分式的概念与基本性质

1、分式的概念当两个整数不能整除时，出现了分数；类似的当两个整式不能整除时，就出现了分式.,. .一. .、 一 . A 般地，如果 A, B表示两个整式，并且 B中含有字母，那么式子 A叫做分式.B整式与分式统称为有理式.在理解分式的概念时，注意以下三点：分式的分母中必然含有字母；分式的分母的值不为 0;分式必然是写成两式相除的形式，中间以分数线隔开.分式有意义的条件两个整式相除，除数不能为0,故分式有意义的条件是分母不为0,当分母为。时，分式无意义.如：分式1,当x 0时，分式有意义；当x 0时，分式无意义.x 1x分式的值为零分式的值为零时，必须满足分式的分子为零,且分式的分母不能为零，注意

2、是同时”.分式的基本性质分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘上述性质用公式可表示为：-m, ab bm b（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变.am -（m 。）注意：在运用分式的基本性质时，基于的前提非零”的数字或者整式;强调 同时”，分子分母都要乘以或者除以同一个 分式的基本性质是约分和通分的理论依据.、分式的基本概念【例1】在下列代数式中，哪些是分式?1, x(x 2) t 32x 2x 1x 1哪些是整式？2x 4 5a c,2m23xx 12x 17132a a3a分式的基本概念根据分式的概念可知,分式的分母中必然含有字母,1由此可知1, tx5a(x 2),322x 1 2

3、x 4x 13x2 2x 13 a3a2为分式.23 x,x 2x 13中分母中的兀是一个常数，因此它不是分式.-1,32a一-,分式的概念3a兀x 1是针对原式的，尽管原式化简后可以是整式的形式，但原式仍是分式2x 2x 1 2x 4“323/=;分式x5a -3 x 上-(x 2), , 2m, 为整式.327t2122,【例2】n , xy中分式有（代数式21 x Jx Ja 2302ab3 2xx 12y23A.1个B.1个C.1个 D.1个【考点】分式的基本概念【解析】分母中含有字母的式子是分式，所以上式中分式有【答案】选Cx 1 x2 12x x 13、/,.选 Cy2a二、分式有

4、意义的条件【例3】 求下列分式有意义的条件："U x y x 2x 8x 31旦-abx x 32a b m 1【考点】分式有意义的条件 【解析】分式有意义的条件是 x 0;分式有意义的条件是 x 3 0,即x3;分式有意义的条件是分式有意义的条件是分式有意义的条件是分式有意义的条件是12a b 0,即 2a b , a -b ； 2m2 1 0,即m为任何实数；22xy0,故x 0或者y 0 ;x2 2x 8 (x 4)(x 2) 0,即 x 4且 x2；当我们求使分式有意义的字母的取值范围时，同样要看原式，而不是化简之后的结果分式有意义的条件是 x 3 0,即x 3【答案】x 0

5、;x 3 ;-1 a - b;2m为任何实数；故x 0或者y 0 ；x 4且x 2 ;即x 3【例4】 要使分式 且 有意义，则x须满足的条件为 x 3【考点】分式有意义的条件【解析】【答案】【例5】x-30x 31x为何值时，分式 一1 有意义?11 x要使分式产售 1 没有意义，求a的值.【考点】分式有意义的条件1【斛析】1 0且1 x 0- 2且x 11 x根据题意可得1 L色0或2a 0,所以a 1或a0 2a5【答案】（1） x 2且x 11 ,、 一（2） a 或 a 05例6 x为何值时，分式 一1 有意义？2 2 x【考点】分式有意义的条件【解析】根据题意可得：2 2 x 0,

6、解得x 2且x -2x025【答案】x 2且x 52例7 x为何值时，分式 1有意义？2 x， 2 x【考点】分式有意义的条件【解析】2 x0且2*0,则*1,且x 3,且x 2,2 x【答案】则x 1,且x 3,且x 2【例8】若分式冈 x 0有意义,则乂；11250 x若分式川250无意义,则x11 250 x【考点】分式有意义的条件【解析】分式有意义，根据题意可得:10250 x ,解得251 且 x250；3.同理T3分式无意义，根据题意可得:250 x0 或 250 x 0,即 x 251 或 x250；【答案】（1） x 251且x250; (2) x 251 或 x 250【例9

