不等式恒成立问题及能成立问题

1、精品文档8欢在下载例谈不等式恒成立问题和能成立问题的解题策略谈2008年江苏高考数学试卷第14题摘要：所有问题均可分成三类：包成立问题、能成立问题和不成立问题。例谈不等式包成立问题和能成立问题介绍了解决不等式包成立问题和不等式能成立 问题常用的直接法、分离参数法、分类讨论法、数形结合法等，采用了等价转化 的处理策略。关键词：分离参数、分类讨论、数形结合、等价转化，换元，求最值。2008年江苏高考数学试卷第14题是一道很好的包成立问题：设函数f(x) ax3 3x 1(x R)若对于任意x 1,1都有f(x) 0成立，则实数a的值为。解析如下：析：将f(x) 0中的a,x分离，然后求函数的最值。

2、1,1都有f(x) 0成立，函数f(x) ax3 3x 1(x R)对于任意 x解：函数f(x) ax3 3x 1(x R)若对于任意x1,0 ,x 0,1及其x 0有f(x) 0都成立。13、一 1 一.右 x 1,0 , f(x) ax 3x 1 0 a - 2,设 t 一则 t 1 xxx13 Q 9A322t3 3t2(t 1),令 yt3 3t2(t1),则 y 3t2 6t 0x xy t33t2(t1)单调递减，yminyr1(1)33(1)24, a 4 (1)若 x 0,1 , f (x) ax3 3x 1 0 a y ，设 t 。，则 t 1 x xxt3 3t2(t1),

3、令 y t3 3t2(t 1),则 y 3t2 6t 3t(t 2),x x当 1 t 2 时 y 0 , y23 3 224, a 4 (2)t3 3t2(t 1)单调递增；当t 2时y 0 ,y t3 3t2(t 1)单调递减，Ymaxyt 2若 x 0 则 a R, f (x) 0成立(3)由题意知(1) (2) (3)应同时成立 a 4 解题中采取了不等式包成立问题的处理策略1、若 f(x) a)CtxCD恒成立，只须 f(x) min(x C D)a 即可。2、若f(x) &a对xCD恒成立，只须f(x) max(x C D)w a即可。该题在考查学生基础知识的同时，注意考查

4、了考生的分类讨论的思想、换元 的思想等，是一道突出理性思维、考查学生潜能及数学素养的题目。2000年上海高考数学试卷也考了一道不等式包成立的题目，解析如下2 2已知函数 f(x)= -一2-a ,x e 1,). x(1)当a=1时，求函数f(x)的最小值；2(2)若对任意的xCi, ), f(x) 0包成立，试求a的取值范围。析：由于xC1,) , f (x) 0x2 2x a 0化繁为简。解：(1)当a 1时，f(x) x 2 , f(x)在区间1,)上为增函数，f (x)22x在区间1,)上的最小值为f (1) 72x2 2x a(2)在区间1,)上，f(x) 0包成立x2 2x a 0

5、恒成x立，设 y x2 2x a, x 1,) , y x2 2x a (x 1)2 a 1 递增，.,当x 1时，ymin 3 a ,于是当且仅当ymin 3 a 0时，函数f(x) 0包成立，故a 3本题着重考查了函数思想和等价转化的思想。通过对前面的两个高考题的分析我们可以得出结论：解不等式包成立问题，首先要构建函数模型，然后求这个函数的最值，最后采取不等式包成立问题的处 理策略进行求解。等价转化是思想，构建函数模型是手段，求函数的最值是关 键。下面就不等式包成立问题谈几种解决方法，以期对读者有所启迪。 一、直接法2 1例1.已知x 0, y 0,且一 一 1,右x 2y m 2m包成立

