三角函数的诱导公式

1、2021/3/271 三角函数的三角函数的 诱导公式诱导公式2021/3/272同角三角函数的基本关系同角三角函数的基本关系平方关系平方关系:商数关系商数关系:1cossin22cossintan),2(Zkk),2(Zkk同一个角同一个角 的正弦、余弦的平的正弦、余弦的平方和等于方和等于1，商等于角，商等于角 的正的正切。切。2021/3/2731.3 1.3 三角函数的诱导公式三角函数的诱导公式 +、- 、 -的诱导的诱导2021/3/274问题提出问题提出t57301p21.1.任意角任意角的正弦、余弦、正切是怎样的正弦、余弦、正切是怎样定义的定义的? ?的终边的终边P(xP(x，y)y

2、)O Ox xy ysinycosxtan(0)yxx2021/3/2752. 2k2. 2k（kZkZ）与）与的三角函数的三角函数之间的关系是什么之间的关系是什么? ?公式一：公式一： sin(2)sinkcos(2)cosktan(2)tankkZ（ )3.3.你能求你能求sin750sin750和和sin930sin930的值吗的值吗? ?21?2021/3/2764.4.利用公式一利用公式一, ,可将任意角的三角函数可将任意角的三角函数值值, ,转化为转化为0 00 03603600 0范围内的三角函数值范围内的三角函数值. .其中锐角的三角函数是我们熟悉的其中锐角的三角函数是我们熟悉

3、的, ,而而对于对于90900 03603600 0范围内的三角函数值，能范围内的三角函数值，能否转化为锐角的三角函数值，这就是我否转化为锐角的三角函数值，这就是我们需要研究和解决的问题们需要研究和解决的问题. .2021/3/2772021/3/278的终边的终边xy yo o+的终边的终边思考思考: :对于任意给定的一个角对于任意给定的一个角, ,角角的终边与角的终边与角的终边有什么关系的终边有什么关系? ?2021/3/279思考思考: :设角设角的终边与单位圆交于点的终边与单位圆交于点P P（x x, ,y y）, ,则角则角的终边与单位圆的的终边与单位圆的交点坐标如何交点坐标如何?

4、?的终边的终边xy yo o+的终边的终边P(xP(x，y)y)Q(-xQ(-x, ,-y)-y)2021/3/2710思考思考: :根据三角函数定义根据三角函数定义, ,sinsin（） 、coscos（）、）、tantan（）的值分别是什么）的值分别是什么? ?的终边的终边xy yo o+的终边的终边P(xP(x，y)y)Q(-xQ(-x，-y)-y)sin(sin()=-y)=-ycos(cos()=-x)=-xtan(tan()=)=yx2021/3/2711思考思考: :对比对比sinsin, ,coscos, ,tantan的值的值, ,的三角函数与的三角函数与的三角函数有什么的三

5、角函数有什么关系关系? ? 公式二公式二: tan)tan(cos)cos(sin)sin(2021/3/2712知识探究（二）知识探究（二）:-, ,-的诱导公式的诱导公式: : 思考：思考：对于任意给定的一个角对于任意给定的一个角，的终边与的终边与的终边有什么关系？的终边有什么关系？ y y的终边的终边xo o-的终边的终边2021/3/2713思考思考: :设角设角的终边与单位圆交于点的终边与单位圆交于点 P P（x x, ,y y）, ,则则的终边与单位圆的交点的终边与单位圆的交点坐标如何坐标如何? ?y y的终边的终边xo o-的终边的终边P(x,y)P(x,y)P(x,-y)P(x

6、,-y)xyxy)tan()cos()sin(2021/3/2714 公式三公式三: tan)tan(cos)cos(sin)sin(思考思考: :根据三角函数定义根据三角函数定义, ,的三角函的三角函数与数与的三角函数有什么关系的三角函数有什么关系? ?y y的终边的终边xo o-的终边的终边P(x,y)P(x,y)P(x,-y)P(x,-y)2021/3/2715思考思考: :利用利用( (), ,结合公式二、三结合公式二、三, ,你能得到什么结论你能得到什么结论? ? 公式四公式四: tan)tan(cos)cos(sin)sin(tan)tan(cos)cos(sin)sin(tan)

