[数学]高一数学必修四课件311两角差的余弦公式

1、在现实生活中，经常会遇到的一些测在现实生活中，经常会遇到的一些测量长度、高度等问题，比方图片中的信号量长度、高度等问题，比方图片中的信号台的高度，都用到什么量呢？台的高度，都用到什么量呢？小山高小山高BC约为约为30米米,在地平在地平面上有一点面上有一点A,测得测得A、C两点间距两点间距离约为离约为67米米,从从A观测电视发射塔观测电视发射塔的视角的视角(CAD)约为约为45。求这。求这座电视发射塔的高度。座电视发射塔的高度。ABCD306745如下图，某城市的电视发射如下图，某城市的电视发射塔建在市郊的一座小山上。塔建在市郊的一座小山上。请同学们思考请同学们思考: : 借助单位圆，运用向量的

2、方法推导借助单位圆，运用向量的方法推导两角差的余弦公式；两角差的余弦公式； 能够使用两角差的余弦公式求特殊能够使用两角差的余弦公式求特殊角和差角的余弦值；角和差角的余弦值；掌握用向量方法建立两角差的余弦公掌握用向量方法建立两角差的余弦公式通过简单运用，使学生初步理解公式式通过简单运用，使学生初步理解公式的结构及其功能，为建立其它和差公的结构及其功能，为建立其它和差公式打好根底。式打好根底。让学生感受数学知识的相互联系，让学生感受数学知识的相互联系，培养逻辑推理的思维能力，树立创新意培养逻辑推理的思维能力，树立创新意识和应用意识，提高数学素质。识和应用意识，提高数学素质。探索过程的组织和适当引导

3、。这里不仅有探索过程的组织和适当引导。这里不仅有学习积极性的问题，还有探索过程必用的根底学习积极性的问题，还有探索过程必用的根底知识是否已经具备的问题，运用已学知识和方知识是否已经具备的问题，运用已学知识和方法的能力问题，等等。法的能力问题，等等。通过探索得到两角差的余弦公式；通过探索得到两角差的余弦公式； 从实例引入课题，目的在于从中提出问题，引入从实例引入课题，目的在于从中提出问题，引入本章的研究课题。本章的研究课题。 1、实际问题中存在研究像、实际问题中存在研究像tan45+这样包这样包含两个角的三角函数的需要；含两个角的三角函数的需要； 2、实际问题中存在研究像、实际问题中存在研究像s

4、in与与tan45+这样的包含两角和的三角函数与单角这样的包含两角和的三角函数与单角，45的三角的三角函数的关系的需要；函数的关系的需要； 在此根底上，再一般化而提出本节的研究课题。在此根底上，再一般化而提出本节的研究课题。cos? 由此能否得到由此能否得到 大家可以大家可以猜想，是不是等于猜想，是不是等于 呢呢?根据在第根据在第2cos4523cos 302cos15cos 4530?cos45cos30在初中已经学过在初中已经学过 ，一章所学的知识可知这种猜测是错误的！一章所学的知识可知这种猜测是错误的！下面就一起探讨两角差的余弦公式下面就一起探讨两角差的余弦公式- 如图，设如图，设 ，

5、为锐角，且为锐角，且 ，角角 的终边与单位圆的交点为的终边与单位圆的交点为P P1 1,P,P1 1OPOP ，那么，那么cos(cos( ) )表示哪条线段长？表示哪条线段长？MPP1Oxycos(cos() )= =OM用三角函数线方法探究两角差的余弦公式用三角函数线方法探究两角差的余弦公式 如何用线段分别表示如何用线段分别表示sin和和cos？PP1OxyA Asinsincoscos1PAOPOAcosPAsinOAcoscoscos ，它表示哪条线段长？，它表示哪条线段长？PAsin sinsin ，它表示哪条线段长？，它表示哪条线段长？PP1OxyA AsinsincoscosB

6、BC CcoscosOBsinsinCPABx轴轴PC AB利用利用OMOBBMOBCP可得可得什么结论？什么结论？sinsincoscosPP1OxyA AB BC CM Mcos()coscossinsin-111-1 - - BAyxoOA = cos,sinOB = cos,sin OAOB= OA OB cos( -)= cos( -) OA OB=coscos+sinsin cos(-)=coscos+sinsin用向量方法探究两角差的余弦公式用向量方法探究两角差的余弦公式 思考：此公式对任意角都成立吗？思考：此公式对任意角都成立吗？于是，对于任意角于是，对于任意角、都有：都有：c

7、oscoscossinsin（） 22 - 0OAOB = cos2 - = cos = cos - ， ） ，（ ，（）（）若若则则且且0OAOB = cos = cos -， ），（）若若则则。当当 - - 是是任任意意角角时时，由由诱诱导导公公式式一一，总总可可以以找找到到一一个个角角 0 0，2 2 ），使使c co os s = =c co os s（ - - ）探究：两角差的余弦公式的变通探究：两角差的余弦公式的变通 思考思考1 1：假设：假设和和的三角函数值，的三角函数值，如何求如何求coscos的值？的值？ cos cos cos(cos( ) ) cos(cos( )cos)

