用单边Z变换解差分方程ppt课件

1、8.7 用单边用单边Z变换解差分方程变换解差分方程解差分方程的方法：解差分方程的方法：1时域经典法时域经典法2卷积和解法卷积和解法3Z变换解法变换解法一复习一复习Z变换的位移特性变换的位移特性假设假设x(n)分别是双边序列、双边左移序列、分别是双边序列、双边左移序列、双边右移序列时，它们的双边和单边双边右移序列时，它们的双边和单边Z变变换是不同的：换是不同的：1双边序列的双边双边序列的双边Z变换变换(p79-p83)()()()()()()(zXzmnxZTzXzmnxZTznxzXnxZTmmnn2双边左移序列的单边双边左移序列的单边Z变换变换nnznunxzX0)()()(100100)(

2、0)()()()()()()()()(mkkmkmkkkmmkkmnmnmnnzkxzXzzkxzkxzzkxzzmnxzzmnxnumnxZT3双边右移序列的单边双边右移序列的单边Z变换变换nnznunxzX0)()()(1010)(0)()()()()()()()()(mkkmkmkkkmmkkmnmnmnnzkxzXzzkxzkxzzkxzzmnxzzmnxnumnxZT因果序列是右移序列4对于因果序列对于因果序列x(n)()()(zXznumnxZTm0)(1mkkzkx10)()()()(mkkmzkxzXznumnxZT二用单边二用单边Z变换解差分方程的变换解差分方程的步骤和思绪步

3、骤和思绪 x(n-r),y(n-k)均为右移序列均为右移序列 两边取单边两边取单边Z变换变换)()(00rnxbknyaMrrNkkMrrmmrrNkkllkkzmxzXzbzlyzYza0101)()()()(初始形状假设因果信号此项为零例：?)(2) 1()()()() 1()(nyynuanxnxnbynynbzbzbzbzazazbabzbyzXzYbyzXzYbzzXzyzYbzzY211) 1()()() 1()()(1 )()1()()(111)(2)(1)()(1111nubbabazYZTnynnn完全解里面已含有初始条件例：?)(6)2(4) 1()(10)2(02. 0)

4、 1(1 . 0)(nyyynunynyny110)1() 2()(02. 0)1()(1 . 0)(221zzzyyzzYzzyzYzzY28. 008. 0110)()02. 01 . 01 (121zzzzYzz1111 . 012 . 002. 0166. 0126. 9)(zzzzY)() 1 . 0( 2 . 0) 2 . 0(66. 026. 9 )(nunynn完全解8.8 离散系统的系统函数离散系统的系统函数一、定义：一、定义：1系统零形状呼应的系统零形状呼应的Z变换与输入的变换与输入的Z变换之比变换之比2系统单位样值呼应系统单位样值呼应h(n)的的Z变换变换NkkMrrzp

5、zzGzXzYzH1111)1 ()1 ()()()(0)()(nnznhzH1定义一：系统零形状呼应的定义一：系统零形状呼应的Z变换与输入的变换与输入的Z变换之比变换之比 假设假设x(n)是因果序列是因果序列, 那么在系统零形状那么在系统零形状下：下：)()(00rnxbknyaMrrNkkNkkkMrrrMrrrNkkkzazbzXzYzHzbzXzazY0000)()()()()(请留意这里与解差分有何不同？因果！零形状2定义二：系统单位样值呼应定义二：系统单位样值呼应h(n)的的Z变换变换 鼓励与单位样值呼应的卷积为系统零形鼓励与单位样值呼应的卷积为系统零形状呼应状呼应 由卷积定理由卷

6、积定理)(*)()(nhnxny)()()(zHzXzY)()()(zXzYzH0)()(nnznhzH二、对系统特性的影响二、对系统特性的影响 由极点分布决议系统单位样值呼应由极点分布决议系统单位样值呼应 由极点分布决议系统稳定性由极点分布决议系统稳定性 由零极点分布决议系统决议系统频率特由零极点分布决议系统决议系统频率特性性8.9)1由极点分布决议系统单位样由极点分布决议系统单位样值呼应值呼应)()()()1 ()1 ()()(10101111111nupAnApzzAAFTzpzzGFTzHFTnhnNkkkNkkkNkkMrr普通 为复数它在 平面的分布位置决议了系统 特性kpZ)(n

7、h极点分布对极点分布对h(n)的影响的影响RezImzj113p2由极点分布决议系统稳定性由极点分布决议系统稳定性 系统稳定的充要条件是单位样值呼应绝系统稳定的充要条件是单位样值呼应绝对可和。即：对可和。即： 因果稳定系统的充要条件为因果稳定系统的充要条件为 ：h(n)是单是单边的而且是有界的。即：边的而且是有界的。即：因果因果稳定稳定nnh)(nnhnunhnh)()()()(非因果也可以稳定)(nx)(nhkknxkhnhnxny)()()(*)()( Mnx)(kkkhMknxkhny)()()()(kkh)(离散系统稳定的充是要条件为离散系统稳定的充是要条件为h(n)绝对可和绝对可和0

