最新中考二次函数动点问题(含答案)

1、二次函数的动点问题1.如图，正方形 ABCD的顶点A, B的坐标分别为 010 , 84 ,顶点C, D在第一象限.点P从点A出发，沿正方形按逆时针方向匀速运动，同时，点Q从点E 4,0出发，沿x轴正方向以相同速度运动.当点P到达点C时，P, Q两点同时停止运动，设运动的时间为t秒.（1）求正方形 ABCD的边长.t （秒）之间的函数（2）当点P在AB边上运动时，4OPQ的面积S （平方单位）与时间图象为抛物线的一部分（如图所示），求P, Q两点的运动速度.（3）求（2）中面积S （平方单位）与时间t （秒）的函数关系式及面积 S取最大值时点P 的坐标.（4）若点P, Q保持（2）中的速度不变

2、，则点 P沿着AB边运动时，/OPQ的大小随着 时间t的增大而增大；沿着BC边运动时，/ OPQ的大小随着时间t的增大而减小.当点P 沿着这两边运动时，使 /OPQ 90o的点P有 个.（抛物线y ax2 bx c a 0的顶点坐标是b 4ac b22a' 4a解(1)作BF y轴于F .Q A 010 , B 8,4 ,FB 8, FA 6.AB 10.(2)由图可知，点 P从点A运动到点B用了 10秒.又 QAB 1010 10 1.P, Q两点的运动速度均为每秒 1个单位.(3)方法一：作PG y轴于G ,则PG / BF .GA AP 口口 GA t ，即 一.FA AB 61

3、0GA 3t. 53OG 10 -t.5QOQ 4 t,1 13S-OQ OG-t 4 10-t.2 25当21019t 20 .5c bQ 2a19"519 口 i-，且 0 033101919<10 ，319S有最大值.，-4此时GP -t576 cc,OG 151031点P的坐标为76 3115 5方法二：当t 5时，OG7,OQ9,1S -OGgOQ（8分）632设所求函数关系式为 S at2bt 20 .Q抛物线过点10,28 , 5,632100a10b 20 28,25a5b2063310,19旦t21019c bQ 2a52旦1019一,319且0W上W 10

4、,319当t 19时,3S有最大值.31OG ， 576此时gp15点P的坐标为76 3115 5(4) 2.点评本题主要考查函数性质的简单运用和几何知识，是近年来较为流行的试题，解题的关 键在于结合题目的要求动中取静，相信解决这种问题不会非常难。2.如图，RtzXABC中，B 90°, CAB 30o.它的顶点 A的坐标为(10,0),顶点B的坐标为(5,573) , AB 10,点P从点A出发，沿 A B C的方向匀速运动，同时点Q从点D(0,2)出发，沿y轴正方向以相同速度运动，当点P到达点C时，两点同时停止运动，设运动的时间为 t秒.(1)求 BAO的度数.(2)当点P在AB

5、上运动时，4OPQ的面积S (平方单位)与时间t (秒)之间的函数图 象为抛物线的一部分，(如图)，求点P的运动速度.(3)求(2)中面积S与时间t之间的函数关系式及面积 S取最大彳1时点P的坐标.(4)如果点P, Q保持(2)中的速度不变，那么点 P沿AB边运动时，OPQ的大小随着时间t的增大而增大；沿着 BC边运动时，OPQ的大小随着时间t的增大而减小，当点P沿这两边运动时，使 OPQ 90°的点P有几个？请说明理由.解：(1) Z BAO 60°.(2)点P的运动速度为2个单位/秒.(3) P(10 t,木t) ( 0< t< 5)1Q S (2t 2)(

6、10 t) 22912124此时P时，S有最大值为 2121411 9_222(4)当点P沿这两边运动时,90o的点P有2个.当点P与点A重合时，/OPQ 90°,当点P运动到与点B重合时，OQ的长是12单位长度,作/ OPM 90°交y轴于点M ,作PH由OPHs/XOPM 得：OM11.5,所以OQ OM ,从而/ OPQ90°.所以当点P在AB边上运动时,90°的点P有1个.同理当点P在BC边上运动时,可算得OQ 12 ¥ 173而构成直角时交y轴于0,"避335、320.2 17.8 , 3所以/ OCQ 90°,从

