二元一次不等式(组)与简单的线性规划题型归纳

1、二元一次不等式(组)与简单的线性规划题型归纳知识点精讲兀二次不等式表布平面区域般地，二元一次不等式Ax By C 0 (A 0或B 0)在平面直角坐标系中表示直线Ax By C 0某一侧所有点组成的平面区域，通常把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线，而在坐标系中画不等式 Ax By C 0所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界线画成实线。二、二元一次不等式表示平面区域的快速判断法二元一次不等式表示平面区域的快速判断法如表7-1所示，主要看不等式的符号与B的符号是否同向，若同向，则在直线上方；若异向，则在直线下方，简记为“同上异下”，这叫B值判断法.j j区域不等式一j B 0B

2、0Ax By C 0直线Ax By C 0上方直线Ax By C 0卜方Ax By C 0直线Ax By C 0卜力直线Ax By C 0上方三、线性规划(1)二元一次不等式组是一组变量x, y的约束条件，这组约束条件都是关于x, y的一次不等式，所以又称为线性约束条件。(2)(a,b R )是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x, y的解析式，叫做目标函数.由于z ax by又是x, y的一次解析式，所以又叫做线性目标函数(3)求线性目标函数在约束条件下的最大值或最小值的问题，称为线性规划问题.满足线性约束条件的解(x, y)叫可行解，由所有可行解组成的集合叫可行域.使目标函数取得最大值或最小

3、值的可行解叫做该问题的最优解.四、线性规划的实际应用线性规划的实际应用，一是给一定数量的人力、物力资源，问怎么运用这些资源使完成的任务量和收到的效益最大；二是给定一项任务，问怎样统筹安排，使完成这项任务耗费的人力、物力资源最小题型归纳及思路提示题型1 二元一次不等式组的平面区域思路提示线性规划中的可行域，实质上就是一个二元一次不等式的平面区域，因而解决简单线性规划问题是以二元 一次不等式表示平面区域的知识为基础的x y例7.21在平面直角坐标系 xoy中，满足不等式组的点(x, y)的集合的阴影表示为下列图中的x 1分析本题的难点是xB值判断区域y,可以先去掉绝对值符号，再根据解析由xy ,得

4、 x2y2 , x2 y2 0, (x y)(x y) 0得x y 0 x y 0x y 0或x y 0 ,故选C1 x 11 x 1x y 0变式1若不等式组 2x y 2表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是y 0x y ax 2y 5 0变式2 设m为实数，若 (x, y) 3x0(x, y) x2 y2 25，则m的取值范围是 mx y 0题型2 平面区域的面积思路提示 要求平面区域的面积，先依据条件画出所表达的区域，再根据区域的形状求其面积x例7.22不等式组x3y4所表示的平面区域的面积等于(解析3xA. 32B.3C.；D.34,x由3x3y0,得C(1,1),如图7-8所

5、示，故0S ABCAB Xc1 ,4、 ，4(4) 1233x3x y 4 0图7-8x变式1若不等式组 x3y3x44所表布的平面区域被直线 y kx 分成面积相等的两部分，则k的值为3B.37C.D.34例7.23若a0,b 0,且当分析解析ax时，恒有ax by 1 ,则由点P(a,b)所形成的平面区域的面积等1B.4C. 1D.2确定a, b的范围,解法一：满足by同理可得作出P(a,b)所形成的平面区域，求平面区域的面积。的点(x, y)的可行域如图7-9阴影部分所示，若 a10,b 0 ,恒有1、,by恒成立，所以by 1恒成立，而当y (0,1时，(一)min 1 y所以0 b

6、1.0 x 1 , 0 y 1时，令z ax by ,其最大值应该在端点(0,1)或(1,0)取得，当取(0,1)时，zb 1满足要求；当取(1,0)时，z a 1满足要求，所以点 P(a,b)所形成的平面7-10阴影部分所示，其面积为1 ,故选C区域如图解法二：由ax by 1得ya11 一 1-x -,即直线在x和y轴上的截距为 一和一，要使题目条件成立，只 bba b需点(x, y)的可行域恒在直线1ax by 1的下万，故一 a11且一1,所以0 a 1且0 b 1.所以点 bP(a,b)所形成的平面区域是边长为 1的正方形，其面积为1.评注本题的解题关键是借助 x,y所满足的线性约束

