同济六版高等数学D8-2点积叉积

1、目录 上页 下页 返回 结束 *三、向量的混合积三、向量的混合积 第二节一、两向量的数量积一、两向量的数量积二、两向量的向量积二、两向量的向量积 数量积 向量积 *混合积 第八八章 目录 上页 下页 返回 结束 1M一、两向量的数量积一、两向量的数量积沿与力夹角为的直线移动,W1. 定义定义设向量的夹角为 ,称 记作() .引例引例. 设一物体在常力 F 作用下, F位移为 s , 则力F 所做的功为sFcossFW2Mbacosba的与为baba,s目录 上页 下页 返回 结束 记作故abj rPb2. 性质性质为两个非零向量, 则有baj rPcosbbabaaj rPbaaa) 1 (2

2、aba,)2(0baba ba,0 时当a上的投影为在 ab,0,时当同理bbacosba0cos|aa0cos|ba0| ,0|ba0cosba 0ba目录 上页 下页 返回 结束 3. 运算律运算律(1) 交换律(2) 结合律),(为实数abbaba)()( ba)(ba)()(ba)(ba)(ba(3) 分配律cbcacba事实上, 当0c时, 显然成立 ;时当0cc)(ba babcj rPacj rPcbabacj rPc cbaccj rPj rPacj rP cbcj rPccacb)(j rPbac目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 证明三角形余弦定理cos2222abba

3、c证证: 如图 . 则cos222abba,aBC,bACcBAABCabcbac2c)()(babaaabbba22a2bcos2baccbbaa,设 cc2c2aaa目录 上页 下页 返回 结束 4. 数量积的坐标表示数量积的坐标表示设则, 10zzyyxxbababa当为非零向量时,cos zzyyxxbababa222zyxaaa222zyxbbb由于 bacosba,kajaiaazyx,kbjbibbzyxba)(kajaiazyx)(kbjbibzyxii jjkk jikjik baba baba, 得kkbajkbaikbakjbajjbaijbakibajibaiibazz

4、yzxzzyyyxyzxyxxxba 0zzyyxxbababa目录 上页 下页 返回 结束 )(MB, )(MA BM例例2. 已知三点, )2,1 ,2(),1 ,2,2(, )1 , 1 , 1(BAM AMB . A解解:, 1, 1 0, 1,0 1则AMBcos10022213AMB求MBMAMA MB故zzyyxxbababa222zyxaaa222zyxbbbcos目录 上页 下页 返回 结束 为 ) .求单位时间内流过该平面域的流体的质量P (流体密度例例3. 设均匀流速为的流体流过一个面积为 A 的平面域 ,与该平面域的单位垂直向量,解解:单位时间内流过的体积:AV PAA

5、的夹角为且vvncosvcosvnv nn为单位向量AvVPA|cosnv目录 上页 下页 返回 结束 二、两向量的向量积二、两向量的向量积引例引例. 设O 为杠杆L 的支点 , 有一个与杠杆夹角为OQOLPQ符合右手规则OQF| FsinOPsinOPMFOPOPM M矩是一个向量 M :的力 F 作用在杠杆的 P点上 ,则力 F 作用在杠杆上的力FoPFMFM 力矩的模=力的模力臂的长度目录 上页 下页 返回 结束 1. 定义定义定义向量方向 :()记作且符合右手规则模 : ,，的夹角为设ba,c,acbccsinabbac称c的与为向量babacba引例中的力矩FOPM思考思考: 右图三

6、角形面积abba21S目录 上页 下页 返回 结束 2. 性质性质为非零向量, 则，0sin0或即aa) 1 (0ba,)2(0baba,0,0时当baba0basinab03. 运算律运算律(2) 分配律(3) 结合律(证明略)abcba )(cbcaba )()( ba)(baba) 1 (证明证明:sinabba aa证明证明:00sin a a模相同，方向相反（右手准则）目录 上页 下页 返回 结束 )(kajaiazyx)(kbjbibzyx4. 向量积的坐标表示式向量积的坐标表示式设则,kajaiaazyx,kbjbibbzyxba)(iibaxx)(jibayx)(kibazx)

