小学奥数教程-位值原理.教师版(92)全国通用(含答案)

1、5-7-1.位值原理5-7-1,位值原理.题库教师版page 12 of 12自tM蚱 教学目标1.利用位值原理的定义进行拆分2,巧用方程解位值原理的题助磔俱 知识点拨位值原理当我们把物体同数相联系的过程中，会碰到的数越来越大，如果这种联系过程中，只用我们的手指头， 那么到了 十”这个数，我们就无法数下去了，即使象古代墨西哥尤里卡坦的玛雅人把脚趾也用上，只不过能 数二十。我们显然知道，数是可以无穷无尽地写下去的，因此，我们必须把数的概念从实物的世界中解放出 来，抽象地研究如何表示它们，如何对它们进行运算。这就涉及到了记数，记数时，同一个数字由于所在位 置的不同，表示的数值也不同。既是说，一个数

2、字除了本身的值以外，还有一个位置值”。例如，用符号555表示五百五十五时，这三个数字具有相同的数值五，但由于位置不同，因此具有不同的位置值。最右边的五 表示五个一，最左边的五表示五个百，中间的五表示五个十。但是在奥数中位值问题就远远没有这么简单了， 现在就将解位值的三大法宝给同学们。希望同学们在做题中认真体会。1 .位值原理的定义：同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数值也不同。也就是说，每一个数字除了有自身的一个值外，还有一个位置值”。例如“21在个位上，就表示 2个一，写在百位上，就表示2个百，这种数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理。2 .位值原理的表达形式：

3、以六位数为例：abcdef =aX100000+b M0000+c X1000+dxi00+exi0+f。3 .解位值一共有三大法宝：(1)最简单的应用解数字谜的方法列竖式(2)利用十进制的展开形式，列等式解答(3)把整个数字整体的考虑设为 x,列方程解答目tM作 例题精讲模块一、简单的位值原理拆分【例1】一个两位数，加上它的个位数字的 9倍，恰好等于100。这个两位数的各位数字的和是 【考点】简单的位值原理拆分【难度】2星【题型】填空【关键词】希望杯，4年级，初赛，7题，六年级，初赛，第 8题，5分【解析】 这个两位数，加上它的个位数字的9倍，恰女?等于100,也就是说，十位数字的 10倍加

4、上个位数字的10倍等于100,所以十位数字加个位数字等于100+10=10。【答案】10【例2】 学而思的李老师比张老师大 18岁，有意思的是，如果把李老师的年龄颠倒过来正好是张老师的年龄,求李老师和张老师的年龄和最少是 ?(注：老师年龄都在 20岁以上)【考点】简单的位值原理拆分【难度】3星【题型】填空【关键词】学而思杯，4年级，第5题【解析】解设张老师年龄为ab,则李老师的年龄为 痴，根据题意列式子为：而_布=18,整理这个式子得至|J: 9（b_a）=18,所以b_a=2,符合条件的最小的值是 a=1,b=3,但是13和31不符合题意，所 以，答案为a =2与b =4符合条件的为：24+

5、42 =666岁。【答案】66岁【例3】 把一个数的数字顺序颠倒过来得到的数称为这个数的逆序数，比如89的逆序数为98.如果一个两位数等于其逆序数与 1的平均数，这个两位数是 .【考点】简单的位值原理拆分【难度】2星【题型】填空【关键词】学而思杯，5年级，第3题【解析】设为ab ,即10a +b =10b +a,整理得19a =8b +1 , a=3,b=7,两位数为372【答案】37【例4】 几百年前，哥伦布发现美洲新大陆，那年的年份的四个数字各不相同，它们的和等于16,如果十位数字加1,则十位数字恰等于个位数字的5倍，那么哥伦布发现美洲新大陆是在公元 年。【考点】简单的位值原理拆分【难度】

6、2星【题型】填空【关键词】希望杯，4年级，初赛，10题【解析】 肯定是1XXX年，161 = 15,百位，十位与个位和是 15,十位加1后，数字和是15+1=16,此时 十位和个位和是 6的倍数，个位不是1,只能是2,十位原来是9,百位是4,所以是在1492年。【答案】1492【例5】 小明今年的年龄是他出生那年的年份的数字之和.问：他今年多少岁？【考点】简单的位值原理拆分【难度】2星【题型】填空【关键词】华杯赛，初赛，第 11题【解析】 设小明出生那年是,则1 + 9+a+b=95-10a-b从而 11a +2b=85在 a>8时，11 + 2b>85；在 aw6时，11a+2b