7、】若必-有意义，则兽丑 3 a3 a).A.无意义B.有意义 C.值为0D.以上答案都不对【考点】分式有意义的条件乌-有意义的条件为3 a 0, a3 a力有意义的条件为a 3 . a所以 包有意义，-2a_不一定有意义,应选 D. 3 a3 a【答案】D【例10】x为何值时，分式 9-有意义?1，3 x【考点】分式有意义的条件1【解析】根据题意可得：1 3 x 0,解得x 3且x 4；3x0【答案】x 3且x 4【例11若分式一x2 16一有意义，则x(x 3)(x 4)若分式x16无意义，则x(x 3)(x 4)【考点】分式有意义的条件若分式若分式x2 16(x 3)(x 4)x2 16(

8、x 3)(x 4)有意义，则无意义，则(1) x 3且 x 3且 x 4;(2) x4；4；、分式值为零的条件【例12】当x为何值时，下列分式的值为0?32/ x一 xx 2x分式值为零的条件【解析】6x10 x 1,此时分母不为0,故当x 1时，原式的值为0; 2x 1 0 x 1或者x 1 ,但当x 1时，分母为0,故x 1时，原式的值为 0;由 x30 x 3,又 x30 x3,故 x 3;由x2 3 3 0可知，无论x为何值，分式的值都不为 0;由 x2 2x 3 0 x 1 或者 x 3,又 x10 *1,故* 3;由 x2 4 0 x 2,又 x2 2x 0 x 0且 x 2,故

9、x 2.【答案】x 1时；x 1;x 3;(4)无论x为何值，分式的值都不为0;x 3;x 2.【巩固】当x为何值时，下列分式的值为 0?2x2 2x 3(x 1)(x 2)25 x2(x 5)2|x 6x 5x 6(x 8)(x 1) 2x 1(:x 3-x-(，x 8【考点】分式值为零的条件【解析】根据题意可得：根据题意可得：根据题意可得：根据题意可得：根据题意可得：根据题意可得：根据题意可得：一 ，1【答案】x ;x 3; 2【例13】若分式x4的值为 x 1【考点】分式值为零的条件【关键词】2010年，昌平一模【解析】4【答案】4【巩固】若的值为0,则x .2x a【考点】分式值为零的

10、条件2x a 0【解析】根据题意可得：，即x 2且a 4.x 2 0【答案】x 2且a 4.【巩固】若分式 -一4的值为0,则x的值为.x 2【考点】分式值为零的条件2x2 (xxx2 x2 x2 x8x2 x25(x(x(4)x 16 T 7x 3x 42x1)(x5x163x82x5)23 02) 0，所以x 38)(x 1) 01 00,则x的值为 x 0 ； (6) x5;x 8【关键词】2010年，朝阳一模【解析】2【答案】22【巩固】若分式 x的值为0,则x的值为X2 1【考点】分式值为零的条件 【关键词】2010年，房山二模【解析】0【答案】02【例14】如果分式X一3x，的值是

11、零，那么 X的取值是X 1【考点】分式值为零的条件 【关键词】2010年，石景山二模【解析】2 【答案】2【巩固】若分式 一U的值不为零，求 x的取值范围. x 2 x 1【考点】分式值为零的条件x 2 x 10 【解析】当时，原分式的值不为零.x 3 0由得：x 2且x 1 .由得：x 3 .，若原分式的值不等于零，x的取值范围是x 2且x 1且x 3.【答案】x 2且x 1且x 3【例15】x为何值时，分式 9-分式值为零？ 1 ,3 x【考点】分式值为零的条件 x2 9 , 一【解析】若分式 厂值为零，x 3. 1 - 3 x【答案】x 3 2 Qv【巩固】x为何值时，分式 3 值为零？

12、4 5 xx 5【考点】分式值为零的条件x2 3x 0一 4，一.,【解析】根据题意可得5 x 0,解得x 0 ,若问此分式何时无意义，则x 3或x5或x7.x 5 x 5 0【答案】x3或x5或x7【巩固】若分式13的值为0，则x x 3x【考点】分式值为零的条件【解析】x| 3x2 3xx 3x(x 3),根据题意可得:x(x 3) 0x 3 0，所以 x 3.若分式x 25011250 x0,则分式值为零的条件分式值为零，根据题意可得:11 - 250250 xx 2500 x0,解得 x 250.0x 250四、分式的基本性质【例16】填空:(1)ab b a3 x (2)- x xy

