二次函数中考试题分类汇编

1、二次函数中考试题分类汇编、选择题1、已知二次函数2axbx c（a 0）的图象如图所示，有下列2、abc 0 ；b m(amA. 2个B. 3个c ; 4a 2b c 0 ； 2c1的实数）其中正确的结论有（C. 4个D. 5个如图是二次函数 y=ax2 + bx+c图象的一部分，图象过点A （3, 0）,对称轴x= 1.给出四个结论： b2>4ac；2a+b=0；ab+c=0；5avb.其中正确结论是（5个结论:(A)(B)(C)(D)3、二次函数2x 2x 1与x轴的交点个数是（A. 04、在同一坐标系中一次函数ax b和二次函数y ax2 bx的图象可能为（5、已知二次函数)Ayx

2、列结论正确的是（)Daxbx c（aw0）的图象开口向上，并经过点A.当x>0时，函数值y随x的增大而增大B.当x>0时，函数值y随x的增大而减小C.存在一个负数x0,使得当x<x。时，函数值y随x的增大而减小；当 x> x。时，函数值y随x的增大而增大D.存在一个正数x0,使得当x<x°时，函数值y随x的增大而减小；当 x>x。时，函数值y随x的增大而增大6、已知二次函数 y=x2-x+a（a>0）,当自变量x取m时，其相应的函数值小于0,那么下列结论中正确的是(A) m-1的函数值小于0(B)m-1的函数值大于0(C) m-1的函数值等于

3、0(D) m-1的函数值与二、填空题1、二次函数y =ax2+bx+ c的图象如图8所示,且 P=| a b+c | + | 2 a+b | , Q=| a+b+c | + | 2 a b | ,则P、Q的大小关系为P<Q2、如图9所示的抛物线是二次函数. 2y ax 3x那么a的值是3、已知二次函数 yx2 2xm的部分图象如示，则关于x的次方程2x m 0的解为x124、已知一次函数y ax bx c的图象如图所0的大小关系不确定x图9O(第3题)O第4题132a 1的图象,示，则点P(a, bc)在第三、解答题1、知一抛物线与x轴的交点是 A( 2,0)、B (1, 0),且经过点

4、C(2, 8)。(1)求该抛物线的解析式;(2)求该抛物线的顶点坐标。解：(1)设这个抛物线的解析式为y ax2bx c由已知，抛物线过 A( 2,0) , B (1,0) , C (2, 8)三点，得4a 2b c 0a b c 0(3分)解这个方程组，得a 2,b 2, c 44a 2b c 8所求抛物线的解析式为y 2x2 2x 4 (6分)2(x 孑 I2、在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为A(1, 4),且过点 B(3,0).22(2) y 2x2 2x 4 2(x2 x 2) .19.该抛物线的顶点坐标为(1 9)2' 2(1)求该二次函数的解析式;(2)将该二次函数图

5、象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点并直接写出平移后所得图象与 x轴的另一个交点的坐标.解：(1)设二次函数解析式为 y a(x 1)2Q二次函数图象过点 B(3,0),0 4a 4,二次函数解析式为 y (x 1)2 4,即yx2 2x 3 .(2)令y 0,得x2 2x 3 0,解方程，得x 3,X2二次函数图象与 x轴的两个交点坐标分别为(3,0)和(1,0).二次函数图象向右平移1个单位后经过坐标原点.平移后所得图象与 x轴的另一个交点坐标为(4,0)33、已知二次函数图象的顶点是(1,2),且过点0,-.2(1)求二次函数的表达式，并在图10中画出它的图象;(2)求证：

6、对任意实数 m ,点M (m, m)都不在这个二次函数的图象上.解：(1)依题意可设此二次函数的表达式为y a(x1)233又点0,3在它的图象上，可得 3 a22一， 12所求为y 5(x 1)2, 令y1,画出其图象如右.(2)证明：若点M在此二次函数的图象上,2122则 m -(m 1)2, 得 m 2m 3 0.方程的判别式：4 128 0,该方程无解.所以原结论成立.4、二次函数 y ax2 bx c(a0)的图象如图9所示，根据图象解答下列问题:(1)写出方程ax2 bx c 0的两个根.(2分)(2)写出不等式ax2 bx c 0的解集.(2分)(3)写出y随x的增大而减小的自变

