二次根式的混合运算

1、二次根式的混合运算【教学进度】二次根式 11.6【教学内容】二次根式的混合运算【重点难点剖析】一、主要知识点1.有理化因式：见课本 P198第11行第12行2二次根式混合运算(1) 二次根式的加、减、乘与整式的加、减、乘类似，在实数范围内，过去学过的运算律仍然适用。(2 )二次根式的除法，一般是先写成分式的形式，然后通过分母有理化来进行。二、重点剖析1 .有理化因式(1) 二次根式的有理化因式不是唯一的，它可以相差一个常数，例如-.3的有理化因式可以是 -3,2.3,3. 3但在一般情况下，我们所找的有理化因式应是最简单的，例如： 8的有理化因式为, 52 -.5的有理化因式为5、.23、5。

2、(2) 一般常见的互为有理化的两个代数式有如下几种情形：、a禾口 -. a. a ：. b和a -b ； a . b 和口 a - = b ； m. a n i b和口 m . a - n、b2分母有理化的一般方法：用分母的有理化因式同时乘以分子和分母。3.二次根式混合运算注意事项(1) 二次根式的混合运算顺序与实数运算类似，先乘方、再乘除，最后加减，整式与分式的运算法则根式中仍然适用。(2) 二次根式的混合运算结果是根式的，一般应表示为最简二次根式。(3) 二次根式混合运算中，每一个根式可看作是一个“单项式”，多个不是同类二次根式之和可以看成 一个多项式，因此多项式乘法法则及乘法公式在根式运

3、算中，仍然适用，以简便计算。(4) 在二次根式的综合运算中，除按运算顺序进行以外，还要注意分式性质的灵活运用。a + b 11例如可以由出丄二丄 (、3 -，2)( ,2 -1) ( “3 - .2)( . 2-1)-2-1 、3- .2=213.2=12.2.3【典型例题】例1计算(1)1 (2-5)2 3 * -(r)2V522来计算ab a b3 -13 - 一2 、2 -111(4) 、.b -： ( .3.、2)( .3.2)“、.6分析(1)可运用a2 -b2 = (a b)(a -b)计算(2) 每个二次根式分别进行分母有理化，再进行二次根式的加减运算。(3) 把括号中的每一项化

4、成最简二次根式，再根据整式除法法则，1 一 一a -：- b = a 进行运算。b(4 )可把除式成分式，再根据分母有理化进行计算。解(1)原式=5(151 - .5 151 - . 5)2 2)( 2 _ 2),5(2)原式=(5(31)(2 + 巨)2八工 (.3 1)(. 3 -1)(、5-.3)(. 5.3)(2-. 3)(23)(3)原式15 -(7 43)172-4.3=(VmH 一竺 Jmn +1 Vmn) mmma2 - ab 1-mn 122 mn b na2 - ab 12a ab 1a2b2m nmna2b2(4)原式6.3.2.6( 3- .2)(、3、2) .6 -f

5、- -f-3、26( 3、2)( . 3- .2)、6、一 6dd7c= 3.2 -2 31i21 3 =7 I2 -532323例2化简64332(J6 +和3)(丁3+J2)分析 本题如果按一般方法分母有理化，不容易作出来，又不可能直接约分，但如果注意到,6433.2 =(.63)3(、.3、2)，可运用关系：ab1 1-来计算。 a b解原式3 2)(J6 + J3)(J3 22)(6 +P3)(J3 + J2)13=+ .3,26.3-3 - 2- 3 . 6 - - 2例3先化简再求值。a ba- b、a . b)( a - . b) ab( b - . aj ，ab分析 根据本题特

6、点，可先通分做加法，后做除法进行化简，再代入。4 . ab(、a 、b)2，其中a=3， b=4ab解 原弋 I VOb(Ga + 拓)(禹7b) VOb(Ja + Tb)(Vab)爲 Qb _ (一 a i b)2. ab= .ab(i a 、b)(. a b). a - . b_1_ Pa -Vb 7b -7a丄a亠-ba - b4 /3厂当a=3 b=4时 原式=3 - 23-43 2. 32例4 已知X，、二13+72V3_J2求代数式3x2 -5xy - 3y2的值分析先将x, y化简，多项式可用 x+y及xy的形式表示，为此求出 x+y , xy，最后代值计算。解/ X-32 =5

