河南省信阳市2019-2020学年高三第一次教学质量检测数学(文)试题(解析版)

1、20192020 学年普通高中高三第一次教学质量检测 数学（文科） 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。考生作答时，将答案答在答题卡 上，在本试卷上答题无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。注意事项：1. 答题前，考生务必将本人的姓名、准考证号等考生信息填写在答题卡上，并用铅笔将准考 证号填涂在相应位置。2. 选择题答案使用 2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择 题答案使用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3. 请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。4. 保持卡面清洁，不折叠，不破损。第卷

2、一、选择题：本大题共 12 个小题每小题 5分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .1.已知集合 Ax|x 2x 0 ，B 1,0,2,3，则 A I B （）A. 0,1,2B. 0,2C. 1,3D.1,0,1,2,3【答案】 B【解析】【分析】解不等式求出集合A ，利用交集的定义得到结果 .【详解】 A x2x 2x 0 x0x2AI B 0,2本题正确选项： B【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，属于基础题2.若 0xy 1 ，则A. 3y3xB. logx 3log y 3C. log4xlog 4 y1xD. ( )x(14)y44答案】 C解析】

3、详解】试题分析： y 3x 为增函数且 x y ，所以 A 错误 .y log3 x为增函数且 0 x y 1，故 log3x log3 y0 ，即 log x 31log y 30，所以 logx3 log y 3，所以 B 错误；x1y 1 为减函数且 x y ，所以 D 错误 .4y log4 x为增函数且 x y ，故log 4 x log4 y 故选 C.考点：比较大小 .3.设 x R ，则“ x 1”是“ x x 2 0 ”的（ ）A. 充分不必要条件C. 充要条件【答案】 A【解析】由 x x 2 0 ，解得 ( , 2) ，由 ( ,1) (B. 必要不充分条件D. 既不充分

4、也不必要条件, 2) ，可知“ x 1”是“ x x 2 0 ”的充分不必要条件，选 A.4.已知向量 a,b ，若 av (1,0) 且 |a|=| b |，则下列结论错误的是 ( )A. av b 的最大值为 2 B. |a b |的最大值为 2 v v v v v v v vC. 当 a b 最大时 av b 1 D. 当|a b|最大时 av b 1【答案】 C【解析】【详解】因为 a (1,0) ，且 |ar | |br |，所以 |a| |b| 1当 |a b |最大时， a, b共线且反向， |a b|的最大r r r r r r r r值为 2，a b1，故 A正确，C错误；当

5、|a b|最大时， a,b共线且同向， |a b |的最大值为 故 B 正确， D 正确故选 C 5.如图 1是某条公共汽车线路收支差额y 与乘客量的图象 .由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为盈的建议，如图 2、3所示 .你能根据图象判断下列说法正确的是(图 2 的建议为减少运营成本；图2 的建议可能是提高票价；图 3 的建议为减少运营成本；图3 的建议可能是提高票价A. B. C. D. 答案】 A解析】分析】 根据题意知图象反应了收支差额 y与乘客量 x 变化情况 ,即直线的斜率说明票价问题 ,当 x 0的点说明公 司的成本情况 ,再结合图象进行说明 .【详解】根据题意和图

6、 (2)知,两条直线平行即票价不变 ,直线向上平移说明当乘客量为 0 时,收入是 0,但是支出解析】分析】 根据命题的否定 ,否命题 ,原命题与其逆否命题等价和复合命题的真值表逐个分析可得函数 ycos(1 x2),再把 y1 cos( x2） 向左平移个单位长度 ,6得到 ycos1 ( x26) )cos(1 x2 12因为函数1 y cos(2x12） 的图象关于 x所以 x2 时, y11, 即 cos(2)2 12所以 cos( )31,所以3k ,kZ,所以k ,k3Z,),2 对称 ,详解】选项 A,”存在 ”改”任意” ,等”于”改”不等于 ”正,确;选项 B ,原命题为假命题