8、0)()()(1nnnnhznhzHzfor对稳定的因果系统收敛域为：对稳定的因果系统收敛域为：1z全部极点位于单位圆内全部极点位于单位圆内对于非因果系统，收敛域并不是在圆外区域，极点不限于单对于非因果系统，收敛域并不是在圆外区域，极点不限于单位圆内。位圆内。例：知因果系统的系统函数如下：例：知因果系统的系统函数如下：试阐明该系统能否稳定？试阐明该系统能否稳定？解：解：21111)(zzzzH)() 1()(23212321jzjzzzzH12, 12321223211pjpjp临界稳定例：知系统函数如下，试阐明分别在例：知系统函数如下，试阐明分别在12两种情况下系统的稳定性：两种情况下系统的

9、稳定性： 1 2解：解：1 因果系统，右边序因果系统，右边序列列 z10105 . 0 z z10)10)(5 . 0(5 . 9)(zzzzH10105 . 05 . 0)(zzzH)()10()5 . 0()(11nunhnn1105 . 0221zzz因果系统但极点在单位圆外，不稳定发散2 非因果系统，非因果系统， 右序右序 左序左序 有界有界所以，该非因果系统，但是，是稳定所以，该非因果系统，但是，是稳定的的) 1()10()()5 . 0()(11nununhnn105 . 0 z10作业 旧版：8-214，8-233， 8-242 新版：同上8.8 离散系统的频率呼应离散系统的频率

10、呼应一、什么是离散系统的频率呼应？一、什么是离散系统的频率呼应？定义一：单位样值呼应的傅定义一：单位样值呼应的傅立叶变换立叶变换定义二：离散系统在正弦序定义二：离散系统在正弦序 列作用下的稳态呼应列作用下的稳态呼应二、系统的频率呼应的几何确定二、系统的频率呼应的几何确定定义一：序列的傅立叶变换定义一：序列的傅立叶变换序列的傅立叶变换：序列的傅立叶变换：由由S_Z的映射来看，当的映射来看，当 ，那，那么么 ，于是相当于自变量沿着，于是相当于自变量沿着z=1单位圆周变化，那么：单位圆周变化，那么：0js jTTjsTeeez1)()()()(jnnjnneXenxznxzXnnjjenxeX)()

11、(序列的傅立叶正变换0序列的傅立叶反变换序列的傅立叶反变换deeXnxedeeeXjdzzzXjnxjnjjzjjnjzn)(21)()()(21)(21)(111序列的傅立叶逆变换延续信号和离散序列的傅立叶变换的延续信号和离散序列的傅立叶变换的比较比较 延续延续 离散离散dtetxjXtj)()(dejXtxtj)(21)(nnjjenxeX)()(deeXnxnjj)(21)(定义一：系统频率呼应即系统单位样定义一：系统频率呼应即系统单位样值函数的傅立叶变换值函数的傅立叶变换 当当h(n)知时，以下表达式表示系统频率知时，以下表达式表示系统频率呼应函数，呼应函数， 是以是以 h(n) 为加

12、权系数，对各次谐为加权系数，对各次谐波进展加权或改动的情况物理意义。波进展加权或改动的情况物理意义。nnjjenheH)()()(jeH)(n)(nh)()()(*)(nhnrnhn 系统的鼓励是系统的鼓励是 时，它的频谱覆盖了时，它的频谱覆盖了 的的 范围范围 于是系统的单位样值呼应于是系统的单位样值呼应 可以看可以看成对各次的谐波的滤波的总的效果成对各次的谐波的滤波的总的效果 )(n)(nh)()(nnx)(jeX1n)(nh)(jeH)()(jjeHeY反映了系统对整个频带的滤波作用定义二：正弦序列及其作用下系统的定义二：正弦序列及其作用下系统的稳态呼应的傅立叶变换之比稳态呼应的傅立叶变

13、换之比)(sin)(1nAnx)(nh)(sin)(2nBnyss)(sin)(1nAnx)(sin)(2nBnyss12)()()()()()(12)()()(12ABeHeABeeHeHjjjjj)()()(jjjeXeYeHje由于由于 是周期的，所以是周期的，所以 也是周期的，也是周期的，其周期为反复频率其周期为反复频率 。)(jeHTs2定义二的物理意义把把 看成无数个窄带滤波器，每个滤看成无数个窄带滤波器，每个滤波器的幅频特性是波器的幅频特性是 ，且对信号有，且对信号有相移作用相移作用 。)(jeH)(jeH)()()(120s2sLPBPHPBSAP二、系统的频率呼应的几何确定二

14、、系统的频率呼应的几何确定)(1111)()()()()()(jjNkkjMrrjNkkMrreeHpezepzzzzHkrjkkjjrrjeBpeeAzeNkkMrrjBAeH11)(NkkMrr11)(系统的频率呼应的几何确定法系统的频率呼应的几何确定法RezImzj1p2pje1z2z1122NkkMrrjBAeH11)(NkkMrr11)()()()(jjeeHzH由几何法可以看出：由几何法可以看出：1z=0处的零极点对幅频特性处的零极点对幅频特性 没有没有影响，只对相位有影响影响，只对相位有影响2当当 旋转某个极点旋转某个极点 附近时，附近时，例如在同一半径上时，例如在同一半径上时，

