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1、2 由平行截面面积求体积面面x = a , x = b 之间之间(ab). , ,xa b 对对作垂直于作垂直于 x 为三维空间中一立体为三维空间中一立体,它夹在垂直于它夹在垂直于x 轴的两平轴的两平 轴的平面轴的平面, ,截得截得 的截面面积为的截面面积为 A(x). abx( )A x( )d .baVA xx证证01: , nTaxxxba b设设是是的的一一分分割割, ,1,( ),iiiixxA xMm上上的的最最大大、最最小小值值分分别别为为 , ,a b 上上连连续续 则则的的体体积积为为若若A(x) 在在iiV 则则第第 个个小小薄薄片片的的体体积积满满足足,iiiiimxVM

2、x于是于是111.nnniiiiiiiimxVVMx,0时时当当T1( )d ,nbiiaiMxA xx 1( )d .nbiiaimxA xx 因此因此.d)(baxxAV例例1 求由两个圆柱面求由两个圆柱面222222xyazxa与与所所围立体的体积围立体的体积.2200,xxax与与立立体体的的截截面面是是边边长长为为的的正正方方形形解解 10.0, ,Vxa先先求求出出立立体体在在第第一一卦卦限限的的体体积积yxzOaaa0 x22( ),0, .A xaxxa所所以以于于是是求求得得9223101688d.3VVaxxa( , ) 0|( )|,Ax yyf xaxb , fa b

3、设设是是上上连连续续函函数数，是是由由平平面面图图形形2( )( ) , , ,A xfxxa b ,x绕绕轴轴旋旋转转一一周周所所得得的的旋旋转转体体 则则2( )d .baVfxx 以下讨论旋转体的体积以下讨论旋转体的体积.例例2222()(0)xyRrrRx求求由由圆圆绕绕轴轴旋转一周所得环状立体的体积旋转一周所得环状立体的体积.解解222()xyRr 的的上上下下半半圆圆分分别别为为,)(222xrRxfy221( ).yfxRrx222221( )( )( )4,A xfxfxR rx 因因此此222208d2.rVRrxxr R从而从而xyORr例例32( , )|01,2x yxxyx求求由由区区域域解解旋旋转转体体由由曲曲线线y绕绕轴轴旋旋转转一一周周所所得得立立体体的的体体积积. .,0,12,1,2yyxyyyy和和轴轴所所围围平平面面图图形形绕绕轴轴旋旋转转一一周周而而得得. .因因此此xyO112102122ddyxyxV 10212d)2(dyyyy 1322107(2).326yyy复习思考题( ), ,Crr * *若若曲曲线线由由极极坐坐 标标方方程程表表示示, ,其其.体积公式体积公式围围成成的的曲曲边边三三角角形形绕绕极极轴轴旋旋转转一一周周所所得得旋旋转转体体的的0.,C 中中试试求求由由曲曲线线和

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