7、 （可能得 x 2 ）,所以逆否命题也是假命题 ,正确;选项 C ,写否命题时 ,既否定条件又否定结论 ,正确;选项 D ,容易判断命题 p与q都是真命题 ,所以“p q ”为真命题 .错误.故选 D .7.将函数 f x cos x2 图象上各点的横坐标伸长到原来的 2倍（纵坐标不变） ，再把得到的图象向左平移 个单位长度，所得函数图象关于 x 对称，则 sin 等于（ ）621 A.2C. 12D. 23答案】 D解析】分析】根据图象变换可得 ycos(1 x2 12） ,再根据图象关于 x 2对称,可得 cos（3）1,结合 | | 2可得3 ,由此可得sin 的值 .详解】将函数 fc

8、os x2 图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变） , 得到1,因为 | | 2 ,所以 k 0,所以 sin sin( 3)故选 D .点睛】本题考查了三角函数的周期变换和相位变换,还考查了对称轴 ,属于中档题 .注意 ,相位变换时 ,要把 x的系数提出来 ,按照左加右减变形 .8.已知函数 f x x 1 ax b为定义在 R 上的偶函数，且在 0, 单调递减，af 3 x 0 的解集为（ ）A. 2,4B.,2 U 4,C. 1,1D., 1 U 1,答案】 A解析】分析】利用函数的奇偶性的性质求出a、b关系， 结合函数的单调性，判断 a的符号， 结合元二次不等式的解法进行

9、求解即可 .详解】 f x x 1 ax bax2 b a x b ，若 f x 是偶函数，则 b此时 f x axQfx 在 0, 单调0，则 af3xa223x即不等式的解集为 2,4故选： A0等价为1 ，得 11 0 ，点睛】本题考查了利用函数的奇偶性求参数值、一元二次不等式的解法，属于基础题9.已知函数 f4x ,gxxx 2xa ，若x12,3 ,x22,3，使得 f x1g x2 ，则实数 a 的B.D.试题分析：由题意知，当 x1112,3时，由f444 ，当且仅当2xxgx 4 时，即 x 2 等 x号是成立，所以函数的最小值为4，x22,3时，x 2 a 为单调递增函数，所

10、以g x ming 2 a 4 ，又因为 x1112,3, x22,3 ，使得x11g x2 ，即 f x 在 x 2,3的最小值不小于 g x 在 x 2,3 上的最小值，即a4 4，解得 a 0 ，故选 C取值范围是(A. a 1C. a 0答案】 C解析】考点：函数的综合问题方法点晴】本题主要考查了函数的综合问题，其中解答中涉及到基本不等式求最值、函数的单调性及其1,3 的最小值2应用、全称命题与存在命题的应用等知识点的综合考查，试题思维量大，属于中档试题，着重考查了学生 分析问题和解答问题的能力， 以及转化与化归思想的应用， 其中解答中转化为 f x 在 x不小于 g x 在 x 2,

11、3 上的最小值是解答的关键10.如图，有四座城市 A、B、C、D，其中B在A的正东方向，且与A相距120km，D在A的北偏东 30° 方向，且与 A相距 60km； C在 B的北偏东 30°方向，且与 B相距 60 13km ，一架飞机从城市 D出发以360km/ h的速度向城市 C飞行，飞行了 15min ，接到命令改变航向， 飞向城市 B ，此时飞机距离城市 B有A. 120kmB. 60 6kmC. 60 5kmD. 60 3km【答案】 D【解析】【分析】先判断三角形 DAB 为直角三角形 ,求出 BD ,然后推出 CBD 为直角 ,可得 CD ,进一步可得 cos

12、 BDF ,最 后在三角形 EDB 中用余弦定理可得 BF .【详解】取 AB的中点 E,连DE ,设飞机飞行了 15分钟到达 F 点,连BF ,如图所示 :则BF即为所求 .因为 E为AB的中点,且AB 120km,所以 AE 60km,又 DAE 60o, AD 60km,所以三角形 DAE为等边三角形,所以 DE 60km,ADE 60o ,在等腰三角形 EDB 中, DEB 120o ,所以 EDBEBDo30o,2120260210800 ,所以BD60 3km,因为CBE 90o30o120o,EBD30o,所以 CBD所以CDBD2BC210800 60213 240 km,所以

