第14章线性动态电路的复频率

1、l重点重点 (1) (1) 掌握用拉普拉斯变换分析线性电掌握用拉普拉斯变换分析线性电 路的方法和步骤路的方法和步骤 (2) (2) 网络函数的概念网络函数的概念(3) (3) 网络函数的极点和零点网络函数的极点和零点第第1414章章 线性动态电路的线性动态电路的 复频域分析复频域分析 拉氏变换法是一种数学积分变换，其核心是拉氏变换法是一种数学积分变换，其核心是把时间函数把时间函数f(t)与复变函数与复变函数F(s)联系起来，把时域联系起来，把时域问题通过数学变换为复频域问题，把问题通过数学变换为复频域问题，把时域的高阶时域的高阶微分方程微分方程变换为变换为频域的代数方程频域的代数方程以便求解。

2、以便求解。应用应用拉氏变换进行电路分析称为电路的复频域分析法，拉氏变换进行电路分析称为电路的复频域分析法，又称运算法。又称运算法。14.1 拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换的定义1. 拉氏变换法拉氏变换法2. 拉氏变换的定义拉氏变换的定义定义定义 0 , )区间函数区间函数 f(t)的拉普拉斯变换式：的拉普拉斯变换式： d)(j21)( d)()(0sesFtftetfsFstjcjcst正变换正变换反变换反变换s 复频率复频率F(s)称为称为f(t)的象函数，的象函数，f(t)称为称为F(s)的原函数。的原函数。拉氏变换把一个拉氏变换把一个时间域时间域的函数的函数f(t)变换到变换到s域域的复

3、的复变函数变函数F(s) 。js) s (L)( )(L) s ( FtftfF-1，简写3.3.典型函数的拉氏变换典型函数的拉氏变换 (1)单位阶跃函数的象函数单位阶跃函数的象函数 d)()(0tetfsFst)()(ttftettsFstd)()(L)(001stess10dtest(3)指数函数的象函数指数函数的象函数01)(taseasas1(2)单位冲激函数的象函数单位冲激函数的象函数00d)(tetst)()(ttftettsFstd )()(L)(010seatetf)( teeesFstatatdL)(014.2 14.2 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质1.1.线

4、性性质线性性质tetfAtfAstd )()(02211tetfAtetfAststd)(d)(022011)()(2211sFAsFA)()(2211sFAsFA)( )(L , )( )(L 2211sFtfsFtf若)(L)( L)()( L 22112211tfAtfAtfAtfA则)()( L 2211tfAtfA证证的象函数求)1 ()( : ateKtfj1j1j21ss22s例例1解解 asKsK-atKeKsFL L)(-例例2的象函数求) sin()( : ttf解解)(sinL)(tsF)(j21L tjtjee 根据拉氏变换的线性性质，求函数与常数根据拉氏变换的线性性质

5、，求函数与常数相乘及几个函数相加减的象函数时，可以先求各相乘及几个函数相加减的象函数时，可以先求各函数的象函数再进行相乘及加减计算。函数的象函数再进行相乘及加减计算。结论 )(assKa2. 2. 微分性质微分性质0)d)(0)(tsetftfestst)()0(ssFf)0()(sd)(dL fsFttf则：)()( L sFtf若：00)(ddd)(dtfetettfststttfd)(dL 证证uvuvvudd 利用0122ss22ss的象函数) (cos)( 1)( ttf例例解解)(cosd)dsin(ttt利用导数性质求下列函数的象函数利用导数性质求下列函数的象函数tttd)d(s

6、in1)(cos1 dLcosL(sin)dttt 的象函数) ()( 2)( ttf解解tttd)(d)(s1)(Lt101ssd)(dL)(Lttt3.3.积分性质积分性质) s ()(L Ftf若：) s (s1d)(L 0Fft则：证证应用分部积分法，有应用分部积分法，有000( )d( )dedttstfft L L000ee( )d( )d tststff ttss 000e1( )d( )ed tststff ttss 0只要只要s s的实部的实部取足够大取足够大1(s)sF ( )f tt 由于由于0( )( )dtf tt 201 11( )dtts ssLLLL求求 的象函