6、，则头数m的取 x y值范围是.析：本题可利用不等式求最值解：x 2y (x 2y) (2 1) 4 (4-y ) 8,而 x 2y m2 2m 对 x 0, y 0 xy xy恒成立，则m2 2m 8,解得4 m 2例2 .若不等式4x 2x 1 a >0在1 ,2上恒成立，则实数a的取值范围为析：本题可转化为求二次函数的最值,.、，-2、，解：令 y 42 a,x1,2，则 y 2x1a 1,x1,2 而2 24所以ymin(21)2 a1a ,因不等式4x2x 1 a>0在1 , 2上包成立所以yma 0 ,即a 0例 3.已知函数 f(x) 2sin2 - x 73cos2

7、x , x ,. 44 2(1)求f (x)的最大值和最小值；(2)若不等式f(x) m 2在x -,-上恒成立，求实数m的取值范围. 4 2析：|f(x) m 2 f (x) 2 m f(x) 2 , m f(x)max 2 且 m f 汉濡 2,3cos2x 1 2sin 2x - 3' 3,f(x)max 3, f (x)min 2 -3解：(1) = f (x)1 cos 2x43cos 2x 1 sin 2x2丁7 .兀 兀7t兀，2 兀 目门 c V- / C C又, x ,，.二W 2x W BP 2 W 1 2sin 2x4 2633(2) |f(x) m|2 f(x)

8、 2 m f(x) 2兀兀4,21 mf(x)max 2 且 m f(x)min 2 , .1 m 4,即m的取值范围是(1,4).、分离参数法例4.关于x的不等式x2 9x2 3kx在1,5上恒成立，则实数a的范围析：含参问题的考察始终是高考的热点,要善于对问题先观察思考后动手,避免x 3 0,x 3时，右边取最小值6, k不必要的麻烦。解析一：两边同除以x,则k x 9x当且仅当x 3,两等式同时成立，所以解析二：(提示)可分1 x 3和3 x 5讨论.求分段函数的最小值.答案：k 6.例5.若a,b均为正实数，且 1 jb-a mjb包成立，则m的最小值是析：参数分离/Jb a m

9、74; m最后采取不等式包成立问题的处理策略求解：因a,b均为正实数，石Jb a*3 b,然后求3加最值,m的最小值m亚 m $a卜b ,根据基本不等式2(a2 b2) (a b)2,(a 0,ba . b a m.6恒成立三、等价转化法例6.已知函数f(x) x2若"*)在1,alnx(x 0),)上单调递增，求a的取值范围;m V2 ,则m的最小值是72析：本题的实质由f x 0在1,)上恒成立，求a的取值范围解： 由 fx x2 a ln x, # f x 2x -22- a xx x若函数为1,)上单调增函数，则f' x0在1,)上包成立即不等式2x马 a 0在1,)

10、上包成立.也即a - 2x2在1,)上包 x xx成立.22令(x) - 2x ,上述问题等价于a (x)max,而(x) - 2x为在1,) xx上的减函数，则(x)max(1) 0,于是a 0为所求例7.已知函数f(x) ex kx, x R若k 0,且对于任意x R, f(x) 0包成立，试确定实数k的取值范围；析：本题可利用f(x)是偶函数.将问题等价转化为：已知f(x) 0对任意x0 成立，确定实数k的取值范围.解：由f( x) f(x)可知f(x)是偶函数.于是f(x) 0对任意x R成立等价于f (x) 0对任意x0成立.由 f (x) ex k 0 得 x Ink.当 k (0

11、1时，f (x) ex k 1 k> 0(x 0).此时f(x)在0,)上单调递增.故f(x)为f(0) 1 0,符合题意.当 k (1,)时，Ink 0 .当x变化时f (x), f (x)的变化情况如下表:x(0,ln k)ln k(ln k,)f (x)0f(x)单调递减极小值单调递增由此可得，在0,)上，f(x)> f(ln k) k kln k.依题意，k kln k 0,又 k 1, 1 k e.综合，得，实数k的取值范围是0 k e.例8.已知P: 2x2-9 x+a < 0, q： x 4x30且 p是q的充分条件，求实 x2 6x 8 0数a的取值范围.析：

