小学奥数经典应用题工程问题(三).题库版

1、工程问题（三）2-3-5.工程问题.题库教师版page 25 of 19目收唯教学目标1 .熟练掌握工程问题的基本数量关系与一般解法；2 .工程问题中常出现单独做，几人合作或轮流做，分析时一定要学会分段处理；3 .根据题目中的实际情况能够正确进行单位“ 1的统一和转换；4 .工程问题中的常见解题方法以及工程问题算术方法在其他类型题目中的应用.目旧腿知识精讲工程问题是小学数学应用题教学中的重点，是分数应用题的引申与补充，是培养学生抽象逻辑思维能力的重要工具。工程问题是把工作总量看成单位“1的应用题，它具有抽象性，学生认知起来比较困难。在教学中，让学生建立正确概念是解决工程应用题的关键。一.工程问

2、题的基本概念定义：工程问题是指用分数来解答有关工作总量、工作时间和工作效率之间相互关系的问题。工作总量：一般抽象成单位 “1”工作效率：单位时间内完成的工作量三个基本公式：工作总量 =工作效率 力作时间，工作效率=工作总量T作时间，工作时间=工作总量 T作效率；二、为了学好分数、百分数应用题，必须做到以下几方面： 具备整数应用题的解题能力，解决整数应用题的基本知识，如概念、性质、法则、公式等广泛应用于分数、百分数应用题；在理解、掌握分数的意义和性质的前提下灵活运用； 学会画线段示意图.线段示意图能直观地揭示量”与 百分率”之间的对应关系，发现量与百分率之间的隐蔽条件，可以帮助我们在复杂的条件与

3、问题中理清思路，正确地进行分析、综合、判断和推理； 学会多角度、多侧面思考问题的方法.分数、百分数应用题的条件与问题之间的关系变化多端，单靠统一的思路模式有时很难找到正确解题方法.因此，在解题过程中，要善于掌握对应、假设、转化等多种解题方法，不断地开拓解题思路.三、利用常见的数学思想方法：如代换法、比例法、列表法、方程法等抛开 工作总量”和 时间”，抓住题目给出的工作效率之间的数量关系，转化出与所求相关的工作效率，最后再利用先前的假设 把整个工程看成一个单位”，求得问题答案.一般情况下，工程问题求的是时间.同皿4 例题精讲工程问题方法与技巧（一）等量代换法【例1】 甲、乙两队合作挖一条水渠要

4、30天完成，若甲队先挖 4天后，再由乙队单独挖 16天，共挖了这条 水渠的2 .如果这条水渠由甲、乙两队单独挖，各需要多少天？5【考点】工程问题【难度】3星【题型】解答2 一2【解析】法一：甲、乙合作完成工程的 （ 需要：30X2=12（天）.甲队先做4天，比合作少了 12 4 = 8（天）；乙队后做16天，比合作多了 16-12 =4（天），所以甲队做8天相当于乙队做4天，甲、乙两队工作效率的比是4:8 =1:2.甲队单独工作需要：30+30父2=90 （天）；乙队单独工作需要：30+30 十 2 =45（天）。 1 .法二：我们知道，甲乙合作，每天可以完成工程的 ,而题目中给定的 甲队先挖

5、4天，再由乙队30单独挖16天”，相当于甲乙两队先合作 4天，然后再由乙队单独挖 12天，于是两队合作4天，可以完1222441成工程的 4=,也就是说乙队12天挖了 2,于是乙队的工作效率为 上+12=,那3015515 151545111 一 一么甲队的工作效率就是 一=一，即甲队单独做需要 90天，乙队单独做需要 45天。工程问题里 30 45 90面也经常用到比例， 是因为工程问题的基本数量关系是乘法关系.其实这一点是与工程习惯无关的.【答案】甲队单独做需要 90天，乙队单独做需要 45天【例2】一项工程，甲、乙、丙三人合作需要13天完成.如果丙休息2天，乙就要多做4天，或者由甲、乙两

6、人合作1天.问这项工程由甲独做需要多少天？【考点】工程问题【难度】3星【题型】解答【解析】 丙2天的工作量，相当乙 4天的工作量.丙的工作效率是乙的工作效率的4+2=2 （倍），甲、乙合作1天，与乙做4天一样也就是甲做1天,26天，而甲只要26天他们共同做13天的工作量，由甲单独 3相当于乙做3天，甲的工作效率是乙的工作效率的3倍.乙做13天，甲只要13天，丙做13天，乙要3完成，甲需要13+13+26 =26天 3326天例3 抄一份书稿，甲每天的工作效率等于乙、丙二人每天的工作效率的和；丙的工作效率相当甲、乙每天工作效率和的 1.如果3人合抄只需8天就完成了，那么乙一人单独抄需要多少天才能