7、数的象函数例例解解4.4.延迟性质延迟性质tettfsttd)(00)(0sFest)()(L sFtf若：)()()( L 000sFettttfst则：tettttfttttfstd)()()()(L00000d)(0)(0tsef0 tt令延迟因子 0ste证证d)(00sstefe例例1求矩形脉冲的象函数求矩形脉冲的象函数解解根据延迟性质根据延迟性质1tf(t)o( )( )()f ttt 1( ) ts L L 1()stes L L 11( )( )()sf tttess L LL L1(1)ses 5.5.拉氏变换的卷积定理拉氏变换的卷积定理)()(L )()(L 2211sFt

8、fsFtf若：)()( d )()(L)()(L 21t02121sFsFftftftf则：证证tftfetftfstdd )()()()(Lt0210211()0ttt 因为因为故故121200()( )() ()( )tf tfdf ttfd tx 令xeefxxfsxsdd )()()(0021 0201d )(d)()(ssxefxexxf)()( 21sFsFtfttfestdd )()()(0210()sts xee 14.3 14.3 拉普拉斯反变换的部分分式展开拉普拉斯反变换的部分分式展开 用拉氏变换求解线性电路的时域响应时，需要把用拉氏变换求解线性电路的时域响应时，需要把求得

9、的响应的拉氏变换式反变换为时间函数。求得的响应的拉氏变换式反变换为时间函数。由象函数求原函数的方法：由象函数求原函数的方法：(1)利用公式利用公式seFtfstjjd)s (j21)(cc(2)对简单形式的对简单形式的F(s)可以可以查拉氏变换表得原函数查拉氏变换表得原函数(3)把把F(s)分解为简单项的组合分解为简单项的组合)()()()(21sFsFsFsFn )()()()(21tftftftfn 部分分式部分分式展开法展开法 分解分解F(s)时，若时，若F(s)不是真分式，则需将其化为真不是真分式，则需将其化为真分式。若分式。若n m ，则化为真分式；若，则化为真分式；若n = m ，

10、则，则0( )( )( )NsF sAD s式中，第一项式中，第一项A是个常数，第二项是真分式。是个常数，第二项是真分式。)( )()()(110110mnbsbsbasasasDsNsFnnnmmm 象函数的一般形式象函数的一般形式利用部分分式可将利用部分分式可将F(s)分解为：分解为：nppns 10)(D (1)个单根分别为有若nnpsKpsKpsKsF 2211)(待定常数待定常数用部分分式展开真分式时，需要对分母多项式作因式用部分分式展开真分式时，需要对分母多项式作因式分解，这需要先求出分解，这需要先求出D(s)=0的根。其根有的根。其根有单根单根、共轭共轭复根复根和和重根重根几种情

11、况。几种情况。 两边同乘以两边同乘以(sp1) ，得，得21112() ( )()nnKKsp F sKspspsp 令令s = p1，得，得111() ( )s pKsp F s 同理求得同理求得222() ( )() ( )nnns ps pKsp F sKsp F s 故，计算待定系数得公式为故，计算待定系数得公式为() ( )1,2,iiis pKsp F sin 用求极限的方法确定用求极限的方法确定Ki的值，即的值，即()( )()( )( )()limlim( )( )()iiiiiispspisp N ssp N sN sN pKD sD sD p 111()( )( )ee1,

12、2,()nniiiiiiiptptN pf tF sKinD pL L解解【例】求【例】求 的原函数的原函数 f(t) 。324848( )1448(6)(8)ssF sssss ss31268KKKsssD(s) = 0的根的根为为123068ppp，求出各待定系数为求出各待定系数为10048( )168sssKsF sss388488( )2.56sssKsF ss s266486( )3.58sssKsF ss s 3248( )1448sF ssss 或根据或根据求出各待定系数为求出各待定系数为( )1,2,( )iis pN sKinD s1200( )481( )32848ssN