13、cosBDCBD60 33,CD2404因为DF360 190km,所以4所以在三角形 BDF 中 ,90o,ADB 90o ,由勾股定理得 BD2 AB2 AD22 2 2BF2 BD2 DF 2 2 BDgDFcos BDF (60 3)2 902 260 39010800,所以 BF 60 3 km.故一架飞机从城市 D出发以 360km/ h 的速度向城市 C飞行，飞行了 15min ，接到命令改变航向，飞向城 市 B ，此时飞机距离城市 B 有 60 3km.故选 D .【点睛】本题考查了利用余弦定理解斜三角形,属于中档题 .11.已知函数 f x 对任意 xR ，都有 f x 6x

14、0,yf x 1 的图象关于 1,0 对称，且f24, 则 f2014A. 0B.4C.8D. 16【答案】B【解析】【详解】试题分 析 ： 函数fx对 任 意 x R ， 都 有,因此函数的周期 ，把 的图象向左平移 1 个单位的的图象关于 对称，因此函数 为奇函数，f (2014) f(167 12 10) f (10) f (10 12) f ( 2) f (2) 4 ，因此答案为 B.考点： 1、函数的周期性； 2、函数图象平移； 3、函数奇偶性的应用 .lnx,x 112.已知函数 f (x)1(a 为常数，e 为自然对数的底数)的图象在点 A e,1 处的切1(x 2)(x ea)

15、,x 1线与该函数的图象恰好有三个公共点，求实数a 的取值范围是( )A. 3 2 2 a322B.3 2 2 a23C. a 3 2 2 或3 2 2 a23D.3 2 2 a答案】 C解析】分析】 首先求得切线方程，然后将问题转化为二次函数在给定区间上有两个交点的问题，最后分类参数，结合对 勾函数的性质可得实数 a 的取值范围 .11【详解】由 f(x) ln x ， x 1，得 f x ， f ' exe1f (x)在点 A e,1 处的切线方程为 yx ，e函数 y由联立方程组可得：化简得： x2 (1 a)x2a0，Q 切线与该函数的图象在e,1只需要满足在当 x1xe1(x

16、 2)(x a)e点有一个交点，1时有两个不相同的交点，很明显 x 2 不是函数的零点，整理方程可得：x2 x 2x2x 2 x 23，y，其中x 1,x23有两个不同的交点，问题转化为函数绘制函数23a 与平移之后的对勾函数 y当 x 2 时， y x 22 3 的图像如图所示，x2且当 x 1时， y x 2x222 2 3，x22，3232 结合函数图像可知，实数 a的取值范围是： a 3 2 2 或 3 2 2 a 2 .3 故选 C.【点睛】本题主要考查函数切线方程的求解，由函数的零点个数求参数的取值范围，等价转化的数学思想 等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力 .第卷二、填

17、空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20分，把答案填在答题卡的相应位置 .13.函数 y loga x 1 4的图象恒过定点 P，点 P 在幂函数 f x 的图象上，则 f 3 .【答案】 9【解析】【分析】令真数为 1,可得定点 P的坐标 ,用待定系数法设出幂函数解析式 ,代入 P的坐标 ,可得幂函数解析式 ,从而可得 f(3) .【详解】令 x 1 1,得 x 2此时 y 4 ,故P(2, 4 ) ,设幂函数解析式 f(x) x , 依题意有 f (2) 4,即 24 ,解得2,所以 f (x) x2 , 所以 f (3) 32 9.故答案为 :9 【点睛】本题考查了对数型函数

18、过定点问题,幂函数概念 ,待定系数法 ,属于基础题 .14.已知向量 ar (1, 3), b 3，向量 ar 与向量 br 的夹角为 120 ，则 arg ar b .【答案】 7【解析】【分析】 根据平面向量的数量积公式可得 .【详解】因为 ar (1, 3) ,所以|ar | 1 ( 3)2 2,r r r r 1 所以 ar b |ar |b | cos120o 2 3 ( )3,2 rr 所以 argar bar 2 ar br 22 ( 3) 4 3 7.故答案 :7点睛】本题考查了平面向量数量积,属于基础题1 垂直，x15.已知函数ax(a 0 且 a 1) ，若曲线 y f x

19、 在点 0,f 0 处的切线与直线 y x则 a 的值为 .1 【答案】 1e【解析】【分析】根据导数的几何意义求得切线的斜率 ,再根据两直线垂直 ,斜率的乘积为 1列方程可解得 .【详解】因为函数 f x ax(a 0且 a 1),所以 f (x) ax lna,所以 f (0) a0 ln a lna ,所以曲线 y f x 在点 0, f 0 处的切线的斜率为 lna,11依题意可得 lna 1,所以 a e1 .e1 故答案为 1 .e【点睛】本题考查了利用导数的几何意义求切线的斜率和两直线垂直与斜率的关系,属于中档题16.函数fx3sinx 4cosx ，若直线 x是曲线 ycos2