7、完成？ 5【考点】工程问题【难度】3星【题型】解答【解析】已知甲、乙、丙合抄一天完成书稿的1 ,又已知甲每天抄写量等于乙、丙两人每天抄写量之和，因811此甲两天抄写书稿的 1,即甲每天抄写书稿的 ;由于丙抄写5天相当于甲乙合抄一天，从而丙 6816天抄写书稿的1 ,即丙每天抄写书稿的 ;于是可知乙每天抄写书稿的 1-=.所以乙一8488 16 4824人单独抄写需要1 +工=24天才能完成.24【答案】24天【例4 一项工程，甲独做 6天完成，甲3天的工作量，乙要 4天完成.两队合做 2天后由乙队独做，还要几天才能完成？【考点】工程问题【难度】3星【题型】解答2天，剩下的都是乙完成【解析】法一

8、：我们把工程看作两个人分别完成的，那么显然，甲在其中只工作了的。甲完成整个工作需要 6天，除去自己完成的 2天以外，剩下工作量甲需要 4天完成，乙的工作效率是甲的3,因此甲4天完成的量，乙需要4M=16天完成，除去与甲合作的 2天以外，乙还要 433法二：甲的工作效率为111 2 26811 ,所以乙的工作效率为610,、10天才能完成.两队合作 2天后乙队独做还要【答案】10天 3例5打印一份书稿，甲按规定时间可提前2天完成，乙则要超过规定时间3天才能完成.如果甲、乙合彳2天，剩下的由乙独做，那么刚好在规定时间内完成.甲、乙两人合做需要几天完成？【考点】工程问题【难度】4星【题型】解答根据

9、甲按规定时间可提前 2天完成，乙则要超过规定时间 3天才能完成.如果甲、乙合做 2天，剩下的由乙独做，那么刚好在规定时间内完成”，可知甲做2天的工作量等于乙做 3天的工作量，所以完成这项工作甲、乙所用的时间比是2:3.另外，由于甲、乙单独做，乙用的时间比甲多3 + 2=5天,所以乙独做需要的天数是:3（3+2）二15 （天），甲独做需要155 = 10（天），甲、乙合做需要3 -2例66（天）一项工程，如果甲先做 5天，那么乙接着做 20天可以完成；如果甲先做 20天，那么乙接着做 8 天可以完成.如果甲、乙合作，那么多少天可以完成？【考点】工程问题【难度】3星【题型】解答【解析】本题没有直接

10、给出工作效率，为了求出甲、乙的工作效率，我们先画出示意图:乙20天人乙12天乙8天甲15天甲2CK从图中可以直观地看出：甲15天的工作量和乙12天的工作量相等，即甲 5天的工作量等于乙 4天的工作量.于是可用 乙工作4天”等量替换题中 甲工作5天”这一条件，通过此替换可知乙单独做这1一工程需要20+4 =24（天）完成，即乙的工作效率是 .24又因为乙工作4天的工作量和甲工作 5天的工作量相等，所以甲的工作效率是乙的 f ,为1 54 5 0111那么甲、乙合作完成这一工程需要的时间为1+（，+，）=131（天）.24 303【答案】131天3【巩固】 一件工作甲先做6小时，乙接着做12小时可

11、以完成；甲先做8小时，乙接着做6小时也可以完成.如果甲做3小时后由乙接着做，还需要多少小时完成？【考点】工程问题【难度】3星【题型】解答【解析】根据题意可知，甲做 8-6 =2小时的工作量等于乙做12-6 = 6小时的工作量，可见甲做1小时的工作量等于乙做 3小时的工作量.那么可以用乙做 3小时来代换甲做1小时，可知乙完成全部工作需要6父3+12 = 30小时，甲先做的3小时相当于乙做了 9小时，所以乙还需要 30-9=21小时.【答案】21小时【巩固】 一份文件，如果甲抄10小时，乙抄10小时可以抄完；如果甲抄8小时，乙抄13小时也可以抄完.现在甲先抄2小时，剩下的甲、乙合作，还需要几小时才

12、能完成？【考点】工程问题【难度】3星1【解析】由题意可知，甲、乙合作的效率为;10单独抄5小时，则乙单独工作的效率为113所以甲单独工作的效率 1. E10 25 50【题型】解答111 -8X卜（138）=一，102531、乙两人的工作效率之比为:=3:2.50 251将甲抄8小时，乙抄13小时，转化为甲乙和抄 8小时，乙甲先抄2小时，这2小时的工作量如果两人合作，需要3M2士（3+2）=1-小时，514所以剩下的工作量由甲、乙合作，还需要10-11 =84小时.55【答案】84小时5【例7】一项工程，甲先做若干天后由乙继续做，丙在工程完成-时前来帮忙，待工程完成 -时离去，结26果恰按计划