13、ssKD sss2266( )483.5( )32848ssN ssKD sss3288( )482.5( )32848ssN ssKD sss则有则有13.52.5( )68F ssss查表可得出查表可得出168( )( )1 3.5e2.5ettf tF s L L322121( )710(2)(5)ssF sssss ssD(s) = 0的根为的根为123025ppp ，求出各待定系数为求出各待定系数为【例】【例】求求 的原函数的原函数 f(t) 。3221( )710sF ssss 解解2( )31410D sss1120( )210.1( )31410sspN ssKD sss 20

14、.5K 30.6K 25( )0.10.50.6ttf tee 所以所以jpjp21具有共轭复根若 0)( )2(sDK1、K2也是一对共轭复数也是一对共轭复数注意其待定系数为其待定系数为 1jj( )(j )( )( )ssN sKsF sD s 2jj( )(j ) ( )( )ssN sKsF sD s j2j1e e-KKKK设：121111jj11111(j)(j)jj(j)(j)()()( )eeeeeeeee2ecos()ttttttttf tKKKKKKt )( 523)( 2tfssssF的原函数求2 j121,p例例解解的根： 0522 ss1j41 j21( )30.5j

15、0.50.5 2e( )22sspN ssKD ss 1421|0.5 2jjKKee 有有1( )2ecos(2)2ecos(2)44ttf tKtt 可按前述方法确定单根的待定系数可按前述方法确定单根的待定系数K2、。为了确定为了确定K11、K12 、 K13 ，在上式两边同乘以，在上式两边同乘以 (s-p1)3 ，得，得321113()( )()spF sspK 321121112()()Ksp KKspsp 此时应含此时应含 (s-p1)n 的因式。设的因式。设 D(s) 中含有中含有 (s-p1)3 因式，因式，p1为为D(s)0 的三重根，其余为单根，则的三重根，其余为单根，则则则

16、31111()( )s pKspF s 具有重根若 0)( ) 3(sD1312112231112( )()()KKKKF sspspspsp 33211131212dd()( )2()()ddKspF ssp KKspsssp 则则31211d()( )ds pKspF ss 同理同理再对上式两边求导，得再对上式两边求导，得2313121d()d2)1(s pKspF ss 可推论得出第可推论得出第q阶阶重根的待定系数计算公式重根的待定系数计算公式 11111d()( )d11qqqqs pKspF ssq ！1312112221232( )1(1)(1)KKKKKF ssssss 求待定系

17、数求待定系数3112111(1)( )1ssKsF ss 31223111dd12(1)( )2ddsssKsF sss ss 例例 求求 的原函数的原函数 f(t) 。321( )(1)F sss 解解令令D(s)=(s+1)3s2=0，有，有p1=-1为三重根，为三重根， p2=0为为二重根，所以二重根，所以2231322241111 d1 d11 6(1)( )32 d2 d2sssKsF sss ss 2213001( )1(1)ssKs F ss 222300dd1( )3dd(1)ssKs F ssss 所以所以23232131( )1(1)(1)F ssssss 21( )3e2

18、 ee32tttf tttt 原函数原函数 n =m 时将时将F(s)化成真分式和多项式之和化成真分式和多项式之和 nnpKpKpKAF sss) s (2211由由F(s)求求f(t)的步骤：的步骤： 求真分式分母的根，求真分式分母的根，将真分式展开成部分分式将真分式展开成部分分式 求各部分分式的系数求各部分分式的系数 对每个部分分式和多项式逐项求拉氏反变换对每个部分分式和多项式逐项求拉氏反变换) s () s () s (0DNAF小结nppns 10)(D (1)个单根分别为有若nnpsKpsKpsKsF 2211)() ( )1,2,iiis pKsp F sin ()()iiiN p

19、KD p 具有共轭复根若 0)( )2(sDj2j1e e-KKKK设：11( )2ecos()tf tKt jpjp21则则31111()( )s pKspF s 具有重根若 0)( ) 3(sD1312112231112( )()()KKKKF sspspspsp 31211d()( )ds pKspF ss 2313121d()d2)1(s pKspF ss 【例】【例】求求23( )(1)(25)sF ssss解解( )0D s 共有三个根，共有三个根， 为共轭复根，为共轭复根，121j21j2pp ，31p 。F(s)可分解为可分解为312( )1j21j21KKKF ssss 求出