7、<662X9=84,所以必有 a=7, b =4。小明今年是 1 + 9+7+4=21（岁）.【答案】21岁【例6】 将一个数 A的小数点向右移动两位，得到数Bo那么B + A是B- A的 倍。（结果写成分数形式）【考点】简单的位值原理拆分【难度】2星【题型】填空【关键词】希望杯，六年级，初赛，第9题，5分【解析】 将A的小数点向右移动两位则 A变成100倍，即B=100A ,那么B+A=101A , B-A=99A , B + A是B A的空1倍。99101【答案】99【例7】 一个十位数字是 0的三位数，等于它的各位数字之和的67倍，交换这个三位数的个位数字和百位数字，得到的新三位数

8、是它的各位数字之和的 倍。【考点】简单的位值原理拆【难度】3星 【题型】填空【关键词】希望杯，五年级，复赛，第4题，5分【解析】 令这个三位数为a0b ,则由题意可知，100a+b =67（a+b）,可得a=2b,而调换个位和百位之后变为：b0a =100b+a =102b ,而a叱=3，则得到的新三位数是它的各位数字之和的102b-3b = 34倍。【答案】34【例8】 一个三位数，个位和百位数字交换后还是一个三位数，它与原三位数的差的个位数字是7,试求它们的差。【考点】简单的位值原理拆分【难度】2星【题型】填空【关键词】希望杯，四年级，复赛，第 18题，10分【解析】abc_cba个位是7

9、,明显a大于c,所以10+c-a=7, a-c=3,所以他们的差为 297【答案】297 例9 三位数abc比三位数cba小99,若a,b,c彼此不同，则abc最大是【考点】简单的位值原理拆分【难度】2星 【题型】填空【关键词】希望杯，五年级，初赛，第 7题，6分【解析】 由题意，abc+99 =福，有a =c+9 ,要嬴最大，如果a =9,那么c = 0,与cba为三位数矛盾; 如果a =8 ,那么c=9,剩下b最大取7,所以abc最大是879。【答案】879 例10 一个三位数abc与它的反序数cba的和等于888,这样的三位数有 个。【考点】简单的位值原理拆分【难度】2星【题型】填空【关

10、键词】希望杯，六年级，二试，第4题，5分【解析】 显然a+c、b+b者B没有发生进位，所以 a+c=8、b+b=8,则b = 4, a、c的情况有1+7、2+6、 3+5、4+4、5+3、6+2、7+1这7种。所以这样的三位数有 7种。【答案】7个【例11】将2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9这八个数分别填入下面的八个方格内(不能重复) ，可以组成许多不同 的减法算式，要使计算结果最小，并且是自然数，则这个计算结果是 。 -【考点】简单的位值原理拆分【难度】2星【题型】填空【关键词】希望杯，六年级，初赛，第5题，6分【解析】 设原式=abcd_efgh =1000(ae)+100(b

11、 _ f)+10(c _g)+(dh),其中 a , b , c , d , e, f , g,h从29中选择。显然，-7 <a -e, b-f , cg , d h E7 ,要让这个差最小，则应使 ae = 1,b f = 7 , c g = 5, dh = 3,即 a=6, e=5, b=2, f=9, c=3, g=8, d=4, h=7, 这个计算结果是 1000 700 50 -3 = 247【答案】247【巩固】用1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9组成两个四位数，这两个四位数的差最小是 。【考点】简单的位值原理拆分【难度】2星【题型】填空【关键词】希望杯，四年级，复

12、赛，第5题，5分【解析】 千位数差1,后三位，大数的尽量取小，小者尽量取大，最大的可以取987,小的可以取123,所以这两个四位数应该是 4987和5123,差为136.【答案】136【例12】在下面的等式中，相同的字母表示同一数字， 若abcd -dcba =口 997 ,那么口中应 填。【考点】填横式数字谜之复杂的横式数字谜【难度】3星【题型】填空【关键词】华杯赛，五年级，决赛，第3题，10分【解析】由题意知，aR,由差的个位为7可知，被减数个位上的d要向十位上的c借一位，则10+d a=7,即a d=3.又因为差的十位及百位均为 9,由分析可知b=c,故被减数的十位要向百位借一位，百位要

13、向 千位借一位，即(a -1 )-d =2，因此口内应填入2。【答案】2 【例13】某三位数abc和它的反序数cba的差被99除，商等于 与 的差;【考点】简单的位值原理拆分【难度】2星【题型】填空【关键词】希望杯，五年级，初赛，第 6题，4分【解析】本题属于基础型题型。我们不妨设a>b>co(abc-cba)图9= (100a+10b+c)-(100c+10b+a) 99= (99a-99c) C9= a-c;【答案】a与c的差【巩固】ab与ba的差被9除，商等于 与 的差；【考点】简单的位值原理拆分【难度】2星【题型】填空【解析】(ab-ba)匐=(10a+b)-(10b+a)