7、tan(cos)cos(sin)sin(2021/3/2716思考思考: :公式一四都叫做诱导公式公式一四都叫做诱导公式, ,他们他们分别反映了分别反映了2k2k（kZkZ）, , ,，的三角函数与的三角函数与的三角函数的三角函数之间的关系，你能概括一下这四组公式之间的关系，你能概括一下这四组公式的共同特点和规律吗的共同特点和规律吗? 2021/3/2717同角三角函数的基本关系同角三角函数的基本关系平方关系平方关系:商数关系商数关系:1cossin22cossintan),2(Zkk),2(Zkk同一个角同一个角 的正弦、余弦的平的正弦、余弦的平方和等于方和等于1，商等于角，商等于角 的正的

8、正切。切。2021/3/2718tan)tan(cos)cos(sin)sin(tan)tan(cos)cos(sin)sin(tan)tan(cos)cos(sin)sin(sin(2)sinkcos(2)cosktan(2)tank 2k2k（kZkZ）, , , ,的三角函数值，的三角函数值，等于等于的同名函数值的同名函数值，再，再放上放上将将当作锐角当作锐角时原函数值的符号时原函数值的符号. . 2021/3/2719利用诱导公式一四利用诱导公式一四, ,可以求任意角可以求任意角的三角函数的三角函数, ,其基本思路是其基本思路是: :这是一种化归与转化的数学思想这是一种化归与转化的数学

9、思想. .任意负角的任意负角的三角函数三角函数任意正角的任意正角的三角函数三角函数0 022的角的角的三角函数的三角函数锐角的三角锐角的三角函数函数2021/3/2720tan32cos()3sin()4cos()sin(2)例例3 3已知：已知：，求的值。2cos3sin23tan74cossin4tan tan3解：原式3sin5 tan cos(3)sin(5)例4已知，且是第四象限角，求的值。tan cos(3)sin(5)tan cos()sin()tan( cossin)tansintancossin(tan1)43cos,tan54 2120解:由已知得:, 原式2021/3/2

10、721理论迁移理论迁移例例1 1 求下列各三角函数的值求下列各三角函数的值: :cos225) 1 (311sin)2()316sin(-)3()cos(-2040)4(2021/3/272231 例例2 2 已知已知cos(cos(x x) ) ，求下列，求下列各式的值：各式的值：（1 1）cos(2cos(2x x) )；（；（2 2）cos(cos(x x).). 例例3 3 化简：化简：（1 1） ；（2 2） .)-cos(-180)180-sian(-)360sin()cos(180tan585)cos(-350)210(sincos1902021/3/27232.2.诱导公式一四

11、要灵活应用诱导公式一四要灵活应用, ,要点要点: :负化正负化正, ,大化小大化小, ,化至锐角解决了化至锐角解决了! !小结小结1.1.诱导公式都是恒等式诱导公式都是恒等式, ,即在等式有意义时即在等式有意义时恒成立恒成立. .2021/3/27243.3.利用诱导公式一四利用诱导公式一四, ,可以求任意可以求任意角的三角函数角的三角函数, ,其基本思路是其基本思路是: :这是一种化归与转化的数学思想这是一种化归与转化的数学思想. .任意负角的任意负角的三角函数三角函数任意正角的任意正角的三角函数三角函数0 022的角的角的三角函数的三角函数锐角的三角锐角的三角函数函数2021/3/2725

12、 作业作业: : P27P27练习练习: :1 1, ,2 2, ,3 3, ,4.4.2021/3/27261.3 1.3 三角函数的诱导公式三角函数的诱导公式第二课时第二课时2021/3/2727问题提出问题提出1.1.诱导公式一、二、三、四分别反映了诱导公式一、二、三、四分别反映了2k+2k+（kZkZ）、）、 与与的三角函数之间的关系的三角函数之间的关系, ,这这四组公式的共同特点是什么四组公式的共同特点是什么? ?cosxcosx函数函数同名同名, ,象限象限定号定号. . 2021/3/2728对形如对形如、的角的三角函数的角的三角函数可以转化为可以转化为角的三角函数，对形角的三角