8、cos sin(sin( )sin)sin . . 思考思考2 2：利用利用 ( ( ) ) 可得可得coscos 等于什么？等于什么？coscos cos(cos( ) ) cos(cos( )cos)cos sin(sin( )sin)sin . .思考思考3 3：假设：假设coscoscoscosa a，sinsinsinsinb b，那么，那么cos(cos()等于什么？等于什么？思考思考4 4：假设：假设coscoscoscosa a，sinsinsinsinb b，那么，那么cos(cos()等于什么？等于什么？22ab2cos()2 222abcos()2 分析：分析：例例1是指

9、定方法求是指定方法求cos15的值，的值，这样可以使学生把注意力集中到使用公式求这样可以使学生把注意力集中到使用公式求值上。本例说明差角余弦公式也适用于形式值上。本例说明差角余弦公式也适用于形式上不是差角，但可以拆分成两角差的情形。上不是差角，但可以拆分成两角差的情形。例例1 1利用差角余弦公式求利用差角余弦公式求cos15的值。的值。解解:2321=+22226 +2=4ooocos15 =cos 45 -30 cos15=cos4530)= cos45 cos30 +sin45 sin30 方法一方法一解解:1232=+22226 +2=4ooocos15 =cos 60 -45 cos1

10、5=cos6045)= cos60 cos45 +sin60 sin45 方法二方法二 3cos = -,52 求求 的值。的值。cos- 4解解:23cos =-,524sin =1-cos =5cos(-) = coscos +sinsin4442324=-+25252=1 0例例2： 例也是运用差角公式的根底题。安排这例也是运用差角公式的根底题。安排这个例题的主要目的是为了训练学生思维的有序个例题的主要目的是为了训练学生思维的有序性，逐步培养他们良好的思维习惯。性，逐步培养他们良好的思维习惯。35sin =, ,cos = -,52133, ,cos( + )2。已已知知求求的的值值例例

11、3:解：解：34sin =, ,cos = -5255312cos = -, ,sin = -132134531 2= (-)(-) - ()(-)51 351 32 03 6=+6 56 55 6=6 5cos( + ) = coscos - sinsin已知已知 都是锐角都是锐角,， cos，5 5= =8 87cos12 + +cos求求的的值值。coscos9539370535 c co os s c co os s s si in n s si in n7 75 51 12 28 81 12 28 89 96 6解：解：例例4:,对于任意角对于任意角c co os s( ( - -

12、) )= =c co os s c co os s + +s si in n s si in n()C一、两角差的余弦公式一、两角差的余弦公式简记为：简记为：1.公式的结构特点；公式的结构特点； , , , ,只要知道其正弦或余弦，就可以求出只要知道其正弦或余弦，就可以求出cos().二、两角差的余弦公式三角函数线推导过程二、两角差的余弦公式三角函数线推导过程x xy yP PP P1 1M MB BO OA AC Csincoscos cossin sin+1 11 11（2007山东）要得到函数山东）要得到函数y=sinx的图像，只的图像，只需将函数需将函数y=cos(x- )的图像（的图

13、像（ ）3向右平移向右平移 个单位个单位 B. 向右平移向右平移 个单位个单位C. 向左平移向左平移 个单位个单位 D. 向左平移向左平移 个单位个单位6336A解析：解析： 本题必须注意到余弦函数是偶函数，注意题中本题必须注意到余弦函数是偶函数，注意题中给出的函数不同名，而给出的函数不同名，而cos()cos()sin()sin()33236yxxxx所以要得到所以要得到y=sinx的图像，只需把的图像，只需把y=cos(x- )向向右平移右平移 个单位个单位3622021上海函数上海函数f(x)=2cos2x+sin2x的最小的最小值是值是_。12解析：解析：2y2cos xsin2x1c

14、os2xsin2x12cos(2x)4cos(2x)14 当当时时12 最最小小值值y y35ABCcosA=cosB=513( )1 1、在在中中，则则c co os sC C的的值值等等于于3365cos25 cos35cos65 cos55( )131A.0 B. C. D. 2222 2、已已知知的的值值等等于于3、在、在ABC中，假设中，假设sinAsinB=cosAcosB，那么那么ABC是是 .Aoooo2 cos(21 )cos(24 )sin(21 )sin(24 )_（ ）oooocos175 cos55sin175 sin55_( (1 1) )-1 12 22 22 24、计计算算填填空空23212222624解解: cos( 375)=cos15 =cos(45 30 ) =cos45 cos30 +sin45 sin30