二次函数知识点梳理

1、二次函数的基础一、考点、热点回顾二次函数知识点一、二次函数概念：21 . 一次函数的概念：一般地，形如 y ax bx c （a, b, c是常数，a 0）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a 0 ,而b, c可以为零.二次函数的定义域是全体实数.2 .二次函数y ax2 bx c的结构特征：等号左边是函数，右边是关于自变量 x的二次式，x的最高次数是2.a , b , c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项.二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：y ax2的性质：a的绝对值越大，抛物线的开口越小。a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a 0向

2、上0, 0y轴x 0时，y随x的增大而增大；x 0时，y随x的 增大而减小；x 0时，y有最小值0.a 0向下0, 0y轴x 0时，y随x的增大而减小；x 0时，y随x的 增大而增大；x 0时，y有最大值0.22. y ax c的性质：上加下减a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a 0向上0, cy轴x 0时，y随x的增大而增大；x 0时，y随x的 增大而减小；x 0时，y有最小值c .a 0向下0, cy轴x 0时，y随x的增大而减小；x 0时，y随x的 增大而增大；x 0时，y有最大值c .23. y a x h的性质：左加右减a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a 0向上h, 0X=hx h

3、时，y随x的增大而增大；x h时，y随x的 增大而减小；x h时，y有最小值0 .a 0向下h, 0X=hx h时，y随x的增大而减小；x h时，y随x的 增大而增大；x h时，y有最大值0.a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a 0向上h, kX=hx h时，y随x的增大而增大；x h时，y随x的 增大而减小；x h时，y有最小值k .a 0向下h, kX=hx h时，y随x的增大而减小；x h时，y随x的 增大而增大；x h时，y有最大值k .2k的性质:三、二次函数图象的平移4. y a x h在原有函数的基础上“ h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”. 概括成八个字“左加右减，上加下

4、减"方法二：22y axbx c沿y轴平移：向上(下)平移 m个单位，y axbx c变成22yaxbxc m (或 y ax bx cm)y ax2 bx c沿轴平移：向左(右)平移 m个单位，y ax2 bx c变成ya(xm)2 b(x m) c (或y a(xm)2b(x m) c)22四、一次函数y a x h k与y ax bx c的比较22从解析式上看，y a x h k与y ax2 bx c是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得,222到前者，即y a x之竺c上，其中h 2, k皿2, 2a 4a2a 4a2五、一次函数y ax bx c图象的回法22五点绘图法：

5、利用配万法将一次函数y ax bx c化为顶点式y a(x h) k,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y轴的交点0, c、以及0, c关于对称轴对称的点 2h, c、与x轴的交点 X , 0 , x2 , 0 (若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点)画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点.1.当a0时，抛物线开口向上，对称轴为xb2a顶点坐标为2b 4ac b2a' 4a当x 2时，y随x的增大而减小；当x2a2有最小值4ac b .-b时，y随x的增大而增大；当x 2时，

6、y 2a2a4a六、二次函数y ax2 bx c的性质2.当a 0时，抛物线开口向下，对称轴为x_b ,顶点坐标为2aby随x的增大而增大；当 x 时，y随x的增大而减小；当 x 2a七、二次函数解析式的表示方法21 . 一般式：y ax bx c (a, b, c 为常数，a 0)；22 .顶点式：y a(x h) k (a, h, k为常数，a 0)；3 .两根式：y a(x x1)(x x2) ( a 0 , x1 , x2是抛物线与2.b 4ac b w b .一 ,.当 x 一 时,2a 4a2a2摄时，y有最大值4a4abx轴两交点的横坐标)注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般

7、式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只 有抛物线与x轴有交点，即b2 4ac 0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析 式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a2一次函数y ax bx c中，a作为二次项系数，显然 a 0.(1)当a 0时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之 a的值越小，开口越大；(2)当a 0时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之 a的值越大，开口越大.总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小.2. 一次项系数b在二次项系数a确定的前提下，b决定了

8、抛物线的对称轴.在a 0的前提下，b -当b0时，0,即抛物线的对称轴在 y轴左侧；2a当b0时，0,即抛物线的对称轴就是 y轴；2a当b0时，0,即抛物线对称轴在 y轴的右侧.2a在a 0的前提下，结论刚好与上述相反，即当b0时，0,即抛物线的对称轴在 y轴右侧；2a当b0时，0,即抛物线的对称轴就是 y轴；2a当b0时，0,即抛物线对称轴在 y轴的左侧.2a总结起来，在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置.,bab的符号的判定：对称轴x 在y轴左边则ab 0,在y轴的右侧则ab 0,概括的说 2a就是“左同右异”总结：3. 常数项c(1)当c 0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛

9、物线与 y轴交点的纵坐标为正；当c 0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与 y轴交点的纵坐标为0;当c 0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与 y轴交点的纵坐标为负.总结起来，c决定了抛物线与 y轴交点的位置.总之，只要a, b, c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的.二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须根 据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便.一般来说，有如下几种情况：1.2.3.4.已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式; 已知抛物线与x轴

10、的两个交点的横坐标，一般选用两根式； 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式.九、二次函数图象的对称1.二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 关于x轴对称2y axbxc关于x轴对称后，得到的解析式是2axbxk关于x轴对称后，得到的解析式是2.关于y轴对称2y axbxc关于y轴对称后，得到的解析式是2axbxk关于y轴对称后，得到的解析式是3.关于原点对称2y axbxc关于原点对称后，得到的解析式是2axbxc;k关于原点对称后，得到的解析式是4.关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180。）2y axbxc关于顶点对称后，得到的解析式是2 axbx2a5.k关于

11、顶点对称后，得到的解析式是对称根据对称的性质,k关于点 m , n对称后，得到的解析式是h 2m显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此22n ka永远不变.求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原 抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式.十、二次函数与一元二次方程：1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与2一兀一次方程axbx c 0是二次函数yx轴交点情况）：2ax bx c当函数值y 0时的特殊情况.图象与x轴的交点个数:x2),

12、其中的x1 , x2是一xib 4ac_ 2b 4ac 0时，图象与x轴交于两点 A x1 , 0 , B x2, 0 (x12兀一次万程ax bx c 0 a 0的两根.这两点间的距离 AB当 0时，图象与x轴只有一个交点；当 0时，图象与x轴没有交点.1'当a 0时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有 y 0；2'当a 0时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有 y 0 .2一 一、2 .抛物线y ax bx c的图象与y轴一定相交，交点坐标为(0, c)；3 .二次函数常用解题方法总结：(1)求二次函数的图象与 x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；求二次函数的最大(小)值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式;根据图象的位置判断二次函数y ax2 bx c中a, b, c的符号，或由二次函数中a, b, c的符号判断图象的位置，要数形结合；二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标2与一次函数有关的还有一次二项式，一次二项式ax bx c(a 0)本