13、函数，对形如如 、 的角的三角函数与的角的三角函数与角角的三角函数，是否也存在着某种关系？的三角函数，是否也存在着某种关系？这需要我们作进一步的探究！这需要我们作进一步的探究！22pa+2021/3/27292021/3/2730思考思考1 1: :sinsin（90906060）与）与sin60sin60的值相等吗的值相等吗? ?相反吗相反吗? ?思考思考2 2: :sinsin（90906060) )与与cos60cos60, ,coscos（90906060）与）与sin60sin60的值分别的值分别有什么关系有什么关系? ?据此据此, ,你有什么猜想你有什么猜想? ?2cos)2(si

14、n知识探究（一）：知识探究（一）： 的诱导公式的诱导公式 2cos)2(sincos()si n2paa-=2021/3/2731cos)2(sin思考思考3 3：如果如果为锐角，你有什么办法证为锐角，你有什么办法证明明 ， ？cos()si n2paa-=a ab bc c2pa-si n()cos2bcpaa-=cos()si n2acpaa-=2021/3/2732思考思考5 5: :点点P P1 1（x x, ,y y）关于直线）关于直线y=xy=x对称的对称的点点P P2 2的坐标如何的坐标如何? ?思考思考4 4：若若为一个任意给定的角，那么为一个任意给定的角，那么 的终边与角的终

15、边与角的终边有什么对称关的终边有什么对称关系？系？2的终边的终边Oxy的终边的终边22021/3/2733思考思考6 6：设角设角的终边与单位圆的交点的终边与单位圆的交点为为P P1 1（x x，y y），则），则 的终边与单的终边与单位圆的交点为位圆的交点为P P2 2（y y，x x），根据三角函），根据三角函数的定义，你能获得哪些结论？数的定义，你能获得哪些结论？2的终边的终边P P1 1(x(x，y)y)Oxy的终边的终边2P P2 2(y(y，x)x) 公式五公式五: sin)2cos(cos)2sin(2021/3/2734知识探究（二）：知识探究（二）： 的诱导公式的诱导公式 2

16、)2(cos)2cos()2(sin)2sin(思考思考2 2： 与与 有什么内在联系？有什么内在联系？22cos)2sin(sin)2cos()2(22021/3/2735 公式六公式六: sin)2cos(cos)2sin(2021/3/2736思考思考6 6: :正弦函数与余弦函数互称为异名正弦函数与余弦函数互称为异名函数函数, ,你能概括一下公式五、六的共同特你能概括一下公式五、六的共同特点和规律吗点和规律吗? ?sin)2cos(cos)2sin(sin)2cos(cos)2sin( 的三角函数值，的三角函数值，等于等于的同的同名函数值名函数值，再放上，再放上将将当作锐角当作锐角时原

17、函数时原函数值的符号值的符号. . 22021/3/2737思考思考5 5: :根据相关诱导公式推导根据相关诱导公式推导, ,3si n(),2pa-3cos(),2pa-3si n(),2pa+)23cos(cossincossin2021/3/2738思考思考7 7：诱导公式可统一为诱导公式可统一为的三角函数与的三角函数与的三角函数之间的关系，的三角函数之间的关系，你有什么办法记住这些公式？你有什么办法记住这些公式？)Zk(2k奇变偶不变奇变偶不变,符号看象限符号看象限.2021/3/2739理论迁移理论迁移例例1 1 化简化简: :)29)sin(-)sin(-)sin(3-cos()-211)cos(2)cos()cos(-sin(22021/3/2740 例例2 2 已知已知 ，求，求 的值的值32)6(cos)32(sin 例例3 3 已知已知 ，求，求 的值的值. .31)30(sin)60