7、条件及ax by 1恒成立，确定a,b的取值范围，即a,b所满足的约束条件，在这里将恒成立问题通过分离变量，转化为a f (x),只需a fmin(x)使问题获得解决x 0变式1若A为不等式组y 0表示的平面区域，则当a从2变化到1时，动直线x y a扫过A中y x 2的那部分区域的面积为 例7.24在平面直角坐标系 xOy中，已知平面区域 a (x, y)x y 1,且x 0, y 0 ,则平面区域B (x y,x y) (x, y) A 的面积为()1 - 1A. 2 B. 1 C. -D.-2 40,11斛析令a x y,b x y,则x -(a b), y - (a b),代入集合A,

8、易得a b 0, a 22,一_ _ .一 _.1 a 1,其所对应的平面区域如图7-11阴影部分所示，其面积为 2 1 1 ,故选B2评注 本题涉及双重约束条件，解题的关键是采用换元的思想去寻找平面区域所对应的约束条件，从而准 确画出相应的区域.变式1在平面直角坐标系中，点集A (x,y) x2 y2 1 ,B (x,y) x 4,y 0,3x 4y 0 ,则：(1)点集 P (x,y) x(x,y) x Xi x2,y3,y y1 3,(x1, y1) A所表示的区域面积为% 丫2,(%) A,(x2,y2) b所表示的区域的面积为题型3求解目标函数的取值范围或最值思路提示线性规划问题实质

9、上就是求线性目标函数在线，f约束条件下的最大值或最小值问题(1)在线性约束条件下求线性目标函数最值(线性规划问题)；形如z ax by的含参数的目标函数，可变形为斜截式，进而考查y轴上截距的取值范围.具体步骤为确定目标函数移动方向；确定最优解(2)在线性约束条件下求非线性目标函数最值(要明确非线性的目标函数的几何意义)：对于形如：z ay(ax 0)的分式目标函数，可基于斜率公式化归成 cx da y £ gacg一x c从而将问题化归为可行域内d b、a .、的点(x, y)与定点(一，一)确定的直线斜率的 一倍;对于形如22 .z (x a) (y b)的目标函数，可化归成可行域

10、中的动点P(x, y)与定点M(a,b)的距离的平方.对于形如Ax By C的目标函数，因为 z Ja2 B2CAx By,可将z的最值化归成可、.A2B2行域内的点(x, y)到直线Ax By C 0的距离的最值的 JA2B倍，或者先求出乙 Ax By C的取值范围，然后再求 zZi的范围即可.例7.25 (2012年广东理y5)已知变量x, y满足约束条件x1 ,则z 3x y的最大值为(1A.12B. 11C. 3 D. 1分析 画出可行域，明确目标函数 z的几何意义，即直线3xz在y上的截距，结合图形求出目标函数的最值.解析 可行域如图7-12所示，先画出直线10： y3x平移直线lo

11、当直线过点A时，直线y 3x在y轴上的截距最大，即z3xy的值最大,3 ,所以点A的坐标为(3, 2),2zmax3 2 2 11 ,故选yO 彳，x y 11 y 3x图 7-122y变式1设变量x, y满足约束条件2x则目标函数z 3xy的取值范围是(4xA. 3,62C. 1,6D.6,20变式2已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组x ,22 给定.若M(x,y)为D上的动点,2y点A的坐标为(J2,1),则zuuur uuuOM gOA的最大值为(A. 4.2B. 3.2C.4 D. 3例7.26 若实数” xx,y满足 x0 ,则y的取值范围是(xA. (0,1)B. (0,