20、sincos .【答案】1925【解析】【分析】引入辅助角 ,根据对称性的性质可得 ,sin()1,从而x 的一条对称轴，则k2 ,k Z,结合诱导公式和二倍角公式可求得 .【详解】因为 f x 3sinx 4cosx345( sin x cosx)55令 cos34,sin,55则 f (x)5(sin xcos cos x sin )5sin( x ),因为直线 x 是曲线 y f x 的一条对称轴所以k,kZ,2所以2 2k2, k Z,所以cos2cos(2k2)cos22cos 21 2 (3)2175251114312sincossin2sin(2k2)sin2sin cos222

21、55257 1219所以cos2sin cos25 2525.19故答案为 :所以k2 ,k Z ,25点睛】本题考查了三角函数的辅助角公式,函数的对称性 ,诱导公式和二倍角公式,属于中档题 .三、解答题：本大题共 6小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.在 ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c，且 2b 3c cosC 3a cosA1）求 A 的值；2）若 B=30°，BC 边上的中线 AM= 7 ，求 ABC 的面积答案】 （1） A 30o；（ 2） 3解析】试 题 分 析 ：（ 1 ） 利 用 条 件 结 合 正 弦 定 理 可 得

22、 2sinB 3sinC 3sin AcosC，化简整理可得cosA2sin B cosA 3sin B，求出 cosA3 即可；（2）设出边长利用余弦定理建立方程，求出AC BC 2 ，2再利用面积公式即可求解试题解析：（ 1） Q 2b 3c3acosC cosA2sin B 3sinC cosCcosA3sin A2sin BcosA 3 sin( AC)Q sin(A C) sin B, 2sinBcosA3sin B2因为 sin B 0， 2cos A3，即 cosA又 A （0o，180o），A 30o2) A30o，B30o， C 120o, AC BC设 AC2x,则 CMx

23、 ，在 ACM 中，由余弦定理得： AM 2 AC2 MC 2 2AC MC cosC4x2x2 2x27 ，解得 x 1ACBCS ABC2,S ABC 2S AMC1CM AC sinC21 2 1 3 322点睛：解决三角形中的角边问题时，要根据俄条件选择正余弦定理，将问题转化统一为边的问题或角的问 题，利用三角中两角和差等公式处理，特别注意内角和定理的运用，涉及三角形面积最值问题时，注意均 值不等式的利用，特别求角的时候，要注意分析角的范围，才能写出角的大小18.已知命题 p:方程 ax 1 ax 2 0在 1,1 上有解；命题 q :只有一个实数 x满足不等式2x 2ax2a0，若命

24、题 “p 或q”是假命题，求 a的取值范围 .答案】1,0U 0,1解析】分析】 先分别由命题 p和 q为真求出实数 a 的取值范围 ,再根据补集思想求出命题 p和q为假时实数 a 的取值范围 ,再由命题 “p ”或“q”是假命题 , 得命题 p和 q都为假命题 ,列不等式组可解得 .详解】若 p 为真命题 ,由题意 a0, 所以方程12ax 2 ax 1 0 的解为 1 或 2 aa若方程在 1,1 上有解，只需满足1或1,即a1, 1 U 1,若 q正确，即只有一个实数 x 满足2ax2a0，则有4a2 8a 0，即 a 0 或 2, 若 p 或 q是假命题，则 p 和 q 都是假命题，所

25、以 1 a 1且a 0且 a 2,所以 a 的取值范围是 1,0 U 0,1点睛】本题考查了判断命题的真假,复合命题的真假 ,补集思想 ,方程有解问题 ,一元二次不等式的解的问题属于中档题 .19.已知定义在实数集 R 上的奇函数 f x 有最小正周期 2，且当 x0,1时， f x2x4x）求函数 f x 在 1,1 上的解析式；）当取何值时，方程 f x在 R 上有实数解 .答案】（2xx ,x 0,141 ) f x 0,x 0或 x2xx ,x4x 11 () 1,0解析】分析】()x0 ，或2，或551121,0 时,根据函数为奇函数转化为 （0,1） 上可求解析式 ;x1 时的函数

