初二年级几何证明例题精讲

1、第3页共11页初二年级几何证明例题精讲【例1.已知：如图6, BCE> 4ACD分别是以BE、AD为斜边的直角三角形，且BE AD, 4CDE是等边三角形.求证： ABC是等边三角形.证明：./ BCE=90 /ACD=90/BCEW BCA廿 ACEbE=ad/ACDWACE它 ECD /ACB力 ECDEC=CD在ECBffi ACDt/BCE之 ACD图6ECM等边三角形. .EC望 ADCA( HL ) ./ECD=60 CD=ECBC=AC即 ACB=60vZ ACB=60. ABC是等边三角形【例2】、如图，已知BC > AB, AD=DC。BD平分/ ABC。求证：Z

2、A+ZC=180 .证明：在BC上截取BE=BA,连接DE,. BD 平分 / BAC ./ABD = /EBD在AABD和AEBD中' AB=EBA /ABD = /EBD、BD=BD ABD 0 AEBD (SAS). ./A=/BED AD= DE vAD=DCDE=DC得 /DEC=/C /BED+/DEC=180°. /A+/C=180°1、线段的数量关系：通过添加辅助线构造全等三角形转移线段到一个三角形中证明线段相等。倍长中线【例.3】如图，已知在 ABC中，C 90 , 于点D.求证：BD 2CD证明：延长DC到E,使得CE=CD,联结AE / C=9

3、0° .AC LCD.CD=CEAD=AE./B=30° /C=90°B 30 , AD 平分 BAC ,交 BC.ADE为等边三角形 .AD=DE .DB=DA .BD=DE BBD=2DCAAD=AECD第3题vZ ADE=60 0丁. / BAC=60 0. AD 平分 / BAC丁. / BAD=30 0DB=DA / ADE=60【例4.】 如图，D是 ABC的边BC上的点，且CD AB, ADB BAD , AE是 ABD 的中线。求证：AC 2AE。证明：延长AE到点F使彳导EF=AE联结DF在4ABE和4FDE中B BE =DEt ZAEB=Z F

4、EDAE=FE .ABE 0 AFDE (SAS) . AB=FD /ABE= / FDE.AB=DCFD = DC . /ADC=/ABD+/BAD ./ADC=/ABD+ /BDA ZABE=ZFDE ./ADC=/ADB+ / FDE 即 /ADC = /ADF 在AADF和AADC中AD=AD/ADF = /ADC DF =DC . ADF0 ADC(SAS)ADB BAD .AF=AC .AC=2AE【变式练习】、如图，ABC中，BD=DC=ACE是DC的中点，求证：AD平分/ BAE.证明：延长AE到点F使彳3EF=AE联结DF在4ACE和4FDE中; CE =DEA /AEC=

5、/FED AE=FE .ACE 公 AFDE (SAS) . AC=FD /ACE= / FDE vDB=ACDB = DF/ADB=/ACD+/CADv AC=DC丁. /CAD=/CDA ./ADB= /ACD+/CDA/ACE=/FDE ./ADB=/ADC+/FDE即 /ADB = /ADF在AADF和AADB中AD=AD/ADF = /ADBD F =DB . ADF0 ADB(SAS) ./ FAD= Z BAD. AD 平分/ DAE【小结】熟悉法一、法三“倍长中线”的辅助线包含的基本图形“八字型”和“倍长中线”两种基本操作方法，倍长中线，或者倍长过中点的一条线段以后的 对于解决

6、含有过中点线段有很好的效果。联结BDBG= BF/BFG=/BGF/ CAD =/BGD ./BFG= /CAD/ BFG=/AFE ./AFE= /FAEAE =AF【变式练习】：如图所示，AD是4ABC的中线，BE交AC于E,交AD于F,且 AC=BF。求证：AE=EF0AD至点G,使得DG=AD ,证明：延长在4ADC和4GDB中AD=GD"/ADC=/GDB' BD=DC .ADC AGDB (SAS)得 AC= BG / CAD = / BGDvAC=BF、借助角平分线造全等【例5】如图，已知在 ABCt, / B=60°,4ABC的角平分线AD,CE相交