7、-2 6 y-3526心貶、丿3V2x y = 52、652 6 =10 xy =(52.6)(52、6) =1/ 3x2 _5xy 3y2 二 3(x2 y2) _ 5xy = 3(x y)2 _ 2xy _ 5xy2= 3(x 1)-11xy将x+y=10 , xy=1代入，得 原式=3 102 -11 1 = 289例5 设 J1-6.2 的整数部分为x，小数部分为y,求x y -的值。y分析 先对.11二6一2进行化简，11 - 6、. 2可以进行配完全平方。解 11 一6.2 =-2 18 ；( 9)2-2、18 ( 2)2一 9 一 . 2)2=、g -、2 =3 - 2通过估算可

8、知3 - 2的整数部全为1，则y =(3 - 2) -1 =2 - 22J2LL.x y 1(2 - . 2)3 - 22. 2 = 5y2-42例6把下列各式分母有理化(1)122 i.3 - .5(2)分析 分母里所含根号的个数多 于两个，分母有理化时注意技巧，(1 )题可分 子分母同乘以. 5 , (2)题先用因式分解的方法把分母化为积的形式(1)原式12(V2+3 十祁5)_122+ 7 + 5)G 23 - . 5)(.23 .5)2 6=2 33、230(2)原式=1(12). 3(1. 2)1(2 1)( . 31)_(V2-1)&3-1)_ 46-42-431(“2 1)( 3

9、 1)(/2 -1)( 3 -1)2例 7 已知 a = .17 -1，求(a5 - 2a4 - 17a - a2 18a - 17)1999 的值分析 直接把a的值代入代数式计算，显然太繁，可把条件和要求的代数式同时变形，再代入计算 解/ a = 17 -1 a 1 二 17(a+1) 2 =17原式二a5- 2a4-(a1)2 a3 -a2(a 1)21 - (a 1)2严鬥a52a4-(a5 2a4 a) -a2 (a22a 2)a -a2 - 2a-11999“323 小 2 小2 小 八1999, 八1999丿= (-a -a a 2a 2a-a -2a-1)=(-1)= -1点评：

10、由a 1二吋17即(a - 1)2 =17，本题中的-17a3写成- (a - 1)2 a3 , 18a写成17a+a= (a 1)21a，以便对所求代数式进行化简求值例8计算2 -，3 - 2, 3分析 注意；2匚?3 - 2一3 02-. 3,2 3都不能配成完全平方可用方程的思想方法求解。解令 x = 2 - . 3 - 2 - 3 则 x2 = ( 2 一 - 3 - _ 2 、3) X2 = 2 - 3 23 - 2 _ 2 - 一 3 23x2 = 2/x0 x - -、2【巩固练习与测试】=3-2、2 , y 是 x 的倒数，贝U x2y-xy23-23222,y，则x y的值为

11、323 一 211 ：卜 y2=m +厶，贝y1的结果为y y已知x已知x的值为4. 若、2a = a 、2，贝y a 1 =a5. 已知5 -.7的小数部分为a, 5-、. 7的小数部分为b，则ab+5b=6. 化简W八xy垢=7 计算（2.2 - 3、6严（3、一 22、6）、6328.计算 4 - J0 10 - .73,722 35(.23)( 5. 3)求下列各式的值(1) x2 _5xy y21011.已知 a -b = 3、. 2 , b -c = i 3 - 2求 a2 b2 c2 -ab-be-ac的值12.已知a =，求出丄a3 a2 2a 1的值5-1213.已知 a =2 一2b = 2 - .一 2求代数式14.aba . ba -ba . b的值x-24 -x2 x - 2（0 ： x ： 2）15.已知xm,ynT （ n为自然数）In +12 nQn +11 n问n为何值时，代数式19x2136xy19y2的值为1998【练习与测试参政答案或提示2. 9823. m +24.5. 26.7.x+y13/32438. 1.53