20、待定系数为求出待定系数为1j1351 j21 j23(1 j2) ( )0.25 2e(1)(1j2)sssKsF sss 2j1351 j21 j23(1j2) ( )0.25 2e(1)(1j2)sssKsF sss 32113(1) ( )0.5(25)sssKsF sss的原函数 f(t) 。j135j1350.25 2e0.25 2e0.5( )1j21j21F ssss ( )2 0.25 2ecos(2135 )0.5ettf tt 原函数为原函数为14.4 14.4 运算电路运算电路基尔霍夫定律的时域表示：基尔霍夫定律的时域表示： 0)(ti 0)(tu1.1.基尔霍夫定律的运

21、算形式基尔霍夫定律的运算形式 0)(sI0) s (U根据拉氏变换的线性性质得根据拉氏变换的线性性质得KCL、KVL的运算形式的运算形式对任一结点对任一结点对任一回路对任一回路u=Ri)()(sGUsI)()(sRIsUGsYRsZ)()(2.2.电路元件的运算形式电路元件的运算形式 电阻电阻R的运算形式的运算形式取拉氏变换取拉氏变换电阻的运算电路电阻的运算电路uR(t)i(t)R+-时域形式：时域形式：R+-)(sU)(sItiLudd)0()()0()()(LissLIissILsUsisLsUsI)0()()(sLsYsLsZ1)()( 电感电感L的运算形式的运算形式取拉氏变换取拉氏变换

22、,由微分性质得由微分性质得L的的运算运算电路电路i(t)+ u(t) -L+ -sL)0(LiU(s)I(s)+-时域形式：时域形式：1/sL+ U(s)I(s )si)0( -运算阻抗、导纳运算阻抗、导纳d )( 1)0(0tiCuususIsCsU)0()(1)()0()()(CussCUsIsCsYsCsZ)(1)( 电容电容C的运算形式的运算形式C的的运算运算电路电路i(t)+ u(t) -C时域形式：时域形式：取拉氏变换取拉氏变换,由积分性质得由积分性质得+ -1/sCsu)0(U(s)I(s)-+sCCu(0-)+ U(s)I(s ) -运算阻抗、导纳运算阻抗、导纳tiMtiLut

23、iMtiLudddddddd12222111)0()()0()()()0()()0()()(11222222211111MissMIiLsIsLsUMissMIiLsIsLsU 耦合电感的运算形式耦合电感的运算形式i1*L1L2+_u1+_u2i2M时域形式：时域形式：取拉氏变换取拉氏变换,由微分性质得由微分性质得sMsYsMsZMM1)()(互感运算阻抗、导纳互感运算阻抗、导纳耦合电感耦合电感的运算电路的运算电路)0()()0()()()0()()0()()(11222222211111MissMIiLsIsLsUMissMIiLsIsLsU+-+sL2+sM+ +)(2sUsL1)(2sI

24、)0(22iL)0(1Mi)(1sI)(1sU-)0(11iL)0(2Mi- +3. 3. RLC串联电路的运算形式串联电路的运算形式u (t)RC-+iL时域电路时域电路 拉氏变换拉氏变换运算电路运算电路( )( )( )(0 )(0 )1( )U sRI ssLI sLiuI ssCs +-U (s)R1/sC-+sLI (s)+-Li(0-)suc)0(tctiCtiLiRu0d1dd14.5 14.5 应用拉普拉斯变换法应用拉普拉斯变换法 分析线性电路分析线性电路 由换路前的电路计算由换路前的电路计算uc(0-) , iL(0-) ； 画运算电路模型，注意画运算电路模型，注意运算阻抗运

25、算阻抗的表示和的表示和附附加电源加电源的作用；的作用； 应用前面各章介绍的各种计算方法求象函数；应用前面各章介绍的各种计算方法求象函数； 反变换求原函数。反变换求原函数。1. 1. 运算法的计算步骤运算法的计算步骤例例14-90)0( Li(2) 画运算电路画运算电路sL1ss11s11sCV1)0(cu解解(1) 计算初值计算初值 电路原处于稳态，电路原处于稳态，t =0 时开关闭合，试用时开关闭合，试用运算法求电流运算法求电流 i(t)。1V1H11Fi+-11/ss11/sI(s)+-1+-uC(0-)/s(3) 应用回路电流法应用回路电流法1/ss11/sI(s)+-1+-uC(0-)