13、完成任务，其中乙做了工程总量的一半.如果没有丙的参与，仅由乙接替甲后一直做下去，将比计划推迟 31天完成；如果全由甲单独做，则可比计划提前6天完成.还知道乙的工作3效率是丙的3倍，问：计划规定的工期是多少天?【考点】工程问题【难度】5星【关键词】2008年，北大附中，资优博雅杯【解析】丙在工程完成一半时前来帮忙，待工程完成来帮忙，这1的工程由乙独做，那么乙完成这3【题型】解答5一 15时离去，所以乙、丙合做了全部工程的1 ；如果丙不631的工程时间将比乙、丙合做多用 竺天.由于乙的工33效是丙的工效的 3倍，乙、丙合做的工效之和为乙独做的3倍，那么乙独做所用的时间为乙、丙合34110 4做所用

14、时间的？倍，所以乙、丙合做这 1的工程所用的时间为 10个（4-1）=10天.那么乙的工效为33331米10子（1+1）=.由于在丙来帮忙的情况下乙共做了工程总量的一半，所以乙工作的天数为334011-小一二20天，其中有10天是乙、丙在合做，另外10天（被分成了前后两段）乙一个人独做.那么2 40乙、丙共完成了全部工程的1+M1M10=Z ,根据题意，这 工的工程如果由甲独做，只需要2 40 31212 7120-6 =14天，那么甲的工效为 一个14=一.甲完成全部工程需要 24天.由于全部由甲独做可比计1224划提前6天完成，所以原计划工期是 24+6 =30天.【答案】30天（二）比例

15、法【例8】一批零件平均分给甲、乙两人同时加工，两人工作 5小时，共完成这批零件的 -。已知甲与乙的工3作效率之比是5:3 ,那么乙还要几小时才能完成分配的任务？【考点】工程问题【难度】3星【题型】解答23111【解析】乙5小时完成总工作量的 -乂一=;乙每小时完成总工作量的 一小5=；乙需要完成的总工作3 5 3 4420一 .111量为；乙要完成这个任务还需要的时间：1-5=5（小时）22 20【答案】5小时【例9】 一项工程，甲15天做了 1后，乙加入进来，甲、乙一起又做了-,这时丙也加入进甲、乙、丙一44起做完.已知乙、丙的工作效率的比为3: 5,整个过程中，乙、丙工作的天数之比为2:

16、1,问题中情形下做完整个工程需多少天 ？【考点】工程问题【难度】3星【题型】解答【解析】方法一：先把整个工程分为三个阶段:数之比为（n+m）： m=2： 1,所以有I、n、出；且易知甲的工作效率为 工.又乙、丙工作的天601 ,n阶段和出阶段所需的时间相等.即甲、乙合作完成的一的工4111 一程与甲、乙、丙合作完成111 =1的工程所需的时间相等.所以对于工作效率有：（甲+乙）农=（甲+乙+丙），甲+乙=丙，那么有丙-乙=工.又有乙、丙的工作效率的比为 3: 5.易知乙的工作效率为 , 60120 5丙的工作效率为：.那么这种情形下完成整个工程所需的时间为：12011311815十一-（十）+

17、子（一十）=15 +6+6 =27天. 460 120260 1201方法二：显然甲的工作效率为 ，设乙的工作效率为 3x,那么丙的工作效率为 5x.所以有乙工作的601111 11.天数为 一 + （ + x3 +户 一 + X 丙8工）作 的 天 数 为 一 + （ +8x）. 且 有 46 026 02601111111111_1（ 永3 ） + k（ x +8 -）-= 2 父即x = （ +3X）8= ） （- +8x）,斛得 x = .所以乙的46 026 02 460 02 6012035工作效率为上-，丙的工作效率为高-.那么这种情形下完成整个工程所需的时间为： 1201201

18、1311815 +-（+）+-（+ ）=15十6+6=27天.4 60 120260 120【答案】27天【例10】甲、乙、丙三村准备合作修筑一条公路，他们原计划按9:8:3派工，后因丙村不出工，将他承担的任务由甲、乙两村分担，由丙村出工资360元，结果甲村共派出 45人，乙村共派出35人，完成了修路任务，问甲、乙两村各应分得丙村所付工资的多少元？【考点】工程问题【难度】4星【题型】解答【解析】丙村出的360元钱是不是应该按照甲乙两村派出的人数比即45:35 =9:7来进行分配呢？我们仔细思考一下，发现丙村所出的钱应该是其他两个村帮他完成的工作量，换句话说，我们应该考虑的是甲乙两村各帮丙村出了

