 这是求周期函数拉氏变换公式

7、( )f tT的周期函数,即()f tT( )(0)f tt ( )f t可以证明:若01( )1 t Tss Tf t edte ( )f t（1 1）线性性质）线性性质三三 拉氏变换的几个重要定理拉氏变换的几个重要定理（2 2）微分定理）微分定理 (s)Fb(s)Fa(t)fb(t)faL2121 0fsFstfL （3 3）积分定理）积分定理 0111-fssFsdttfL （4 4）实位移定理）实位移定理 )()(00sFetfLs （5 5）复位移定理）复位移定理 )()(AsFtfeLtA （6 6）初值定理）初值定理)(lim)(lim0sFstfst （7 7）终值定理）终值定

8、理)(lim)(lim0sFstfst （终值确实存在时）（终值确实存在时）( )12(1)( )( )(0)(0)(0)nnnnnfts F ssfsff 自动控制原理国家精品课程 浙江工业大学自动化研究所19应用拉氏变换的终值定理求应用拉氏变换的终值定理求 注意拉氏变换终值定理的适用条件：注意拉氏变换终值定理的适用条件： 事实上：事实上： ( )sY s 的极点均处在复平面的左半边。的极点均处在复平面的左半边。 ( )y 不满足终值定理的条件。不满足终值定理的条件。 四四 拉氏反变换拉氏反变换 jjstdsesFjtf )(21)(（1 1）反演公式）反演公式（2 2）查表法（分解部分分式

9、法）查表法（分解部分分式法）a)s(sa)-s(saF(s) 1a)s(sF(s) 1例例1 1 已知已知，求，求?)( tf解解. . ateaf(t) 11 assa1111 利用拉普拉斯变换表和性质求拉普拉斯逆变换利用拉普拉斯变换表和性质求拉普拉斯逆变换 一些常用函数的拉氏变换自动控制原理国家精品课程 浙江工业大学自动化研究所22典型信号的拉氏变换（典型信号的拉氏变换（2 2）2.2.用留数法分解部分分式用留数法分解部分分式一般有一般有其中：其中：)(.)()()(011011mnasasabsbsbsAsBsFnnnnmmmm 设设)()(.)(21011nnnnnpspspsasas

10、asA 0)( sAI. 当当 无重根时无重根时 niiinnpsCpsCpsCpsCF(s)12211 nitpitpntptpineCeCeCeCtf12121)().F(s)p(sCipsii limipsi(s)AB(s)C 342)(2 ssssF例例2 2 已知已知，求，求?)( tf解解. .3131221 sCsC)(s(ssF(s)2131213121lim11 )(s(ss)(sCs2113233123lim32 )(s(ss)(sCs321121 ssF(s)tteef(t)32121 3455)(22 sssssF例例3 3 已知已知，求，求?)( tf解解. .34)

11、2()34(22 sssssF(s)3)(1(21 ssstteetf(t)32121)( 0)()()(1 npspssAII. 当当 有重根时有重根时nnmmm-m-mms-pCs-pCs-pC)(s-pC)(s-pCF(s) 11111111( (设设 为为m m重根，其余为单根重根，其余为单根) )1p1111111s-pC)(s-pC)(s-pCLf(t)m-m-mm .F(s)p(sdsd)(m-C .F(s)p(sdsdjC .F(s)p(sdsdC.F(s)p(sCmmmpsmjjpsm-jmpsm-mpsm11)1(11)(1111111lim!11lim!1lim! 11l

12、im11nnmms-pCs-pC tpmm-mm.eCtCt)(mCt)(mC1!2!112211 tpnmiiieC 1)3()1(2)(2 sssssF例例5 5 已知已知，求，求?)( tf解解. .31143122 scscsc)(scF(s)(s)s(ss)(sCs3121lim2212 )(s)s(ss)(sdsdCs3121lim! 112211)(s)s(sss.Cs312lim203 31121132114311212 s.s.s.)(s.F(s)ttteetef(t)3121324321 )(s)s(sssCs312)3(lim234 2131121 )(221)3(3)2

13、()3(lim ssssssss43 32 121 常系数线性微分方程的拉普拉斯变换解法 利用拉普拉斯变换可以比较方便地求解常系数线性微分方程（或方程组）的初值问题,其基本步骤如下: （1）根据拉普拉斯变换的微分性质和线性性质,对微分方程（或方程组）两端取拉普拉斯变换,把微分方程化为象函数的代数方程; （2）从象函数的代数方程中解出象函数; （3）对象函数求拉普拉斯逆变换,求得微分方程（或方程组）的解.例例17 求微分方程23tyyye满足初始条件 00y 01y的解 解解 设 ( )y tY s对方程两边取拉氏变换,并考虑到初始条件,则得 211231s Y ssY sY ss 3112884( )113113sY sssssss解得所以 3131488ttty teee cacacacannnn01)1(1)(. 用用L变换方法解线性常微分方程变换方法解线性常微分方程0 0 初条件初条件nm:L)().(0111sCasasasannnn )(.)(01110111sRasasasabsb