26、/s)(1sI)(2sI0)0(1) s (1)()11 (C21susIssIssssuIsIs1)0() s ()11 () s (1C21-2)2(1)()(21ssssIsI) j1s (j1)(321KsKsKsI(4)反变换求原函数反变换求原函数j1j10 :30)(D321ppps，个根有21) s (01ssIKj)2(11) j1)(j12sssIK34124je 343124jKe 1113L( )( )+2ecos() t0224tI si tt 例例14-10RC+ucis解解画运算电路画运算电路1/sC+Uc(s)( )sI sR)(CsI图示电路为图示电路为RC并联

27、电路，激励为电流源并联电路，激励为电流源is(t)，若：若：求电路响应求电路响应u(t)。(1)( )( )(2)( )( )ssitt Aitt A 1(1) ( )( )( )ssitt AI ss ，111( )( )( )111()sRRRsCU sZ s I sssRsC sssCRCRC 11( )( )(1) ( )tRCu tU sRet V L L1/sC+Uc(s)( )sI sR)(CsI(2) ( )( )( )1ssitt AI s ，1( )( )( )1sRsCU sZ s IsRsC 111( )( )( )tRCu tU set VC L L【例】【例】图示电

28、路中图示电路中uC(0-) = 5V ，求，求uC(t) 。解解1010e ( )2( )20.51CtttCus，0L LL L对图对图b b 121101110.5210CssUsRRR代入已知条件代入已知条件 122535(1)(2)(1)(2)CKKsUsssss 122535(1)(2)(1)(2)CKKsUsssss式中式中1112535(1)( )10(2)CsssKsUss2222535(2)( )15(1)CsssKsUss所以所以 1015(1)(2)CUsss查表得查表得 1210e15e( )VCCttutUstL L例例14-11us1Li+-us2+-R1R2 图示

29、所示图示所示电路中，电路原处于稳态，电路中，电路原处于稳态，t=0 时将开时将开关闭合，求换路后的关闭合，求换路后的uL(t)，已知，已知us1=2e-2tV, us2=5(t)V, R1=R2=5,L=1H。 解解画运算电路画运算电路2/(s+2)sL+-5/s+-R1R2-+Li(0_)(0)(1)21222tsues L LL L 255 ( )suts LLLL22(0 )1sLuiAR 电感电流的初始值电感电流的初始值根据结点法求解根据结点法求解121225111(0 )2()( )LLLissUsRRsLRRsL 21211()( )55(2)LUsssss 2( )(2)(25)

30、LsUsss 122.5( )( )( 45)0LLttutUseeVt L L代人数据得代人数据得2/(s+2)sL+-5/s+-R1R2-+Li(0_)(0)(1)i1*L1L2+_usi2MR2R1I1(s)*sL1sL2+_1/sI2(s)sMR2R1例例14-12 图示所示图示所示电路中，已知电路中，已知R1=R2=1,L1=L2=1H, M=0.05H, 激励为直流电压激励为直流电压Us=1V，t=0 时将开关闭合，时将开关闭合，求换路后的求换路后的i1(t)和和i2(t)。 解解画运算电路画运算电路列出回路电流方程列出回路电流方程11121() ( )( )RsL I ssMIs

31、s 1222( )()( )0sMI sRsL Is 1220.11( )(0.75 100.21)sI ssss 2220.05( )0.75 100.21sIsss 6.67201( )(10.50.5)0tti teeAt 6.67202( )0.5()0tti teeAt121(10.1 )( )0.05( )s I ssIss 120.05( )(10.1 )( )0sI ss Is 代入数据代入数据解得解得t = 0时打开开关时打开开关 , ,求电感电流和电压。求电感电流和电压。0)0(A5)0(21ii例例14-13解解计算初值计算初值+-i10.3H0.1H10V23i2画运算