7、量 x的取值范围.(2分)(4)若方程ax2 bx c k有两个不相等的实数根，求 k的取值范围.解：(1) x1 1 , x2 31 x 3x 2(4) k 25、如图13,已知二次函数 y ax2 4x c的图像经过点 A和点B.(1)求该二次函数的表达式；(2)写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；(3)点P (3m与点Q均在该函数图像上(其中m>0),且这两点关于抛物线的对称轴对称，求 m的值及点Q到x轴的距离.解：(1)将 x=-1 , y=-1 ； x=3, y=-9 分别代入 y ax2 4x c得21 a (21) 4 ( 1) c，解得 a I.二次函数的表达式9 a 32

8、4 3 c.c 6.2为 y x 4x 6 .(2)对称轴为x 2;顶点坐标为(2,-10)(3)将(m，"代入 y x24x 6,得 m m2 4m 6,解得 m11, m2 6 .m>0,m11不合题意，舍去.m=6. .点P与点Q关于对称轴x 2对称，点QBiJ x轴的距离为6.6、在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数 y2ax bx c（a 0）的图象与x轴父于A B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C ,其顶点的横坐标为 1,且过点（2,3）和（3, 12）.（1）求此二次函数的表达式;（2）若直线l : y kx（k 0）与线段BC交于点D（不与点B, C重合

9、），则是否存在这样的直线l ,使得以B, O, D为顶点的三角形与 ABAC相似若存在，求出该直线的函数表达式及点D的坐标；若不存在，请说明理由;（3）若点P是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点，试比较锐角PCO与 ACO的大小（不必证明），并写出此时点P的横坐标xp的取值范围.px x解：（1） Q二次函数图象顶点的横坐标为1,且过点（2,3）和（3, 12）,2 1,2a由 4a 2b c 3,9a 3b 212.解得1,2,3.此二次函数的表达式为（2）假设存在直线l : ykx（k0）与线段BC交于点D（不与点B, C重合）一，使得以B, O, D为顶点的三角形与zB

10、AC相似.在 yx2 2x 3 中，令 y 0,贝U 由 x2 2x 3 0 ,解得x11,x2 3已有 B B,则只需BDBOBOBDBCBA若是，则有BDBC成立.BOgBC3 3,2BA”而4OBC45°,BE在RtzXBDE中，由勾股定理,解得BE点D的坐标为BEDEBEBD9.2DE9 （负值舍去）.4OE.将点D的坐标代入yOBkx(kBE3?0）中，求得k3.满足条件的直线l的函数表达式为 y 3x.或求出直线AC的函数表达式为y 3x 3 ,则与直线AC平行的直线l的函数表达式为y 3x.此时易知 BODsBAC,再求出直线 BC的函数表达式为 y x 3 .联立一一

11、 3 9 一y 3x, y x 3求得点D的坐标为 一，一. 14 4若是，则有BD但0埠个3-4 2应.而OBC 45°, BE DE .|BC|3衣2222L 2在RtBDE中，由勾股定理，得 BE DE 2 BE BD（2V2）2 .解得 BE DE 2 （负值舍去）.OE OB BE 3 2 1 点D的坐标为（1,2）.将点D的坐标代入 y kx（k 0）中，求得k 2. .满足条件的直线l的函数表达式为y 2x.存在直线l : y 3x或y 2x与线段BC交于点D （不与点 B, C重合），使得以3 9B, O, D为顶点的三角形与 ABAC相似，且点D的坐标分别为或（1,

12、2）.(3)设过点C(0,3), E(1,0)的直线y kx 3(k0)与该二次函数的图象交于点P.将点E(1,0)的坐标代入y kx 3中，求得k3 .此直线的函数表达式为y设点P的坐标为(x,3x 3),并代入y2x 3 ,得 x2 5x解得为5, x2(不合题意，舍去).5, y 12 .点P的坐标为(5,12).此时，锐角PCOACO.又Q二次函数的对称轴为 x 1 ,点C关于对称轴对称的点 C的坐标为(2,3).当xp 5时，锐角PCO ACO ；当xp5时，锐角PCOxp 5时，锐角PCO ACO.7、如图，矩形A BCcy是矢I形 OABC边OA在x轴正半轴上，边 。四 y轴正半