15、 较短，那么较短，那么 在该点该当出现一个峰值，在该点该当出现一个峰值， 越短，越短， 附近越锋利。假设附近越锋利。假设 落在单位圆上，那落在单位圆上，那么么 ，那么，那么 处的峰值趋于无穷大。处的峰值趋于无穷大。3对于零点那么其作用与极点的作用正对于零点那么其作用与极点的作用正好相反。好相反。jez ipiBiB)(jeH)(jeHipip0iBip1pje低通1p1zje高通)(jeH)(jeH001p2p带通)(jeH01p2p1zjeje)(jeH0带阻1p2prrr1r11z2z)(jeH全通T2T20)(jeHjeje接近单位圆周的极点附近有尖峰例：8-34)(nx1z1z1z)c

16、os(2N1)cos(22N)(ny?)()4(?)3(?)()2(?)() 1 (jrkeHzpzHnh解)2() 1()cos(2) 1()cos()()(22nynynxnxnyNN)()cos()cos(21)cos()cos(21)cos(1)(222212221212NNjjNNNNNezezzzzzzzzzzzH)(cos)(2nunhNnNNjjNepepzz2221221)cos(01z2zRezImzj)(jeH02N2IIRDF例:(8-23)因果系统的系统函数如下,试阐明这些系统能否稳定?因果系统的极点必需在单位圆内3282)() 1 (2zzzsH解)34)(12(2

17、)(zzzsH432121pp极点在单位圆内, 系统稳定。432121ppRezjImz12121252)1 (8)()2(zzzzsH解)2)(12() 1(8)(2zzzzsH22121pp有一个极点在单位圆外，所以系统不稳定。jImz21212ppRez121111)()3(zzzsH解)231)(231()1(1)1()(2jzjzzzzzzzsH2312, 1jp有一对共轭极点在单位圆上，所以系统临界稳定。jImzRez1p2p1例：8-29求如下一阶离散系统的暂态和稳态呼应) 1()()(naynxnyjnenxnunx)()2()()() 1 (解)(1)1(111)(azzaa

18、zzazzazzzY1)() 1 ()()()1)(1zzzXazzzHzXazzY知：)(11)(1)(nuanuaaanyn暂态解稳态解jnenx)()2(jezzzX)(jjjjezeazazeaezzazzzY1)()()()()()(nueeaenuaeaanynjjjnj暂态解稳态解例：8-31知系统函数如下：kzzzH)(求：1写出对应的差分方程； 2画出系统构造图 3求系统的频率呼应，并画出k=0, 0.5 , 1 三种 情况下系统的幅度呼应和相位呼应解)() 1()(nxnkyny)(11)()()()(1zXkzzXkzzzXzHzY)(nx1z)(nyk1)(1)(0)

19、1 (jeHzHk5 . 0)(5 . 0)2(jjjeeeHk1)(1)3(jjjeeeHkHHH)()(8.10 数字滤波器的根本原理和构成数字滤波器的根本原理和构成)()()(jjjeHeXeY)(jeX)(jeH)(jX)(1)(kssjkXTeXksjskXeHGTY)()()(1)(周期频谱延续频谱非周期连续频谱周期频率特性滤波结果加矩形窗)(X)(jeX)(jeHsmmcc)(G1ksjskXeHGTY)()()(1)()(jeYmmmm数字滤波器的构成数字滤波器的构成 普通差分方程普通差分方程 系统函数系统函数)()(00rnxbknyaMrrNkkNkkkMrrrzazbzX

20、zYzH101)()()()()()(1010rnxbknyanyaMrrNkk(1)递归式数字滤波器递归式数字滤波器(IIR)(a)直接式直接式)(nx1a) 2() 1()() 2() 1()(21021nxbnxbnxbnyanyanyE1E1) 1( ny)2( ny2aE1E10b1b2b0a) 1( nx)2( nx)(nyb简化直接式简化直接式)(nx1aE1E12a0a1b2b) 2() 1()() 2() 1()(21021nxbnxbnxbnyanyany0b)(ny简化直接式的证明：简化直接式的证明：MrrrNkkkMrrrNkkkzbzWzYzHzazXzWzHzHzH

21、zbzazH02112101)()()(11)()()()()(11)()()()(1zXzHzW)()()(2zWzHzY)()()(1knwanxnwNkkMrrrnwbny0)()(1aE1E12a0a1b2b0b)(ny)(nx)(nw) 1( nw) 2( nw1a2a0a1b2b0b)(zW1)(zzW1z1z2)(zzW)(zX)(zY)(11)()()(11zXzazXzHzWkkkMrrrzbzWzWzHzY02)()()()(c)级联方式级联方式kiizHAzH10)()(22112211111111)(11)(zazazbzbzHzazbzHiiiiiiii1zia1ib11zia1ib11zia2ib2)(1zH)(2zH(d