19、多少人，然后再计算如何分配。甲、乙两村共派出了 45+35=80人，而这80人，按照原计划应是甲村派出80x9一=36人，乙9 8 3村派出32人，丙村派出12人，所以，实际上甲村帮丙村派出了45-36 =9人，乙村帮丙村派出了35-32 =3人，所以丙村拿出的 360元钱，也应该按9:3 =3:1来分配给甲、乙两村，所以，甲村应分得：360 +（3+1）父3 =270元，乙村应分得：360 270 = 90元.【答案】90元【例11】某工地用3种型号的卡车运送土方.已知甲、乙、丙三种卡车载重量之比为10:7:6,速度比为6:8:9 ,运送土方的路程之比为 15:14:14 ,三种车的辆数之比

20、为 10:5: 7 ,工程开始时，乙、丙两 种车全部投入运输，但甲种车只有一半投入，直到10天后，另一半甲种车才投入工作，一共干了 25天完成任务.那么，甲种车完成的工作量与总工作量之比是多少？【考点】工程问题【难度】3星【题型】解答【关键词】2007年，二中【解析】由于甲、乙、丙三种卡车运送土方的路程之比为15:14:14 ,速度之比为6:8:9，所以它们运送1次15 14 14 5 7 142 4 9所需的时间之比为 :上：*:5:7:14 ,相同时间内它们运送的次数比为：-:-:.在前10天，6 8 92 4 95 7 14甲车只有一半投入使用，因此甲、乙、丙的数量之比为5:5: 7 .

21、由于三种卡车载重量之比为 10:7:6,所以三种卡车的总载重量之比为50 : 35 : 42那么三种卡车在前10天内的工作量之比为：50一 I: 35x- I : 42 L 20: 20:2在后15天，由于甲车全部投入使用，所以在后15天里的5 7.14工作量之比为40: 20: 27 .所以在这25天内，甲的工作量与总工作量之比为：2010401532(202027)10(402027) 157979【例12】甲、乙、丙三人承包一项工程，发给他们工资共1800元，三人完成这项工程的具体情况是：甲、乙两人合作6天完成了工程的1 ,因为甲有事，由乙、丙合作2天完成余下工程的;，以后三人合作5天完

22、成了这项工程，按完成量的多少来付劳动报酬，甲、乙、丙各得多少元？【考点】工程问题【难度】4星【题型】解答【关键词】2008年，清华附中11【斛析】 根据题息可知，甲、乙两人的工作效率之和为-。6 =;318111乙、丙两人的工作效率之和为(1 -) 40=40（立方分米）,所以水箱总容积为 40X2=80（立方分米）。后50分钟内，裂缝向外渗水 1为0-40=10（立方分米），渗掉这10立方分米水，需时10论4=25（分）, .一 13那么没渗水的时间为 40+50-25=65（分）。所以裂缝在水箱从下往上的65-80=处。16两个水龙头注水需要时间13137 80X-2 +80X1 小（20

23、.41=41（分钟）16168两个水龙头往内注水，注满这个水箱需要355分钟或411分钟 88（三）列表法【例20放满一个水池，如果同时打开 1, 2, 3号阀门，则20分钟可以完成；如果同时打开2, 3, 4阀门，则21分钟可以完成；如果同时打开1, 3, 4号阀门，则28分钟可以完成；如果同时打开 1,2, 4号阀门，则30分钟可以完成.问：如果同时打开1, 2, 3, 4号阀门，那么多少分钟可以完成？【考点】工程问题【难度】3星【题型】解答【解析】根据条件，列表如下（画 O示阀门打开，画 谋示阀门关闭）1号2号3号4号工作效率OOOX120XOOO121OXOO128OOXO130从表中

24、可以看出，每个阀门都打开了三次，所以这4个阀门的工作效率之和为: 1+3=,那么同时打开这 4个阀门，需要 产1=18 （分钟）.20 21 28 301818【答案】18分钟【例21】某工程如果由第一、二、三小队合干需要12天才能完成；如果由第一、三、五小队合干需要7天才能完成；如果由第二、四、五小队合干需要8天才能完成；如果由第一、三、四小队合干需要42天才能完成.那么这五个小队一起合干需要多少天才能完成这项工程？【考点】工程问题【难度】3星【题型】解答【解析】首先将各个小队之间的组合列成表：一队二队三队四队五队工作效率OOOXX112OXOXO17XOXOO18OXOOX142从表中可以