7、于点0,求证：0E=0D证明：在AC上截取AF=AE ,联结0F中在ABC, / B+/ BAD廿 ACB=180/ B =60 0 ./ BADi/ ACB=120: AD 平分 / BAC在ACO庄口 COF中丁. / BAC= 2Z OAC/ DCO 之 FCOv CE 平分 / ACBCO=CO在AOEffl AAOFAE=AF/ EAOW FAOAO = AO.AOEA AOF(ASA ./AOEW AOE OE=OFAOE=60°/ AOEV AOE4丁. / ACB= 2/ ACO/ FOC=6OvZ AOE士 COD丁. / COD=60AOE=600FFOC=180

8、Z DOC =FOC2/ OAC+之 ACO=120 .-.CODACOF (ASA ./ OAC它 ACO=60OD =OFv / AOE= / OAC它 ACO. OE=OFZOE=OD【例6】.如图， ABC中，/ BAC=90度，AB=AC , BD是/ABC的平分线,BD的延长线垂直于过C点的直线于E,直线CE交BA的延长线于F.求证：BD=2CE./ 证明：延长BA, CE交于点F,在ABEFffi A BEC中，/1 = /2, BE=BE, / BEF=/BEC=90 , .A BE/ A BEC,EF=EC,从而 CF=2CE。又/ 1 + /F=/3+/F=90°

9、 ,故/1 = /3。在 A ABD和 AACF中，/ 1 = /3, AB=AC , / BAD= / CAF=90ba AABD AAC5 a BD=CF, . . BD=2CE。第5页共11页【小结】解题后的思考：一乂。心于角平行线的问题，常用两种辅助线;D 旋转ADF【例7】正方形ABCW, E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF第4页共11页延长EB到点G使得BG =BE先证明AADF 0 AABE可得至U AF =AG / DAF = / GAB v EF =BE +DF丁 / GAEW FAE/ DAF吆 BAF=90/ GAB =/ FAD 丁. / GAF =

10、900 ./ EAF = 450EF = BE+BG =GE.GAE 0 AFAECBD的大【例8】.将一张正方形纸片按如图的方式折叠，BC,BD为折痕，则小为 90则（1）中结论下AD± C ./ ECB它 AHB=90 ./ ECB它 CHF=90丁. / HFC=90【例 9.如图，已知/ ABC=/DBE=90° , DB=BE , AB=BC . (1)求证：AD=CE ,ADXCE （2）若4 DBE绕点B旋转到 ABC外部，其他条件不变,是否仍成立？请证明提示：/ ABCW DBE =90°丁. / ABC-/ DBCh DBE - / DBC即 /

11、 ABDW CBE ABD 0 CBEAD=CE/ BADW ECB / BAD它 AHB=90【例10.如图在RtAABC中,AB=AC, /BAC=90° ,。为BC中点.（1）写出。点到4ABC三个顶点A、B、C的距离关系（不要求证明）（2）如果M、N分别在线段AB、AC上移动，在移动过程中保持 AN=BM,请判 断AO M N的形状，并退.明你的结论.联结OA则 OAG 口 OABDTE为等腰直角三角形OA=0B=0C ANO0 ABMO( /NOA=OBM可得 ON=OM / NOA2 MOB可得到 / NOM=/AOB=90°【例11如图，已知 ABC为等边三角

12、形，D、E、F分别在边BC、CA、AB 上，且DEF也是等边三角形.(1)除已知相等的边以外，请你猜想还有哪些相 等线段，并证明你的猜想是正确的;(2)你所证明相等的线段，可以通过怎样的变化相互得到？写出变化过程.AE=BF =CD AF=BD =CEABC等边三角形DEF也是等边三角形得至4/ EFD=60 /ABC=60 /AFD力 FBD吆 FDB/AFD之 AFE吆 EFD /AFE4BDF .AEF 里 ABFD同理： AEF ACDE、截长补短【例12、如图，ABC中，AB=2AC AD平分 BAC ,且AD=BD求证：CD!AC第6页共11页B【例13如图，AC/ BD, EA,