13、轴上)绕B点逆时针旋转得至U的.O点在x轴的正半轴上，B点的坐标为(1 , 3).(1)如果二次函数y= ax2+bx+c(a w 0)的图象经过 Q O两点且图象顶点M的纵坐标为-1.求这个二次函数的解析式;(2)在(1)中求出的二次函数图象对称轴的右支上是否存在点P,使得A POM直角三角形若存在，请求出P点的坐标和A POM勺面积；若不存在，请说明理由;(3)求边C O'所在直线的解析式.I )速结日0. Sir 则 HO=ROf;AV AO*(lr 3) A T (，Ok » (L141 + 2i + < *0卜小】Ie =0炯# a " 1, 5 M

14、 -2, c 年。M所求二次函数的斛析式为丁 二F -2工(2)设存在满足SS设条件的点(H “连结0% PM、"巴 过一作内物于N则力河财V < (lt -l)9 A (I r O)t |4M； = |d4j :. MOA =45*二,加押=必 L. |OW| 二 I心| W z=y;P G, y)在二次函数T = -24的国象上一=炉-七解得 整=0或*=3*.*P*,外 在对林轴的右支上，工>1二"=3 y = 3即P (3. 3)是所求的点连结肘显然小时力'为等艘宜角三角形。'为滴足条件的点。*(2, 0)，满足条片的点是产C, 0)或P

15、 (3, 3) , OPm3万，叫二万工§皿v yOF 0时=:痴或$&a，W UMQW = <£f-(3)设函与C'"的交点为O (1 ,7)显然航蜃 1在品心加心'中 AOfl + AD1 -O1 HP I +/ = (3 -y)r解用尸=7 4二。(L马)设边CTT所在直域的解析式为 i *b化+占二+j &喇3 解用A=一1, & = y2=。二所求宜线解析式为了"-：“十三8、容积率t是指在房地产开发中建筑面积与用地面积之比，即,M建筑面积t =S用地面积,为充分利用土地资源，更好地解决人们的住房需

16、求，并适当的控制建筑物的高度， 一般地容积率t不小于1且不大于8. 一房地产开发商在开发某小区时，结合往年开发经验知，建筑面积M (m2)与容积率t的关系可近似地用如图(1)中的线段l来表示；1 m2建筑面积上的资金投入 Q(万元)与容积率t的关系可近似地用如图(2)中的一段抛物线段 c来表示.(I)试求图(1)中线段l的函数关系式，并求出开发该小区的用地面积;(n)求出图(2)中抛物线段c的函数关系式.解：(I)设线段1函数关系式为 附kt+b,由图象得2k b 28000,解之，得 k 1300Q6k b 80000.b 2000.，线段1的函数关系式为 M= 13000t+2000, 1

17、 < t <8.由t = M建筑面积知,当t=i时, S1BMKS用地面积=M建筑面积,把 t=1 代入 M= 13000t+2000 中，得 M=15000 m2.即开发该小区的用地面积是15000 m2.(n)根据图象特征可设抛物线段c的函数关系式为 Q= a( t 4)2+k,把点(4, ) , (1代入，得k0.09,2a(1 4) ka解之，得0.18.k11009100.抛物线段c的函数关系式为Q='( t 4)2+-9-,即Q=-t2- t +1,1<t<8.1001001002549、如图10,已知抛物线 P： y=ax2+bx+c(aw0)与x

18、轴交于A、B两点(点A在x轴的正半轴上)，与y轴交于点C,矩形DEFG勺一条边DE在线段AB上，顶点F、G分别在线段BC AC上，抛物线P上部分点的横坐标对应的纵坐标如下：x-3-212y5-2-45 -20(1)求A、B、C三点的坐标;图10(2)若点D的坐标为(m 0),矩形DEFG勺面积为S,求S与 m的函数关系，并指出 m的取值范围；(3)当矩形DEFG勺面积S取最大值时，连接DF并延长至点 M 使FM=k DF若点M不在抛物线P上，求k的取值范围.若因为时间不够等方面的原因，经过探索、思考仍无法圆满 解答本题，请不要轻易放弃，试试将上述(2)、(3)小题换为下列问题解答(已知条件及第