13、【答案】【例17】(3)x yxy2x xyx y(4)- x y22x 2xy y分式的性质(1) a； (2)y的值扩大为原来的3倍，下列分式的值如何变化?分式的性质(i) 3x 3y3x 3y 3x 3y3(xy)3(x y)9xy3x 3y3x 3y3(xy)22(3x)(3 y)不发生变化是原来的3倍是原来的1倍3把下列分式中的字母yxyx3(x y)229(x y )是原来的3倍x和y都扩大为原来的5倍，分式的值有什么变化?表【考点】分式的性质【解析】5x 2 5y 5 x 2y x 2y(1)扩大5倍后的分式为 yo因此分式值不变。(2)扩大5倍后的分式为5x 5y 5 x9 5

14、x22 5x23 5yy x y5 9x25 2x2宁9x12,因此分式值为原来的 。5 2x2 3y5(1)分式值不变。(2)分式值为原来的15【例18 不改变分式的值,把下列各式的分子与分母的各项系数都化为整数. 1.03x 0.02y3.2x 0.5y3 x 二1-x32吏52y分式的性质 1.03x 0.02y3.2x 0.5y1.03x 0.02y1003.2x 0.5 y 100103x 2y320x 50y32-x - y一-x - y32-x y 12435 y 1229x 8y4x 30 y 103x 2y 320x 50y 9x 8y4x 30 y不改变分式的值,把下列各式

15、分子与分母的各项系数都化为整数。(1)0.3x 1.2 .0.05x 1，11-x - y(2) -5-71x 0.1y 2分式的性质(1)原式0.3x 1.2200.05x 1206x 24x 20【例19】(2)原式11x y 70571-，-x 0.1y70214x 10y35x 7y(1)一 x 20 14x 10y35x 7y不改变分式值，使下列各式分子与分母中的最高次数项的系数为正数:32a a 5-2353 a a【解析】(1)原式【答案】(2)原式2 c2a 2 a22a a 5-233 a a23 aF a(1)a2 232a aa a【例20】求下列各组分式的最简公分母(4

16、)23a1>2 )-277a1 2a aa12x 4x 5x 3x 2x 3x 10222a ab ab a-2) 2) 22a ab b ab a b321-2)2 ) -2x 18x 8181 x x 18x 81【考点】分式的性质【关键词】最简公分母【答案】7(1 a)2(1a)(x5)( x1)(x 2);ab(a b)(a22b)；(x 9)2(x 9)2【例21】通分：3c 28x yn512x yz m20xy3z1 x2LAmnmn(4)(ax(x 1) 1x T xb)(a c)2一 )-21 x 2x 1(b c)(b a)(c a)(c b)【考点】分式的性质【关键

17、词】通分3【答案】38x y245 xy z3cc 33,120x y z512x3yz50y2120x3y3z先分解因式，而后找公分母为2x 1 (x 1) (x 1) x2 12x(x 1) x(x 1)(x 1) x先分解因式，而后找公分母为2 znn (m n)2m mn mn(m n)(m n)x(x 1)(x_3 20xy3z1)2 x2(x 1)1 x(x 1)(x 1)2mn(m n)(m n)mn(4)18x2120x3y3z2x 2x一 2 /一 、m (m n) mn(m n)(m n) 12x(x 1)2x(x 1)(x 1)mnmn(m n)(m n)(a b)(a

18、c) (a b)(b c)(c a)(b c)(b a) (a b)(b c)(c a)(c a)(c b) (a b)(b c)(c a)【例22】下列分式中，哪些是最简分式？若不是最简分式，请化为最简分式。(1) x 24x 4 x 463a a b(2) r4 b a22x y(3) y(4)2x 2x 1c 22x 8x 83）和（4）。（1）和（2）分【关键词】最简分式 【解析】分式的分子和分母中没有公因式的分式是最简分式。因此最简分式是（2yx2y3x 2 3a a b别化简得=和x 24最简分式是（3）和（4）。（1）和（2）以下分式化简： 4x 2 2x 2 ;6x 1 3x 1有（）A.1个B.2个C