32、电路画运算电路10/s0.3s1.5V 0.1sI1(s)+-+-23s.ssI4055110)(1ss.s.)405(51105 .1275. 12sssss)5 .12(75. 32510/s0.3s1.5V 0.1sI1(s)+-+-2312.512(21.75)tieAi 0t 原来原来L1中电流中电流5A，L2中没有电流。开关打开后，在中没有电流。开关打开后，在t0时刻都被强制为时刻都被强制为3.75A。5 . 1) s (s3 . 0)(11IsUL375. 05 .1256. 6sUL1(s)(1 . 0)(2ssIsUL5 .1219. 2375. 0s10/s0.3s1.5V

33、 0.1sI1(s)+-+-2312.51(t) 0.375 ( )6.56( )tLutet V 12.52( ) 0.375 ( )2.19( )tLuttet V 12.52( ) 0.375 ( )2.19( )tLuttet V 12.51(t) 0.375 ( )6.56( )tLutet V 3.75ti152012.512(t)( )8.75( )tLLuutet V 电感电感L1和和L2的电压中将有冲激函的电压中将有冲激函数出现，但数出现，但uL1+uL2中并无冲激中并无冲激函数出现，因为函数出现，因为L1和和L2中的冲激中的冲激电压大小相同而方向相反。电压大小相同而方向相反

34、。12.512(21.75)tieAi us(t)1F11F+-1+-uC(t)+2uC(t)-Us(s)1/s11/s+-1+-UC(s)+2UC(s)-I1(s)I2(s) 如图所示电路为含有受控源的零状态电路如图所示电路为含有受控源的零状态电路 , ,试试求电容电压求电容电压uC(t)。已知激励为。已知激励为us(t)=20sint(t)V。例例14-14解解画运算电路画运算电路列电路的列电路的KVL方程方程1211(11)( )(1)( )( )sI sIsUsss1211(1)( )(11)( )2( )CI sIsssUs 121( )( )( )CUsI sIss 21( )(

35、)1CsUsUsss 220( )1sUss 222222222201( )20()(1)(1)111312220113313()()()()2222CssUssssssssssss 12313( )20cos()sin()20cos ( )223tCutetttt V 解得解得而而求反变换求反变换14.6 14.6 网络函数的定义网络函数的定义1. 网络函数网络函数H（s）的定义）的定义 线性时不变网络在单一电源激励下，其线性时不变网络在单一电源激励下，其零状零状态响应态响应的象函数与的象函数与激励激励的象函数之比定义为该电的象函数之比定义为该电路的网络函数路的网络函数H(s)。)()( L

36、 )(L L L )(defsEsRtetrsH）激励函数零状态响应 由于激励由于激励E(s)可以是电压源或电流源，响应可以是电压源或电流源，响应R(s)可以是电压或电流，故可以是电压或电流，故 s 域网络函数可以是驱域网络函数可以是驱动点阻抗（导纳），转移阻抗（导纳），电压动点阻抗（导纳），转移阻抗（导纳），电压转移函数或电流转移函数。转移函数或电流转移函数。注意 若若E(s)=1，响应响应R(s)=H(s)，即即网络函数是该响网络函数是该响应的象函数。网络函数的原函数是电路的冲激应的象函数。网络函数的原函数是电路的冲激响应响应 h(t)。 1( )( )h tH s L L例例14-15解

37、解画运算电路画运算电路电路激励为电路激励为)()(Stti)(tuC，求冲激响应，求冲激响应sC+Uc(s)(sIsGRCsCGsCsZsUsEsRsHC1111)(1)()()()(1 11111()() L () Le()1tR CCht u tHstCCsR C1 111 11() () L() Le ()1tR CCht utH stCCsR C G=1/RC+ucis例例14-16解解画运算电路画运算电路u1(t)L1Ri1(t)+-L3C2i2(t)u2(t)+-U1(s)sL1RI1(s)+-sL31/sC2I2(s)U2(s)+-I1(s)I2(s) 如图所示电路为一低通滤波电路，激励是电压源如图所示电路为一低通滤波电路，激