13、EB分别平分/ CAB,/ DBA CD过点E,求证;AB = AC+BDA0【例14如图，已知在VABC内， BAC 60 , C 40°, P, Q分别在BC, CABQ+AQ=AB+BP上，并且AP, BQ分别是 BAC, ABC的角平分线。求证: 证明：如图（1）,过O作OD/ BC交AB于D, ./ADO=ABC=180 60° 40° =80° ,又. / AQO =C+/ QBC=80 , ./ADO=AQO又. / DAO= QAO OA=AO .AD董 AAQO .OD=O QAD=AQ又OD/ BP, ./PBOW DOB又./ PB

14、O=DBO ./DBO= DOB .BD=O D又/ BPAW C+/ PAC=70 ,/ BOPW OBA廿 BAO=70 , ./BOPW BPO .BP=OBAB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=AQ+BQ【例15.如图，在AABC中，/ABC=60° , AD、CE分别平分/ BAC、/ACB, 求证：AC=AE+CD .方法同【例5】第10页共11页【例 16】已知：/ 1 = /2, CD=DE, EF/AB ,求证：EF=AC延长FD至点G,联结CG先证明4FDE公GDC得 /EFD = /CGD FE = CG ,EF/AB/ EFD =/1ZCGD=Z 1

15、/ 1 = /2, ./2=/CGDAC= CGv FE = CGEF=AC【例17如图，ABC为等边三角形，点M ,N分别在BC,AC上，且BMAM与BN交于Q点。求AQN的度数。先证明 4ABM 公 ABCN (SAS)可得/ CBN = /BAM/ AQN= / ABQ+ / BAQ. / BAM= / CBN丁. /AQN= /ABQ+/CBN即 /AQN=/ABC = 60 0(4)过图形上某一点作特定的平行线，构造全等三角形，利用的思维模式是全 等变换中的“平移”或“翻转折叠”【例18：如图，A ABC中，AB=AC E是AB上一点，F是AC延长线上一点,连EF交BC于D,若EB=

16、CF求证：DE=DF证明：过E作EG/AC交BC于G,贝叱 EGB= ACB又 AB=AC B=/ACB.B=/EGB EGD=DCF .EB=EG=G F /EDBW CDF . .ADG亳 A DCF .DE=DF【例19】已知：如图，在四边形 ABCD中，AD / BC, BC = DC,CF平分/ BCD,DF/AB, BF 的延长线交 DC 于点 E,求证：(1) ABFCADFC; (2) AD=DE.联结BD证明：v CF平分/ BCD ./BCF=/ DCFftABCFffiADCF 中'BC=CD< ZBCF=Z DCF,CF=CF .BCF 公 ADCF (S

17、AS) .BF=DF(2) v AD / BC ./ADB = /CBD.BC = DC(ASA)/CBD=/CDB ./ADB=/CDBv DF / AB ./ABD= /BDF BF=DF ./ FDB= / FBD ./ABD= / FBD在AABD和AEBD中/ ABD= /EBD BD=BD/ADB= /EDB .ABD 0. .AD = DE EBD(1) AM=AN ; (2)【课堂练习】1 .如图，已知 AE 平分/ BAC , BE 上 AE 于 E, ED / AC , / BAE=36 ° ,那 么 / BED= 126°延长AE交AC于F2 .如图：

18、BEX AC, CFXAB , BM=AC , CN=AB。求证: AM ±ANo【试卷上面的已讲】已知在 ABC中，ABC 45,高AD所在的直线与高BE所在的直线交于点F, 过点F作FG / BC ,交直线AB于点G ,联结CF . (1)当 ABC是锐角三角形 时(如图a所示)，求证：AD FG CD;(2)当BAC是钝角时(如图b所示)，写出线段AD、CD、FG三者之间的数量关系，不必写出证明过程,直接写结论；当BE FE, BD 4时，求FG的长.第27 (b)题可知 zFDC和4AFG都为等腰直角三角形图(b)中第 13 页 共 11 页 ABD 和 ADC 0DC = FDFD=AFCD=FD .FD=DC AF =FG AFG 都为等腰直角三角形AD=AF+FDBDF . AD=FG+DC+AD【总结】常见辅助线的作法有以下几种：1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折” 2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维