7、(ijbaxy)(kjbazy)(ikbaxz)(jkbayzibabayzzy)(jbabazxxz)(kbabaxyyx)()(jjbayy)(kkbazzijkkjiikjjik目录 上页 下页 返回 结束 向量积的行列式计算法向量积的行列式计算法kjixayazaxbybzbbaibabayzzy)(jbabazxxz)(kbabaxyyx)(kajaiaazyxkbjbibbzyx( 行列式计算见上册 P355P358 ) ibbaazyzy)11() 1(jbbaazxzx)21() 1(kbbaayxyx)31() 1(ibabayzzy)(jbabazxxz)(kbabaxyy

8、x)(ba目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 已知三点, )7,4,2(),5,4,3(, )3,2, 1(CBA角形 ABC 的面积 . 解解: 如图所示,CBASABC21kji222124)(21,4,622222)6(42114sin21AB AC21ACAB求三目录 上页 下页 返回 结束 *三、向量的混合积向量的混合积1. 定义定义 已知三向量称数量.记作 为棱作平行六面体,底面积高h故平行六面体体积为hAV coscba)(cba,cba的为cba,Abaccba,以则其cosbaccba)(cbabacbac目录 上页 下页 返回 结束 zyxzyxbbbaaaxcyczc

9、kji2. 混合积的坐标表示混合积的坐标表示设xayazaxbybzbzxzxbbaayxyxbbaacba)(ba, ),(zyxaaaa cbazyzybbaa, ),(zyxbbbb ),(zyxcccc ,zyzybbaa,zxzxbbaayxyxbbaaxcyczc目录 上页 下页 返回 结束 3. 性质性质(1) 三个非零向量共面的充要条件是0cbacba,证明：“”cbacba)(0cos ba c20cos（为ba c与的夹角）bacba所以cba,共面.“” 若cba,共面，则baccbacba)(ba c02cos目录 上页 下页 返回 结束 (2) 轮换对称性 :(可用三

10、阶行列式推出)a b cab ca bcabc目录 上页 下页 返回 结束 例例6. 已知一四面体的顶点),(kkkkzyxA,3,2, 1( k4 ) , 求该四面体体积 . 1A2A3A4A解解: 已知四面体的体积等于以向量为棱的平行六面体体积的,61故 61V6112xx 12yy 12zz 13xx 13yy 13zz 14xx 14yy 14zz ,21AA,31AA41AA413121AAAAAA目录 上页 下页 返回 结束 例例7. 已知 A (1,2,0)、B (2,3,1)、C (4,2,2)、),(zyxM四点共面, 求点 M 的坐标 x、y、z 所满足的方程.解解: A、

11、B、 C、M 四点共面0ABCM1x2y0z111302展开行列式即得点 M 的坐标所满足的方程AM、AB、AC 三向量共面ACABAM0432zyx0即目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结设1. 向量运算加减:数乘:点积:),(zzyyxxbabababa),(zyxaaaazzyyxxbabababa),(, ),(, ),(zyxzyxzyxccccbbbbaaaa叉积:kjixayazaxbybzbba目录 上页 下页 返回 结束 混合积:2. 向量关系:xxabyyabzzab0zzyyxxbabababa/ba 0bazyxzyxzyxcccbbbaaacba)(cba共

12、面cba,0zyxzyxzyxcccbbbaaa0)(cba0ba目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1. 设计算并求夹角 的正弦与余弦 .)3, 1, 1 (,321cos1211sin答案答案:2. 用向量方法证明正弦定理:CcBbAasinsinsinba,1baba,2jibkjia,baba及BabcAC目录 上页 下页 返回 结束 证证: 由三角形面积公式AcbsinBacsinBbAasinsin所以CcsinCbasin因ABACSABC21BCBA21CACB21ABACBCBACACBBabcAC目录 上页 下页 返回 结束 22343cos322)2(173. 已知向量的夹角且解：解：,43ba ,. |ba 求, 2|a, 3|b2ba)()(babaaaba2bb22cos2bbaa17ba目录 上页 下页 返回 结束 22200)2(211ABCD在顶点为三角形中, , ) 2