26、值 ,利用周期为 2 以及奇函数的性质可求得 ;从而可得 1,1上的解析式 ;（）因为函数的周期为2,所以问题转化为 : 当 取何值时，方程 fx在 1,1上有实数解 . 然后根据分段函数的值域可得 .详解】（ ）若 x1,0 ，- x? (0,1) ，2x4 x 1又 f x为奇函数，2x4 x 12xx 4 x 12x4x1又因为函数的周期为 2,xx，所以 f 1 f 1 2 f (1)，因为 f （x） 为奇函数 ,所以 f 1 f 1 ， f 1f102x ,所以 f x4x 1,0,2x4x 10x1x0或x1或x11x0fx2x14x 12x12x )若 x 0,1 ，设t2x,

27、则 t(1,2)又y所以所以1t,y1 在 t (1,2) 上为增函数 t1t1t20,即 2x12x若x1,0 ，(2,52),2,52 ，2x4x2x1，2x同理可得的取值范围是0，2，或25512.点睛】本题考查了利用函数奇偶性和周期性求分段函数的解析式,分段函数的值域 ,属于中档题20.假设国家收购某种农产品的价格是1.2 元/kg，其中征税标准为每 100元征 8元（即税率为 8 个百分点，8%），计划可收购 kg.为了减轻农民负担，决定税率降低 x个百分点，预计收购可增加 2x 个百分点 . （1）写出税收 y（元）与 x 的函数关系；（2）要使此项税收在税率调节后不低于原计划的7

28、8%，确定 x 的取值范围 .【答案】（1） y 1235m00 400 42x x2 0 x 8 ；（2）0 x 2【解析】【分析】（1）根据题意先求出调节后税率及预计可收购量，税前总金额，最后根据税率公式即可求得税收y （元）与 x 的函数关系；（2）根据原计划税收与税率调节后的税收之间的关系得出关于x 的不等式， 解此不等式即可得 x 的取值范围详解】（ 1）由题知，调节后税率为8 x % ，预计可收购 m 1 2x% kg ，总金额为 1.2m 1 2x% 元，y 1.2m 1 2x% 8 x %3m 400 42x x2 0 x 8125002）原计划税收 1.2m 8% 元， 1.

29、2m 1 2x%8 x % 1.2m 8% 78% ，得 x2 42x 88 0，44 x 2 ，又 0 x 8 ， x 的取值范围为 0 x 2 点睛】本小题主要考查函数选择二次函数模型、二次函数性质的应用、税率等基础知识，属于基础题agb c ，其中向量 a sinx, cosx ，bsinx, 3cosx ，ccosx,sin x ，x R .（ ）若 f55，求 cos2 的值；288（ ）不等式f x m2在x, 上恒成立，求实数 m 取值范围21.已知函数 f x82答案】（ ） 1 7 （） 0,4 24【解析】【分析】（）利用向量数量积公式得到根据已知条件及同角公式解得f （x

30、） 后,再用二倍角公式以及两角和的正弦公式的逆用公式化成辅助角的形式cos 2 3414 ,再将所求变成 cos24os 2,利用两角差的余弦公式求得【详解】 fx agb c()将不等式恒成立转化为最大最小值可解得sinx, cosx gsinx2x m 2在 x 8,2 上恒成立，cosx,sinx 3cosx2 2 2 sin x 2sin xcosx 3cos x 1 sin 2x 2cos x32 cos2x sin2x 2 2sin 2x4则 2 2sin 2345，2，即 sin(234)2，455由88443314即，则 cos 2242443333 3 3则 cos2cos2cos2cos sin 2 sin4444 4 4142221 7 .42424. )若 f )不等式 2 f xm 2 ，即 f x2m f x2在x, 上恒成立，82当 x ,，则 2x，2x3,7，824443则当 2x4，即x 8 时, fx取得最大值，最大值为f x max 2 ， max3 3 3 3 当 2x 4 2 ，即 x 8 时, f x 取得最小值，最小值 f x min 2 2sin 2 2 2 ,得0即实数 m的取值范围是 0,4 23 1 2 3722.已知函数 f x ax3x2