25、看出， 一队、三队在表中各出现3次，二队、四队、五队各出现2次，那么，如果将第二、四、五小队的组合计算两次，那么各种组队的工作效率和中5个小队都被计算了 3次.所以五个小队11111人,.,“一.1的工作效率之和为：. 父2+ +3 = -,五个小队一起合干需要 1+=6天.12 7 84266【答案】6天【巩固】 A、B、C、D、E五个人干一项工作，若 A、B、C、D四人一起干需要 6天完成；若B、C、D、E四人一起干需要 8天完工；若 A、E两人一起干需要12天完工.那么，若 E一人单独干需 要几天完工？【考点】工程问题【难度】3星【题型】解答【解析】 从题中可以看出， A、B、C、D四人

26、每天完成总量的B、C、D、E四人每天完成总量的 1 ,6811111A、E两人每天完成总量的 ,，可见，E一人每天完成总量的 q+八-二,2二=，所以E一人单128 12 6481独干需要1+=48天.48【答案】48天【例22】某市有一项工程举行公开招标，有甲、乙、丙三家公司参加竞标.三家公司的竞标条件如下:公司名称单独完成工程所需天数每天工资/万元甲105.6乙153.8丙301.7 如果想尽快完工，应该选择哪两家公司合作？需要多少天完成?如果想尽量降低工资成本，应该选择哪两家公司合作？完工时要付工资多少元？【考点】工程问题【难度】4星【题型】解答【关键词】2009年，十三分，入学测试【解

27、析】如果要想尽快完工，应该选择效率较高的两家公司.由于甲、乙、丙三家公司单独做时，每天完成的工作量分别为工、工、工，所以应该选择甲、乙101530这两家公司合作.11甲、乙两公司合作，完成工程需要的时间为1+（，+，）=6天；10 15如果想尽量降低工资成本，应该选择完成全部工程所需总工资较少的两家公司.由于甲、乙、丙三家公司单独完成全部工程所需要的工资成本分别为5.6父10=56万元、3.8x15=57万元、1.7x30=51万元，所以应当选择甲、丙这两家公司合作.11 甲、丙两公司合作需要 1+（+）=7.5天才能完成工程，完工时要付的工资为：10 30（5.6 +1.7）黑 10000

28、M7.5 =547500 元.【答案】547500元【巩固】 一项工程，若请甲工程队单独做需4个月完成，每月要耗资 9万元；若请乙工程队单独做此项工程需6个月完成，每月耗资 5万元.请问甲、乙两工程队合作需几个月完成？耗资多少万元？现要求最迟5个月完成此项工程即可，请你设计一种方案，既保证按时完成任务，又最大限度节 省资金.【考点】工程问题【难度】4星【题型】解答., 一 _一 ， 一 、 ， , 11_ 一 一一 一，、【解析】甲、乙两工程队每月完成的工程量分别占全部工程的- -,那么甲、乙合作所需时间为：46111 3（1+1）=2.4个月；甲、乙合作 2.4个月所耗资金为：（9+5）父2

29、.4 =33.6（万兀）.甲工程队完成全部工作要耗资9M4 =36万元，乙工程队完成全部工作要耗资5父6 = 30万元，乙工程队耗资较少，为了节省资金，应尽量请乙工程队来做，但是乙工程队无法单独在五个月内完成工程，所以还需要请甲工程队来帮助完成一部分工程.所以，在五个月内完成的最好方案为：乙工程做5个月，甲工程队做（1-5） =1=2个月，即：甲、乙两工程队合作2个月后，乙工程队再单独做1364 333个月.【答案】33.6万元2 一一 .13 一甲、乙两工程队合作 上个月后，乙工程队再单独做 13个月33【例23】一项工程，如果由甲、乙、丙共同工作，45天可以完成，需付工程款 2700元；如果由甲、乙、丁共同工作，40天可以完成，需付工程款 2800元；如果由乙、丙、丁共同工作，36天可以完成，需付工程款2880元；如果由甲、丙、丁共同工作， 30天可以完成，需付工程款 2700元.现决定 将工程承包给某一工程队，确保工程要在100天以内完成，且支付的工程款尽量的少，那么应该将工程交给哪一个工程队，支付的工程款是多少元？【考点】工程问题【难度】4星【题型】解答【解析】甲、乙、丙、丁的工效和是:,111(45 40 361 、 .c 13+) = 3 =;30360甲的工效是:丙