7、而/ OPQ 90°的点P也有1个.所以当点P沿这两边运动时， z OPQ 90o的点P有2个.43.(本题满分14分)如图12,直线y x 4与x轴父于点 A ,与y轴父于点C ,已知 3二次函数的图象经过点 A、C和点B 1,0 .(1)求该二次函数的关系式；(2)设该二次函数的图象的顶点为 M ,求四边形AOCM的面积；(3)有两动点D、E同时从点O出发，其中点D以每秒3个单位长度的速度沿折线 OAC2按O - A- C的路线运动，点 E以每秒4个单位长度的速度沿折线 OCA按O 一 C 一 A的路线运动，当D、E两点相遇时，它们都停止运动.设D、E同时从点O出发t秒 时，OD

8、E的面积为S .请问D、E两点在运动过程中，是否存在 DE / OC ,若存在，请求出此时 t的值； 若不存在，请说明理由；请求出S关于t的函数关系式，并写出自变量 t的取值范围；设So是中函数S的最大值，那么 So = .解：(1)令 x 0,则 y 4;令 y 0则 x 3. . A 3,0 . C 0,4二次函数的图象过点 C 0,4 ,，可设二次函数的关系式为y ax2 bx 4又该函数图象过点 A 3,0. B 1,00 9a 3b 4,0 a b 4.“448解之，得a4, b833 4 28所求二次函数的关系式为y -x x 4334 28(2) y -x -x 4334216=

9、 - x 1-33顶点M的坐标为 1,一3S四边形 AOCMSa AFMS梯形 FOCM过点M作MF x轴于F10四边形AOCM的面积为10(3)不存在DE / OC若DE/OC,则点D,E应分别在线段 OA,CA上，此时1 t 2,在Rt/XAOC中，AC 5.12t 125DE / OC ,一 ，一 ，Xi4t 4设点E的坐标为x1 , y1，.-x1351,12t 123 .18 -t t-523 t 8 >2 ,不满足 1 t 2 .3，不存在DE / OC .根据题意得D, E两点相遇的时间为3 4 524 小、 （秒）31142现分情况讨论如下:ii）当 1t< 1 时

10、,t< 2时,设点5 4t 4,532 tg4t3t2;的坐标为一y236X2,16t5V236 16t27t5iii）当 2 < t <24三时，设点11E的坐标为X3y336 16t设点D的坐标为X4 , y4y443t 3256t 12一 y4 SSa aoeSa aod1 a 36 16t1 6t 123325253372= t 5So47.关于上方.5243 "8022x的二次函数y x (k 4)x 2k 2以y轴为对称轴，且与y轴的交点在x轴(1)求此抛物线的解析式，并在下面的直角坐标系中画出函数的草图；(2)设A是y轴右侧抛物线上的一个动点， 过点A

11、作AB垂直于x轴于点B ,再过点A作 x轴的平行线交抛物线于点 D ,过点D作DC垂直于x轴于点C ,得到矩形ABCD .设矩 形ABCD的周长为l，点A的横坐标为x,试求l关于x的函数关系式；(3)当点A在y轴右侧的抛物线上运动时，矩形ABCD能否成为正方形.若能，请求出此时正方形的周长；若不能，请说明理由.2b 4ac b2参考资料：抛物线 y ax2 bx c(a 0)的顶点坐标是 ,，对称轴是直线2a 4ab x .2a解：(1)据题意得：k2 4 0 ,k 2.当 k 2时，2k 2 2 0.当 k 2 时，2k 26 0.又抛物线与y轴的交点在x轴上方，k 2 .抛物线的解析式为：