14、 -9= (9a-9b) -9=a-b;【答案】a与b的差【巩固】ab与ba的和被ii除，商等于 与 的和。【考点】简单的位值原理拆分【难度】2星【题型】填空【解析】(ab+ba)勺1= (10a+b)+(10b+a) 41 = (11a+11b) 41 =a+b。【答案】a与b的和【例14】xy , zw各表示一个两位数，若 xy + zw =139,贝U x+y+z+w=。【考点】简单的位值原理拆分【难度】2星【题型】填空【关键词】希望杯，五年级，初赛，第 5题，4分【解析】 和的个位为9,不会发生进位，y+w=9 ,十位明显进位 x+z=13,所以x+y+z+w=22【答案】22 【例1

15、5】把一个两位数的十位与个位上的数字加以交换，得到一个新的两位数.如果原来的两位数和交换后的新的两位数的差是 45,试求这样的两位数中最大的是多少？【考点】简单的位值原理拆分【难度】2星【题型】解答【关键词】美国，小学数学奥林匹克【解析】设原来的两位数为ab,交换后的新的两位数为 ba,根据题意，ab -ba=(10a +b) -(10b a)=9(a -b)=45, a b=5，原两位数最大时，十位数字至多为 9,即a =9 , b =4 ,原来的两位数中最大的是94.【答案】94【例16】一个两位数的中间加上一个【考点】简单的位值原理拆分【难度】【关键词】希望杯，六年级，初赛，第0,得到的

16、三位数比原来两位数的8倍小1,原来的两位数是3星【题型】填空13题，6分【解析】 设这个两位数是ab ,则100a+b=8(10a+b)-1 ,化为20a+1=7b,方程的数字解只有 a=1, b=3,原来的 两位数是13。【答案】13【例17】已知一个四位数加上它的各位数字之和后等于2008,则所有这样的四位数之和为多少.【考点】简单的位值原理拆分【难度】3星【题型】解答【关键词】清华附中【解析】 设这样的四位数为 abcd ,则abcd +a +b +c +d =2008 ,即1001a+101b+11c + 2d = 2008 ,贝U a =1或2.若 a =2 ,则 101b+11c+

17、2d =6 ,得 b =c=0 , d=3, abcd =2003 ;若 a=1 ,则 101 b11 打 d107,由于 11c +2d W11 父9+2父9 =117 ,所以 101b 之1007 117 =890 ,所以 b >8 ,故 b为 9, 11c+2d =1007 909=98 ,则 c 为偶数，且 11c 之 982 父 9 =80 ,故 c>7 ,由 c 为偶数知 c =8 , d =5 , abcd =1985 ；所以，这样的四位数有 2003和1985两个，其和为：2003+1985=3988.【答案】3988【巩固】已知 abcd+abc+ab+a =13

18、70，求abcd .【考点】简单的位值原理拆分【难度】3星【题型】解答【解析】原式：1111a+ 111b+ 11c+d= 1370,所以 a=1,贝U 111b+11c+ d= 1370- 1111 = 259, 111b+ 11c+d= 259推知 b=2;则 222+ 11c+ d = 259, 11c+ d=37进而推知 c= 3, d= 4所以abcd = 1234。【答案】1234例18 abcd , abc , ab , a依次表示四位数、三位数、两位数及一位数，且满足abcd abc ab a = 1787, 则这四位数abcd = 或 。【考点】简单的位值原理拆分【而标 3星

19、【题型】填空【关键词】希望杯，4年级，初赛，16题【解析】 原式可表示成：889a +89b +9c+d =1787 ,则知a只能取：1或2,当a =1时，b无法取，故此值舍 去。当a=2时，b=0, c=0或1, d相应的取9或0.所以这个四位数是：2009或2010。【答案】2009或2010【例19】将一个四位数的数字顺序颠倒过来，得到一个新的四位数(这个数也叫原数的反序数 月新数比原数大8802.求原来的四位数.【考点】简单的位值原理拆分【难度】3星【题型】解答【解析】设原数为abcd ,则新数为dcba,dcba -abcd =(1000d +100c +10b +a) -(1000

20、a +100b+10c+d) =999(d - a) +90(c-b).根据题意，有 999(d a)+90(c b) =8802 , 111 x (d a)+10 x (c b) =978 =888+ 90 .推知 d a =8 , c -b =9 ,得到 d =9 , a =1 , c =9 , b =0 ,原数为 1099.【答案】1099【巩固】将四位数的数字顺序重新排列后，可以得到一些新的四位数.现有一个四位数码互不相同，且没有0的四位数M ,它比新数中最大的小3834,比新数中最小的大 4338.求这个四位数.【考点】简单的位值原理拆分【难度】3星【题型】解答【解析】设组成这个四位