12、1C.(1,) D.1,)分析率.对于目标函数为分式函数,可根据斜率分式将目标式化归为可行域内的点与定点所在的直线的斜解析因为上可看作可行域内的动点x(x,y)与定点(0,0)所在直线的斜率，可行域如图7-13阴影部分所(1,示，可得所在直线的斜率范围为变式1 已知变量x, y满足约束条件0,则y的取值范围是(xA. 9,65B.6,C.,3 U 6,D. 3,6变式2如果x, y满足约束条件3x2y 5的取值范围是x 12x例7.27 如果点P在平面区域y2y00上,点Q在曲线x2 (y 2)2 1上，那么PQ的最小值为A.、5 1B. 45分析由几何意义可得所求PQC.2、2 1的最小值为

13、可行域上的点与圆上的点之间的距离的最小值解析 画出可行域如图 7-14所示阴影部分（含边界）,设圆心为O到直线x 2y 1 0的距离为d ,则而，所以PQmin d 1.51,故选A.变式1已知点P（x, y）的坐标满足条件点O为坐标原点，那么PO的最小值等于最大值等于变式2已知点P（x, y）的坐标满足条件C. 5D. .1300，点O为坐标原点，那么 PO的最小值为（x例7.28设不等式组x2y 30所表示的平面区域1 ,平面区域 2与1关于直线3x 4y 9 0对称，对于 1中的任意一点A与2中的任意一点B,AB的最小值等于（a.28 5B.4 C.125D. 2解析如图7-15所示，画

14、出 1即CDE （含边界）及l1： 3x 4y 9 0, A1时，设A到l1的距离为dA,则B与A关于11对称时有C(1,1)使 dA最小，dAdcABmin2dA,故只要 A离1i最近即可，如图 7-15所示1的顶点2,故 ABmin 4 .故选Bx 2y 102x y 3变式1设D是不等C式组 ,表示的平面区域,0x4y 1大值是则D中的点P（x, y）到直线x y 10距离的最变式2 已知实数x , y满足|x|xy| 1,y| ，则z |3x 4y 5|的最大值为(y| 1A.1B.2C.8D.9x y 2 0变式3不等式组 x y 2 0所确定的平面区域记为 D ,若圆O ： x22

15、x y 2 022 .y r的所有点都在区域D内，则圆。的面积的最大值是.题型3求解目标函数中参数的取值范围思路提示对于含参数的目标函数，如z ax by型，可变形为斜截式，进而考查y轴上截距的取值情况；如y ax （ a 0且a 1）型，可根据指数函数的单调性，又恒过定点（0,1）的性质，让指数函数的图像“动起来”，即先找到第一个与可行域的交点（临界状态），然后向某个方向（顺时针或逆时针）旋转，直到与可行域中最后一个交点（临界状态）相交后停止x yx y例7.29已知变量x , y满足条件；y 0中a 0）仅在点（4, 2）处取得最大值，则 a的取值范围是.分析 求目标函数中参数的取值范围问

16、题，先画出平面区域M ,确定最优解，从而求出a的范围.解析 作出不等式组所表示的平面区域M ,如图7-16所示.由目标函数62 一，右目标函数z ax y （其z ax y （ a 0）仅在点（4, 2）处取得最大值，得直线y ax z的斜率 a要比直线x 6 6的斜率小，即 a 1,得a 1 ,故a的取值范围是(1,).变式1已知平面区域 D由以A(1,3), B(5,2), C(3,1)为顶点的三角形内部和边界组成.若在区域D上有无数多个点(x, y)可使目标函数z x my取得最小值，则A. 2B.C.1D.4变式2若xy满足约束条件目标函数zax2 y仅在点(1,0)处取得最小值，则a

17、的取值范围是A. ( 1,2)B.(4,2)变式3若实数x,A. 2 B.变式4 已知实数A. 7 B.变式(1)(2)变式2xC.3y4,0D.(2,4)y满足不等式组1 C.yy满足 yxC.2x2x5 设集合 A ( x, y) | yb的取值范围是ymyD.121x2|,xx y的最大值为9 ,则实数m,如果目标函数 z x y的最小值为D.0, B (x,y)|y|x| b , AI若(x,y) (AI B),且x 2y的最大值为9 ,则b的值是m等于6设m 1,在约束条件xmx下,目标函数z x my的取值范围为(A. (1,1 .,2) B.C.(1,3) D.(3,)例7.30