12、yx2 2 .函数的草图如图所示.(只要与坐标轴的三个交点的位置及图象大致形状正确即可)解：令 x2 2 0,得x22.不 0 x 夜时，A1D1 2x, ABix2 2,l 2(A1B1 A1D1)2x2 4x 4.当 x V2时，A2D2 2x,_2_2_A2B2( x 2) x 2.一，一 ，一、 一 2l 2(A>D2 A2B2) 2x 4x 4 .l关于x的函数关系是：当0 x 在时，l2x2 4x 4；当 x 应时，l 2x2 4x 4 .(3)解法一：当0 x 无时，令A1B1 A1D1,得 x2 2x 2 0 .解得x 1 73(舍)，或x 1 73.将x 1 而代入l

13、2x2 4x 4,得 l 85/3 8.当 x 亚时，令 A2B2 A2D2，得 x2 2x 2 0 .解得x 1 73 （舍），或x 1 卮将 x 1 33 代入 l 2x2 4x 4 ,得 l 84 8 .综上，矩形ABCD能成为正方形，且当x J3 1时正方形的周长为 8M 8;当x 33 1 时，正方形的周长为 8百8.解法二：当0 x &时,同“解法一”可得 x 1 百.正方形的周长l 4AD1 8x 873 8.当x 点时,同“解法一”可得 x 1 33.正方形的周长l 4 A2D2 8x 8s/3 8.综上，矩形ABCD能成为正方形，且当x J3 1时正方形的周长为 8M

14、 8;当x 33 1 时，正方形的周长为 8，3 8.解法三：Q点A在y轴右侧的抛物线上，x 0,且点A的坐标为（x, x2 2）.令 AB AD ,则 x2 2 2x .x2 2 2x, L L 或 x2 2 2x L L 由解得x 1石（舍），或x 1 V3 ；由解得x 1石（舍），或x 1 33.又 l 8x,当 x 1 ，3 时 l 8 J3 8 ；当x 1 J3时l 8百8 .综上，矩形ABCD能成为正方形，且当x J3 1时正方形的周长为 8M 8;当x J3 1时，正方形的周长为 8百8.5.已知抛物线y=a/+bx+ c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C,其中点B在x轴的正

15、半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段 OB、OC的长(OB<OC)是方程x2-10x+ 16=0的 两个根，且抛物线的对称轴是直线 x= 2.(1)求A、B、C三点的坐标；(2)求此抛物线的表达式；(3)连接AC、BC,若点E是线段AB上的一个动点(与点 A、点B不重合)，过点E 作EF/AC交BC于点F,连接CE,设AE的长为m, CEF的面积为S,求S与m之间 的函数关系式，并写出自变量 m的取值范围；(4)在(3)的基础上试说明 S是否存在最大值，若存在，请求出S的最大值，并求出此时点E的坐标，判断此时 BCE的形状；若不存在，请说明理由.解：(1)解方程 x2- 10x+ 16=0

16、 得 x1=2, x2= 8点B在x轴的正半轴上，点 C在y轴的正半轴上，且 OBvOC.点B的坐标为(2, 0),点C的坐标为(0, 8)又.抛物线y= ax2+ bx+ c的对称轴是直线x=- 2，由抛物线的对称性可得点A的坐标为(一6, 0)(2) ,点C (0, 8)在抛物线y=a*+bx+ c的图象上. .c= 8,将A (6, 0)、B (2, 0)代入表达式，得0= 36a6b+8解得0=4a+2b+8所求抛物线的表达式为y = 2X2 8x+ 833(3)依题意，AE = m,则 BE=8-m,. OA=6, OC=8, - AC= 10. EF/AC BEFsBACEF BE