21、数的四个数码为a, b , c , d (9 >a >b >c >d >1),贝U有 abcd -dcba =3834 +4338 =8172 ,可得 999(a -d) +90M(b -c) =8172=7992 +180 ,则 ad =8, bc=2, a =9 , d =1 , M =1cb9 +4338 ,且 M 的四位数字分别为 1、c、b、9,由 于8+9=17的个位数字为7,所以b,c中有一个为7,但bc = 2,所以c不能为7,故b=7,c=5, M =1579 +4338 =5917 .【答案】5917 【例20】如果一个自然数的各个数码之积加上

22、各个数码之和，正好等于这个自然数，我们就称这个自然数为 巧数”。例如，99就是一个巧数，因为 9>9+(9+9)=99。可以证明，所有的巧数都是两位数。 请你写出所有的巧数。【考点】简单的位值原理拆分【难度】3星【题型】解答【解析】设这个巧数为ab ,则有ab+a+b= 10a+b, a(b+1)= 10a,所以b+1 = 10, b = 9。满足条件的巧数有：19、29、39、49、59、69、79、89、99。【答案】巧数有：19、29、39、49、59、69、79、89、99。【例21】聪聪和明明做猜数游戏，聪聪让明明任意写出一个四位数，明明就写了明年的年号2008,聪聪让明明用这

23、个四位数减去它各个数位上的数的和，明明得到2008 -(2十0十0+8)=1998,聪聪又让明明将所得的数随便圈掉一个数，将剩下的数说出来，明明圈掉了8,告诉聪聪剩下的三个数是1,9, 9。聪聪一下就猜出圈掉的是8,明明感到莫名其妙，于是又做了一遍这个游戏，最后剩下的三个数是6, 3, 7,这次明明圈掉的数是多少，聪明你猜出来了么？【考点】简单的位值原理拆分【难度】3星 【题型】解答【解析】设任意一个四位数为 Obcd依题意中的计算方法可得abcd -(a +b +c +d) =999a +99b +9c =9(111a +11b +c)即任意一个四位数减去其各个数位数字之和 后的结果是9的倍

24、数，根据被 9整除的数字特点：各位数字之和应是9的倍数，而6+3+7=16,16不是9的倍数，所以圈掉的数字是2。【答案】2 【例22】设八位数A=a0a1a7具有如下性质：a0是A中数码0的个数，a1是A中数码1的个数，a?是A中数码7的个数，则a0+a1+a2+a7=。a5+a6+a7=，该八位数A =。【考点】简单的位值原理拆分【难度】3星 【题型】填空【关键词】学而思杯，6年级【解析】(1)由于a。是A中数码0的个数，ai是A中数码1的个数， ,a7是A中数码7的个数，那么 ao +研+a2+.-+a7表示A中所有数码的个数；而实际上A中共有8个数码，所以 a0 +备 +a2+ +a7

25、 =8 。(2)略(3)a5+%+a7=0 ,说明a5、a6、a7都是0 ,这就表明A的末三位都是0 ,另外还表明 A的各位数码中都没有出现5、6、7,所以A的数码中最大的最多为 4,所以3Wa0 W4。如果a0=3,也就 是A的首位为3,末位都为0,中间的四位中还有一位为 0,另外的三个数之和为 4,只能是2个1和 1个2。由于1出现了两次，所以由=1,由于2和4各出现了 1次，所以a2和a4都是1 ,这样可得A为 42101000。【答案】a0+a1+a2+ +a7 =8 ,a5+a6+a7=0 ,42101000模块二、复杂的位值原理拆分【例23】 有3个不同的数字，用它们组成6个不同的

26、三位数，如果这 6个三位数的和是 1554,那么这3个数字分别是多少？【考点】复杂的位值原理拆分【难度】3星【题型】解答【关键词】希望杯，培训试题【解析】设这六个不同的三位数为 abc,acb,bac,bca,cab,cba ,因为 近=100a+10b+c, 嬴=100a+10c+b ,，它们的和是：222m(a+b+c) =1554 ,所以a +b +c =1554 + 222= 7,由于这三个数字互不相同且均不为0,所以这三个数中较小的两个数至少为1, 2,而7 (1 +2) =4 ,所以最大的数最大为4;又1 +2 +3 =6 <7 ,所以最大的数大于 3 ,所以最大的数为4,其

