一元二次方程 (3)

1、一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式授课教师：卓金光2005.9一复习提问：1、一元二次方程的标准式是什么？2、一元二次方程的求根公式是什么？想一想：b-4ac的符号与ax+bx+c=0 （ a0 ）会有关系吗？做一做：用求根公式法解下列方程（1）x -x-2=0 （2）x -6x+9=0 （3）x -x+1=0看一看：上列三个方程的根与b -4ac的符号有关系吗？222ax+bx+c=0（ a0 ）x1=2,x2=-1x1=x2=3aacbbx2421 aacbbx2421 猜一猜：对于一般式ax+bx+c=0 （a0）的根与b-4ac的符号有会么关系？aacbbx242故对于方程a

2、x+bx+c=0 （a0）有下列关系：因为ax+bx+c=0 （a0）的求根公式是 aacbbx2421 aacbbx2422ab2(1)当b -4ac0时，方程有两个不相等的根(2)当b-4ac=0时，方程有两个相等的根x = x = (3)当b - 4ac0时，方程没有实数根.一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式反过来若方程ax+bx+c=0 （a 0）有两个有两个不等的实数根时， b-4ac0；有两个相等的实数根时实数根时， b-4ac=0；没有实数根时， b-4ac0。 由此可见b-4ac的值决定一元二次方程的根值决定一元二次方程的根的情况，所以把它叫一元二次方程ax+bx+c

3、=0 （a 0）的的根的判别式。记作根的判别式。记作“”读读作“delta”二、例1，不解下列方程判别下列方程的根的情况0743) 1 (2 xx（1）解：a =3，b =-4，c =7， b-4ac =16-437 0 所以原方程没有实数根（2）解：）解：a = ，b=1，c=1 b-4ac =1411=0，所以原方程有两个相等的实数所以原方程有两个相等的实数根根（3）解：a=2， b= ， c=-1 b-4ac =6-42（-1） =140，所以原方程有两个不相等的根0141)2(2 xx0162)3(2xx641做练习：不解方程试判断下列方程的根的情况（1）3x -7x+2=0 （2）9

4、x +6x+1=0（3）2x -（2+ ）x +3+ =0例2：关于x的方程2x +mx-2=2x-m，当m为何值时方程有两个相等的根？并求出它的根2解；原方程可以整理成；2x +（m-2）x+m-2=0 a = 2, b = m-2, c = -2+m ， b-4ac =（m-2） - 42（-2+m）= m-12m+20 据题意有m -12m+20=0 m =2或 m =10 当m=2时， x1=x2 =0；当m=10时，x1=x2 =-22有两个不相等的实数根有两个相等的实数根没有实数根练习：当K为何值时方程（k-2）x +2kx-1=0有两个相等的实数根，并求出方程的根。 例3：当K为

5、何值时，方程kx +（2k+1）x+k=0（k0）（1）有两个不相等的根（2）有两个相等的根（3）没有实数根41解：b -4ac=（2k+1） -4kk=4k+1，而方程有两个不相等的根4k+10，即k-若有两个相等根 4k+1= 0 即k = -若没有实数根则4k+10即k -4141K=1或k=-2;x=1或x=-21例4：求证：（1）关于x的方程x +kx+k +1 =0没有实数根（2）关于x的方程（x+a)(x-a)-x=2(x-1)总有两个不相等的根。（1）证明：=b -4ac=k -4（k +1）= -3k -4 无论k为何实数k 00 故原方程没有实数根。（2）证明：整理原方程得

6、 x -3x+2 -a =0=9-4（2-a ）=1+4a 无论a为何值a 0 0,故原方程有两个不相等的根课堂练习;1、对于方程4(m+1)x +2(2m-1)x=1-m (m-1）（1）方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围（2）方程有两个相等的实数根，求m的取值范围（3）方程没有实数根，求m的取值范围2、已知a+c0，a +b =c 求证（a+c）x +2bx+c-a=0总有相等的实数根4521(1)m4545一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式小结：方程ax +bx+c=0 （a0）1、=b -4ac叫一元二次方程根的判别式当0时方程有两个不相等的实数根当=0时方程有两个相等的实数根0时方程无实数根2、能灵活运用讨论方程根的情况或知道根的情况，能正确运用具备的条件解出待定系数的值。3、能正确运