19、(1)小题与上相同，完全正确解答只能得到5分)：(2)若点D的坐标为(1 , 0),求矩形DEFG勺面积.解： 解法一：设 y= ax2+ bx+ c(a? 0),任取x,y的三组值代入，求出解析式y=lx2+x-4, 1分2令 y=0,求出 Xi = - 4, x2 = 2 ；令 x=0,得 y=-4 ,A B、C三点的坐标分别是 A(2 , 0) , B(-4 , 0) , C(0 , -4) . 3 分解法二：由抛物线 P过点(1, -5), (-3 , - 5 )可知， 22抛物线P的对称轴方程为x=-1 , 1分又抛物线P过(2, 0)、(-2 , -4),则由抛物线的对称性可知，点

20、 A、B C 的坐标分别为 A(2 , 0) , B(-4 , 0) , a。，-4) . 3 分 由题意， 处=DG ,而 AQ=2, OG4, AD=2-m 故 DG4-2m, 4 分AO OCBE EF又匹=EF=DG 彳导 BE=4-2mDE=3m1 5 分BO OC .SDef=DG DE=(4-2 m) 3 m=12m6 m (0vm< 2) . 6 分注：也可通过解 鼻BOB RtAOC或依据 BOO等腰直角三角形建立关系求解 2 SDEF=12m6 m (0 v m< 2) ,m=1时，矩形的面积最大，且最大面积是6 .当矩形面积最大时，其顶点为口1 , 0) ,

21、C1 , -2) , F(-2 , -2) , E(-2 , 0) , 7分2222设直线DF的斛析式为y=kx+b,勿知，k= , b=，.=y = x,3333又可求得抛物线 P的解析式为：y= -x2+ x- 4, 8分2令2x- 2 = lx2+ x- 4 ,可求出x=- 1? 761 .设射线DF与抛物线P相交于点 33 23N则N的横坐标为- 1-闹，过N作x轴的垂线交x轴于H,有 32-1-61FN _ HE _3DF DE3- 5+ 61点M不在抛物线P上，即点M不与N重合时，此时k的取值范围是% - 5+ "'61 且 Q0.910分说明：若以上两条件错漏一

22、个，本步不得分若选择另一问题：AD= DG AO OC，而 AD=1, AO=2, OG4,则 DG2,又.，=”, AB OC而 AB=6, Cf=2, OG4,则 FG=3,.Sdef=DG FG6.10、 (2007山东威海)如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1,2)，点B的坐标为(31),二次函数y2 一一. x的图象记为抛物线1i.(1)平移抛物线li,使平移后的抛物线过点A,但不过点B,写出平移后的一个抛物线的函数表达式:(任写一个即可).(2)平移抛物线l1，使平移后的抛物线过 A, B两点，记为抛物线12,如图，求抛物线12的函数表达式.(3)设抛物线l2的顶点为C, K

23、为y轴上一点.若SzxabkSa abc，求点K的坐标(4)请在图上用尺规作图的方式探究抛物线l2上是否存在点P,使4ABP为等腰三角若不存在，请说明师.形.若存在，请判断点 P共有几个可能的位置(保留作图痕迹)图图图解：(1)有多种答案，符合条件即可.例如y (x 1)2y x2 2x 3, y (x 夜 1)2, y(x(2)设抛物线I的函数表达式为 ybxQ 点 A(1,2),B(31)在抛物线12上,9 3b c2,丘 /口解得111. 2抛物线12的函数表达式为112(3) y2 911x - x 22716C点的坐标为4 16过 A, B,C三点分别作x轴的垂线,垂足分别为D, E,则 AD 2, CF , BE 1, DE 2 ,16DF -FESA ABCS梯形 ADEBS梯形 ADFCS梯形CFEB 12(2 1) 2-22164171 -2161516延长BA交y轴于点G ,设直线AB的函数表达式为ymxQ 点 A(1,2), B(31)在直线