27、他两数分别是1,2.【答案】1, 2, 4【巩固】有三个数字能组成 6个不同的三位数，这 6个三位数的和是 2886,求所有这样的6个三位数中最小 的三位数的最小值.【考点】复杂的位值原理拆分【难度】3星【题型】解答【关键词】迎春杯， 决赛【解析】设三个数字分别为 a、b、c,那么6个不同的三位数的和为：abc - acb bac bca - cab cba = 2(a - b c) 100 2(a b - c) 10 2(a b c) = 222 (a b c) 所以a+b+c =2886-222 =13 ,最小的三位数的百位数应为1,十位数应尽可能地小，由于十位数与个位数之和一定，故个位数

28、应尽可能地大，最大为 9,此时十位数为13-1-9 = 3,所以所 有这样的6个三位数中最小的三位数为139 .【答案】139【例24】从19九个数字中取出三个，用这三个数可组成六个不同的三位数。若这六个三位数之和是 3330,则这六个三位数中最小的可能是几？最大的可能是几？【考点】复杂的位值原理拆分【难度】3星【题型】解答【解析】设这三个数字分别为 a、b、co由于每个数字都分别有两次作百位、十位、个位，所以六个不同的三位数之和为 222X (a+b+c) = 3330,推知a+b+ c=15。所以，当a、b、c取1、5、9时，它们组 成的三位数最小为 159,最大为951。【答案】最小为1

29、59,最大为951【例25】用1, 9, 7三张数字卡片可以组成若干个不同的三位数，所有这些三位数的平均值是多少？【考点】复杂的位值原理拆分【难度】3星【题型】解答【解析】卡片“喇过来看是“6：作为卡片“9；由第3题的结果可知，1, 9, 7可组成的六个不同的三位数 之和是(1+ 9+7) X222;同理，作为卡片“6； 1, 6, 7可组成的六个数之和是(1 + 6 + 7) X222。这 12 个数的平均值是：(1+9+7) + (1 + 6+ 7) ><222+12 = 573.5。【答案】573.5【例26】a, b, c分别是0 ： 9中不同的数码，用 a, b, c共可

30、组成六个三位数，如果其中五个三位数之和 是2234,那么另一个三位数是几？【考点】复杂的位值原理拆分【难度】3星【题型】解答【解析】由a, b , c组成的六个数的和是 222 M(a+b+c).因为2234 >222父10 ,所以a+b+c >10 .若 a+b+c=11,贝U所求数为 222x11 2234 =208,但 2+0+8 =10 ¥11 ,不合题意.若 a+b+c=12,则所求数为 222 x12 2234=430,但 4+3+0=7=12,不合题意.若 a+b+c=13 ,则所求数为 222 x13 2234 =652, 6+5 +2 =13 ,符合题意

31、.若a+b+c=14,则所求数为 222x14 2234=874,但8十7十4 =19 #14 ,不合题意.若a +b +c >15 ,则所求数 之222 x15 -2234 =1096，但所求数为三位数，不合题意.所以，只有a+b+c=13时符合题意，所求的三位数为652.【答案】652【例27】在两位自然数的十位与个位中间插入09中的一个数码，这个两位数就变成了三位数，有些两位数中间插入某个数码后变成的三位数，恰好是原来两位数的9倍。求出所有这样的三位数。【考点】复杂的位值原理拆分【难度】3星【题型】解答【解析】因为原两位数与得到的三位数之和是原两位数的10倍，所以原两位数的个位数只

32、能是0或5。如果个位数是0,那么无论插入什么数，得到的三位数至少是原两位数的10倍，所以个位数是 5。设原两位数是ab ,则b=5,变成的三位数为 ab5,由题意有100a+ 10b+5= (10a+5) >9,化简得a+ b =4。变成的三位数只能是 405, 315, 225, 135。【答案】三位数只能是 405, 315, 225, 135【例28】一辆汽车进入高速公路时，入口处里程碑上是一个两位数，汽车匀速行使，一小时后看到里程碑 上的数是原来两位数字交换后的数。又经一小时后看到里程碑上的数是入口处两个数字中间多一 个0的三位数，请问：再行多少小时，可看到里程碑上的数是前面这个

33、三位数首末两个数字交换 所得的三位数。【考点】复杂的位值原理拆分【难度】3星【题型】解答【解析】设第一个2位数为10a+b；第二个为10b+a ;第三个为100a+b ;由题意：(100a+b)-( 10b+a) =( 10b+a)- (10a+b);化简可以推得 b=6a, 0<a,b<9,彳# a=1, b=6;即每小时走 61-16=45 ; (601-106)/5=11;再行11小时，可看到里程碑上的数是前面这个三位数首末两个数字交换所得的三位数。【答案】11小时【例29】有一个两位数，如果把数码3加写在它的前面，则可得到一个三位数，如果把数码3加写在它的后面，则可得到一个