18、设二元一次不等式组2y192x140所表示的平面区域为M ,使函数0y ax(a 0,a 1)的图像过区域M的a的取值范围是A. 1,3 B. 2, .10C.2,9D.10,9分析 目标函数中参数的取值范围问题，先画出平面区域，确定最优解，从而求出a的范围.解析 作出不等式组表示的平面区域M，如图7-17所示.由x 2y 19 0 /曰,得2x y 14 0A(3,8),由x 2y 19 0,得B(1,9).由图7-17知，若yax的图像过区域M ,则当yax的图像过点 A(3,8)，即a38a最小；当yax的图像过点图 7-17B(1,9),即a 9时，a最大.所以2 a 9.故选C.x变

19、式1设不等式组 3xy 115xy3y表布的平面区域为D,若指数函数yax的图像上存在区域 D中的点，则实数a的取值范围是变式A. (1,3 B. 2,32 (2012福建理9)若函数C.(1,2 D.3,)2x图像上存在点(x, y)满足约束条件y2yA.m的最大值为B. 1C.D.3x例7.31设xy满足约束条件y0,y,若目标函数z ax by(a0,b 0)的最大值为12,则的最小值为 bA. 256B.C.11D.解析不等式组表示的平面区域如图7-18阴影部分所示，ax by z (a 0, b 0)过直线 x y2 0与直线3x y点(4,6)时，目标函数z ax by(a0,b

20、0)取得最大值12一一 a即 4a 6b 12 ,故一 33(2 3)(ab a b 3b、 132) 76b613；b a 25一 2 J (当且仅当a b时取等号).故选A.6.a b62x y 2 0变式1设x, y满足约束条件 8x y 4 0 ,若目标函数z abx y (a 0,b 0)的最大值为8,则 x 0, y 0a b的最小值是.题型4.简单线性规划问题的实际应用思路提示常见问题有物资调运、产品安排和下料问题等.思想是先从实际问题中抽象出数量关系，然后确定其函数意义.其解题步骤为：(1)模型建立.(2)模型求解.画出可行域，并结合所建立的目标函数的特点，选定可行域中的特殊点

21、作为最优解.(3)模型应用.将求解出来的结论反馈到具体的实例中，设计出最佳方案例7.32某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出 B产品，甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A产品，每千克 A产品获利40元，乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B产品，每千克 B产品获利50元.甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为()A. 甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料 60箱B. 甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料 55箱C.甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料 50箱D

22、.甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料 30箱分析 设未知数，确定线性约束条件和目标函数，画出可行域和目标函数对应的初始直线、平行直线，确定最优解，从而求出目标函数的最值.解析 设甲车间加工原料x箱，乙车间加工原料y维图 7-19x y 70如图10x 6y 480 ,目标函数z 280x 200y ,结合图像， x, y N7-19所示，当x 15, y 55时z最大.故选B.变式1某公司生产甲、乙两种桶装产品 .已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克，8原,料1千克.每桶甲产品的利润是 300元，每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计

23、划中，要求每天消耗 A、B原料都不超过12千克.通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（）来源：学A.1800元 B.2400元 C.2800 元 D.3100 元变式2在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往临近的乡镇，现有 4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用.每辆甲型货车运输费用 400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用 300元，可装洗衣机10台，若每辆车至多运一次，则该厂所花的最少运费为（）A.2000 元 B.2200 元 C.2400 元 D.2800 元 变式3在（2012江西理8）某农户种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过设种植黄瓜和韭菜的产量和售价如表7-2所示.表7-2年产量/亩年种植成本/亩每吨售价黄瓜4吨1.2万元0.55 万元韭菜6吨0.9万元0.3万元50亩，投入资金不超过 54万元，假那么黄瓜和韭菜的种植面积 （单位：亩）为使一年的种植总利润（总利润=总销售收入-总种植成本）最大, 分别为 （）A.50, 0B.30, 20C.20, 30D.01.在坐标平面上，不等式组7所表示的平面区域的面积为y 3|x| 1A. 2 B. 3 C.32D.2222 .设动点坐标（x, y）满