12、B A x B x A,即A中的不等式对于B中的x恒成立 2x4x 3 0解：由 q：2得 q:2<x<3x6x 8 0设 A= x |p = x | 2x2-9x+a<0, B= x | q = x | 2<x<3p q, q p ,BA 即 2<x<3 满足不等式 2x 2-9x+a<02vx<3 满足不等式 a<9x-2x 2当 2<x<3 时，9x-2x2=-2(x2-x+81- 81) =-2(x- -)2+81216 16489<9x-2x 2 0 81aw 98评：以上三例均是将它们转化为不等式包成立问

13、题。等价转化就是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法。通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单的问题。历年高考，等价转化思想无处不见，我们要不断培养和训练自觉的转化意识， 这将 有利于强化解决数学问题的应变能力，提高思维能力和解决数学问题的技能、技 巧。四、数形结合法根据包成立不等式的特点，通过挖掘几何图形含意，利用函数图象的高低位置关 系找出参数的变化范围.例9.不等式axw，不4 x)在x C 0,3内恒成立，求a的变化范围.解：画出两个函数丫=2乂与丫=/(4x)的图象.(如图) 箝.将 x=3 代入 ax=,又4x),得

14、 a=3 tfj1 231 "* ae 百 a3例1。若在x2 k(x 1) 2对一切0 x 1都成立，则k的取值范围是析：构造两个函数y Ji x2,y k(x 1) 2,半圆y Ji x2应全在直线21y k(x ) 2的下万，其中直线Li过点(0, 1 )斜率为2,直线L2与 2I.1y百"了(0 x 1)相切斜率为4 2713 ,画图易得：4 2"13 k 233评：数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化， 充分利用这种转化，寻找解题思路，可使问题化难为易、化

15、繁为简，从而得到解 决.华罗庚先生说得好：“数形本是相依倚，焉能分作两边飞；数缺形时少直觉，形 缺数时又t入微；数形结合百般好，隔裂分家万事休；几何代数统一体，永远联系莫 分离”。五、“能成立”与“包成立”的问题“能成立”与“恒成立”的问题分属于“存在性命题”和“全称命题”的范畴， 应区别对待。例11.若关于X的不等式x2 ax a3的解集不是空集，则实数a的取值范围是.析：“关于x的不等式x2 ax a3的解集不是空集，等价于x2 ax a 3 0有解，则min(x2 ax a 3) 0”与“关于x的不等式x2 ax a 3的解集是R ,等价于x2 ax a 3 0包成立，则max(x2 a

16、x a 3) 0”不同，应加以体会。解：设f x x2 ax a.则关于x的不等式x2 ax a 3的解集不是空集f x3在，上能成立 口所x 3,即 fmin xJ4a一a3,解得 a 6或 a 24评：不等式能成立问题的处理策略：1、若 f(x) > a M x D 能成立，只须 f(x) max(x D)>a 即可。2、若f(x) &a对xCD能成立，只须f(x) min(xCD)&a即可例12.若存在a 1,3,使得不等式ax2+(a2)x2>0成立，则实数x的取 值范围是.析：一方面要进行主次元的转换，把不等式ax2+(a2)x 2>0看成关于

17、a的不等式，另一方面利用不等式能成立的条件求实数x的取值范围。解：令f(a) ax2 (a 2)x 2 (x2 x)a 2x 2可看成关于a的一元一次函数，存在aC1, 3,使得不等式ax2+(a2)x2>0成立的条件为f(a)max 0只须 f(a)min 0 或 f(a)man 0,f(1) 0或 f (3) 0,即 x2 x 2 0或 3x2 x 2 0,贝 Ux1或 x 23综上所述：不等式包成立问题的处理策略是：1、若 f(x) a)CtxCD恒成立，只须 f(x) min(x C D)a 即可。2、若f(x) &a对xCD恒成立，只须f(x) max(x C D)w a即可。不等式能成立问题的处理策