34、三位数，如果在它前后各加写一个数码3,则可得到一个四位数.将这两个三位数和一个四位数相加等于 3600 .求原来的两位数.【考点】复杂的位值原理拆分【难度】3星 【题型】解答【解析】设原来的两位数是ab,则得到的两个三位数分别为而和森，四位数为藐3,由题知ab3+3ab +3ab3 =3600 ,即 10 黑ab+3+300 +ab+3003 +10 父 ab =3600 , 21><ab=294,故 ab=14.【答案】14【例30】将4个不同的数字排在一起，可以组成24个不同的四位数(4M3M2M1=24).将这24个四位数按从小到大的顺序排列的话，第二个是5的倍数；按从大到小

35、排列的话，第二个是不能被4整除的偶数；按从小到大排列的第五个与第二十个的差在30004000之间.求这24个四位数中最大的那个.【考点】复杂的位值原理拆分【难度】4星【题型】解答【解析】从题中可以看出，这 4个数都不为0.设这4个不同的数从小到大依次为a,b,c,d,它们组成的24个四位数中，第二小的是 abdc,是5的倍数，又c不为0,所以c = 5.它们组成的24个四位数中，第二大的是dcab ,是2的倍数但不是4的倍数，所以b是偶数，而ab不 是4的倍数.由b是偶数且b<c=5知b为4或2.若为2,那么a=1,但此时 讪=12是4的倍数， 矛盾，所以，又0b不是4的倍数，所以a为1

36、或3.它们组成的 24个四位数中，第五小的为adbc (最小的5个依次为abcd , abdc , acbd , acdb , adbc), 第五大(第二十小)的为dacb (最大的5个依次为dcba , dcab , dbca , dbac , dacb),所以dacb-adbc 得到的四位数的千位为3.由于a<d,所以acb<dbc,那么减法算式中百位要向千位借位，所以d -1 -a =3,故 d =a +4 .又 d >c=5，所以 a >1 ,那么 a =3 , d =7 ,它们组成的24个四位数中最大的为 dcba,即7543.【答案】7543【例31】记四位

37、数 痂为X ,由它的四个数字 a,b,c,d组成的最小的四位数记为X冲，如果X X* =999 ,那么这样的四位数X共有 个.【考点】复杂的位值原理拆分【难度】4星【题型】填空【关键词】迎春杯，高年级，复赛， 8题【解析】X X*=999得到X =999 +X* = X*+1000 1,所以如果a、b、c、d组成的四位数 X*末位数字 不是0,那么X等于将X*的千位数字加1,个位数字减1,反过来X*等于X的千位数字减1,个位 数字加1,所以X”为(a -1 Joc(d +1),与X比较，b和c位置没有换，交换的是 a和d , X"表示为 dbca,可以得到等式a1=d ,即a =d

38、+1 .所以a和d的取值组合，只有 2和1, 3和2,，9 和8,共8种情况.对于其中任意一种组合， 由于福是由四个数字a、b、c、d组成的最小的四位数， 分别考虑b、c中 有0的情况(可能两个都为0;若只有一个0,则b=0 , d <c<a)；以及b、c都不为0的情况(此时 d <b <c <a),可知两种情况下各有 3种可能，共6种可能：d00a, d0da , d0aa , ddda , ddaa , daaa .比如以 a =4, d =3为例，db&可能的取值有 3004, 3034, 3044, 3334, 3344, 34444 这 6 个数

39、.根据乘法原理，满足条件的四位数一共有8黑6=48种.如果a、b、c、d组成的最小的四位数 X*末位数字是0,显然X*的百位、十位都是0,此时a、b、 c、d无法组成其它的四位数，不合题意.由于每一个X *对应一个X ,所以满足条件的四位数 X共有48个.【答案】48【例32】9000名同学参加一次数学竞赛，他们的考号分别是1000,1001,1002,9999.小明发现他的考号是8210,而他的朋友小强的考号是2180 .他们两人的考号由相同的数字组成(顺序不一样)，差为2010的倍数.那么，这样的考号(由相同的数字组成并且差为2010的倍数)共有 对.【考点】复杂的位值原理拆分【难度】5星

40、【题型】填空【关键词】迎春杯，高年级，复试， 14题【解析】设abcd与efgh由相同的数字组成(顺序不一样)，并且2010 abcd -efgh .由于abcd与efgh的数字和 相同，它 们除以9的余数相同，即9 abcd -efgh ,从而6030 abcd -efgh .考虑到 0 <abcd -efgh <9000 ,于是 abcd efgh =6030 , abcd -6030 = efgh .从末位数字可知 d = h , abc603=efg.若 c 3 , abc603 =(a6)b(c 3),但(a6)+b+(c3) =a+b + c _ 9#a+ b + c

41、, (a6)b(c-3) #efg , abc -603 = (a -6)b(c -3) 不 成立. 若 cW2, b=0, abc603=a0c603=(a7)9(c+7),同上知这种情况也不成立.因此， c<2 , b>1 .abc 603=(a 6)(b 1)(c+7) . c+7在这里可能等于 a或者b .如果a = c + 7 ,则b=c+1,此时 (a,b,c)可以等于(7,1,0)、(8,2,1)以及(9,3,2)；如果 b=c + 7,则 a = c+6,此时(a,b,c)可以等于 (7,8,1)和(8,9,2) . (a,b,c)确定之后，再考虑d , d可以等于

42、0,1,2,中的任何一个数字.这样，可 以得到50个不同的abcd ,继而可得到相应的 丽.于是，一共有50对这样的考号，由相同的数字 组成，并且差为 2010的倍数.【答案】50【例33】有一类三位数，它的各个数位上的数字之和是 12,各个数位上的数字之积是30,所有这样的三位数的和是多少？【考点】复杂的位值原理拆分【难度】4星【题型】解答【解析】设这个三位数是abc,则根据题意可得：Ja+b+c12 ,由a Mb xc =3。找突破口，将30分解成3a b c=30个因数相乘，符合 a +b +c =12的即为所求:组成三位数的三个数码只有1,5,6符合要求，即三位数有：156, 165,

43、 516, 561,615, 651。其和为：156+165+516 +561 +615 +651 = 222父(1+5+6) = 2664 【答案】2664【例34】一个三位数除以11所得的商等于这个三位数各位数码之和，求这个三位数是多少？【考点】复杂的位值原理拆分【难度】4星【题型】解答【解析】设这个三位数是 很，则根据题意有：100a+10b+c=(a+b+c)x11 ,化简得a=b1上因为a, b, 89c都是位值，即为一位数，所以 a=1,b=9,c=8。【答案】198模块三、巧用方程解位值原理【例35 有一个两位数，如果把数码1加写在它的前面，那么可以得到一个三位数，如果把 1写在

44、它的后面，那么也可以得到一个三位数，而且这两个三位数相差414,求原来的两位数。【考点】巧用方程解位值原理【难度】3星【题型】解答【解析】本题可以有三种分析方法：方法一：可以用大家喜欢的数字谜的方法来解。列竖式如下：ab1-1ab414分析竖式知1减b不够减，肯定要向前借 1位，即：10+1-b = 4,整理得：b=7, b借1给个位十位，此时6-a= 1,整理得：a=5,经百位计算验证，结果正确。方法二：设原两位数为 ab ,则数码1加写在它的前面为 通，数码1写在它的后面为 ab1 ,分析比较知道ab1 > 1ab ,所 以可以 得到：aH -Tab 4 1 4 (100a + 10

45、b + 1) (100+10a+b) =414 , 90a +9b-99 =414 ,90a+9b=513, 10a+b=57,即： 而二57方法三：设两位数为 x,则有(10x+1) ( 100+x) =414,解得：x= 57。【答案】57【巩固】有一个三位数，如果把数码 6加写在它的前面，则可得到一个四位数，如果把 6加写在它的后面, 则也可以得到一个四位数，且这两个四位数之和是9999,求原来的三位数。【考点】巧用方程解位值原理【难度】3星【题型】解答【解析】本题可以有两种分析方法：方法一：可以用大家喜欢的数字谜的方法来解。列竖式如下：6abc+abc69999分析可得c= 3, b=

46、 6 , a= 3 。方法二：设三位数为 x,则有(6000+ x) + ( 10x+ 6) = 9999,解得：x= 363.【答案】363【例36】如果abM7=a0b,那么ab等于几?【考点】巧用方程解位值原理【难度】3星【题型】解答【解析】本题可以有两种分析方法：方法一：可以用大家喜欢的数字谜的方法来解。列竖式如下：a bX 7a 0 b通过分析b 77 =b知道b =5 ,同时向前进 3,同时ax7+3 =a0 ,知道a =1,所以ab = 15.方法二：将 而父7 =嬴，展开整理得：(aMl0+b)M7 = ax：100+0+b70a 7b =100a b30a =6b5a = b

47、由于位值的性质，每个数位上的数值在09之间，得出a =1 , b=5。【答案】15 【例37】已知1+2+3 +n (n>2)的和的个位数为 3,十位数为0,则n的最小值是 【考点】巧用方程解位值原理【难度】4星 【题型】填空【关键词】华杯赛，决赛，第8题，10分【解析】 根据题意，前n项和等于(1 + n) 小登，而现在的个位为 3,十位上是0,则(n+1)刈的末两位是 06,易知末位是6的连续的两个自然数的成积的末位只能为20或者7乂 8,经试验，最小的n取37时，37X38=1406符合条件，所以n的最小值为37。【答案】37【例38】把7位数2ABCDEF变成7位数ABCDEF

48、2 ,已知新7位数比原7位数大3591333,聪明的宝贝来 求求：(1)原7位数是几，(2)如果把汉语拼音字母顺序编为126号，且以所求得原 7位数的前四个数字组成的两个两位数源和BC所对应的拼音字母拼成一个汉字，再以后三个数字D, E, F分别对应的拼音字母拼成另一个汉字，请写出由这两个汉字组成的词。【考点】巧用方程解位值原理【难度】4星【题型】解答【关键词】2005年，祖冲之杯【解析】(1)设 ABCDEF =x ,根据题意得，(10x+2)(2000000 +x) =3591333 ,解得，x= 621259, 原 7位数是2621259。(2)按顺序写出26个字母，从左到右给每个字母从

49、 126编号，结合2A =26, BC = 21, D = 2, E=5, F = 9,按对应关系有： 26对应Z, 21对应U, 2对应B, 5对应E,9对应I, ZU拼成 祖”， BEI拼成杯”【答案】(1) 2621259, (2)祖杯【巩固】把5写在某个四位数的左端得到一个五位数，把 5写在这个四位数的右端也得到一个五位数，已知 这两个五位数的差是 22122,求这个四位数。【考点】巧用方程解位值原理【难度】3星【题型】解答【解析】设这个四位数为 x,则有：(50000+x) ( 10x+5) = 22122 或(10x+5) ( 50000+x) = 22122, 得，x= 3097

50、 或 x=8013.【答案】*=3097或*= 8013【例39】如果把数码5加写在某自然数的右端，则该数增加 A1111 ,这里A表示一个看不清的数码，求这 个数和Ao【考点】巧用方程解位值原理【难度】3星【题型】解答【解析】设这个数为x,则10x+5-x= A1111 ,化简得9x= A1106,等号右边是9的倍数，试验可得 A= 1, x =1234。【答案】A=1, x= 1234【巩固】如果把数码3加写在某自然数的右端，则该数增加了12345A,这里A表示一个看不清的数码，求这个数和A。【考点】巧用方程解位值原理【难度】3星【题型】解答【解析】设这个数码为x,则有：（10x+3） x

51、= 123450 + A,解得，9x= 123447+A,右边是9的倍数，根据被9整除的数字的特点知道，A=6,故：x=13717o【答案】6【例40】等式：ab54 = 39x1C6恰好出现1、2、3、4、9九个数字， 说代表的三位数是（）。【考点】巧用方程解位值原理【难度】3星 【题型】填空【关键词】华杯赛，决赛，第 3题，10分【解析】根据题意，a、b只能从2, 7, 8里选，而39能被3整除，则a+b+5+4也要能被3整除，则a、b从 2, 7里选，a+b=9或者a、b从7或8里选a+b等于15;或者a、b从2或8里选a+b等于10,若 a+b=9,则左边是9的倍数，而等式39是3的倍

52、数，1+8+6也是，符合，则186 >39=7254,即ObC =728。 若a+b等于15,即0=2,39X126=4914o不符；此题也可以用 126, 176, 186试算。【答案】728 【例41 某八位数形如2abcdefg ,它与3的乘积形如abcdefg4 ,则七位数abcdefg应是多少？【考点】巧用方程解位值原理【难度】4星【题型】解答【解析】设 abcdefg =x,则 2bg=24）x4, abcdefg4 =10x+4 ,根据题意,有（2黑 107+xy<3 = 10x+4 ,得 7x =6 X107 -4 =59999996 ,所以 x =8571428

53、.【答案】8571428【例42】一个六位数abcdef ,如果满足4 M abcdef = fabcde ,则称abcdef为"迎春数"（例如 4 M102564 = 410256 ,则102564就是 迎春数”）请你求出所有 迎春数”的总和.【考点】巧用方程解位值原理【难度】5星【题型】解答【解析】由于是把六位数abcdef的末位f调到首位构成了新六位数fabcde,所以不妨把abcde看成一个整体，设abcdw ,A则根据位值原理可知“迎春数”是（10A + f）,并满足关系式： 4 M（10A+f ）=100000f +A.对等式化简得：39 xA =99996x f .所以：A =2564 f .因为A是五位数，f是一位数，所以f可以为4, 5, 6, 7, 8, 9.而 迎春数 "abcdef =10A +f =10 父2564父 f + f =25641 父 f ,那么，所有 迎春数”的总和是：25641 x（4+5 +6 +7 +8+9 ）=25641 x39=999999.【答案】999999 【例43 设六位数abcdef满足fabcde = f父abcdef，