17、AC ABEF 8- m即一=10840-5mEF=4过点 F 作 FGAB,垂足为 G,则 sin/ FEG = sinZ CAB = -5FG 4EF=54 40- 5mFG =5 4= 8-m11 S= S»a bce Sabfe = 2 (8 m) x 8, (8 m) (8m)111=2 (8m) (8 8+m) =2(8 m) m= -2m2 + 4m自变量 m的取值范围是 0V m<8(4)存在.111理由：: S= 2m2+4m= 2 (m4) 2+8且一 0，.当m = 4时，S有最大值，S最大值=8m=4, .,点 E 的坐标为(一2, 0). BCE为等腰

18、三角形.6. (14分)如图：抛物线经过 A (-3, 0)、B (0, 4)、C (4, 0)三点.(1)求抛物线的解析式(2)已知AD = AB (D在线段AC上)，有一动点P从点A沿线段AC以每秒1个单 位长度的速度移动；同时另一个动点 Q以某一速度从点 B沿线段BC移动，经过t秒 的移动，线段PQ被BD垂直平分，求t的值；(3)在(2)的情况下，抛物线的对称轴上是否存在一点M,使MQ+MC的值最小？若存在，请求出点 M的坐标；若不存在，请说明理由。2b(汪：抛物线y ax bx c的对称轴为x )2a(第26题图)(1)解法一：设抛物线的解析式为y = a (x +3 )(x - 4)

19、因为B (0, 4)在抛物线上，所以1所以抛物线解析式为 y -(x 3解法二：设抛物线的解析式为 y依题意得:c=4且9a 3b 4 016a 4b 4 0所以 所求的抛物线的解析式为(2)连接 DQ ,在 RtAAOB 中,4 = a ( 0 + 3 ) ( 0 - 4 )解得 a= -1/31 213)(x 4)-x2 -x 4332ax bx c (a 0),a解得b1 21y - x - x33AB AO2-BO2A2, 5-3134所以 AD=AB= 5 , AC=AD+CD=3 + 4 = 7 , CD = AC - AD = 7- 5 = 2因为BD垂直平分 PQ,所以PD=Q

20、D , PQXBD ,所以/ PDB= / QDB因为 AD=AB ,所以/ ABD= / ADB ,/ ABD= / QDB ,所以 DQ / AB所以/ CQD= /CBA。/ CDQ= / CAB,所以 CDQ s CABDQABCDCADQDQ10710 252525所以 AP=AD - DP = AD - DQ=5= 一 , t 一 1 一7777所以t的值是257(3)答对称轴上存在一点 M,使MQ+MC的值最小理由：因为抛物线的对称轴为b -2a 21所以A (- 3, 0), C (4, 0)两点关于直线x -对称2_1 _， 一连接AQ交直线x 于点M,则MQ+MC的值最小2

21、过点Q作QE，x轴，于E,所以/ QED= / BOA=900DQ/AB, / BAO=/QDE, DQE ABO10QEDQDE口 u QETDE即一二一BO AB AO 453所以 QE= , DE=,所以 OE = OD + DE=2+=,所以 Q (,一)777777设直线AQ的解析式为y kx m (k0)20k则7 K3k7 由此得08412441所以直线AQ的解析式为y8x412441联立28 -x 412441x由此得y128一 x4124411 28所以 M(1,28 )2 411 28则：在对称轴上存在点 M(-,),使MQ+MC的值最小。2 41D点,0),7.如图9,在

22、平面直角坐标系中，二次函数y ax2 bx c(a0)的图象的顶点为与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为(3,OB = OC , tan/ACO = 1 .3(1)求这个二次函数的表达式.(2)经过C、D两点的直线，与x轴交于点E,在该抛物线上是否存在这样的点F,使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由.(3)若平行于x轴的直线与该抛物线交于 M、N两点，且以MN为直径的圆与x轴相 切，求该圆半径的长度.(4)如图10,若点G (2, y)是该抛物线上一点，点 P是直线AG下方的抛物线上一 动点，当点P运动到

23、什么位置时， APG的面积最大？求出此时 P点的坐标和 APG(1)方法一：由已知得:C (0, 3), A (1, 0)1 分将A、B、C三点的坐标代入得 9a 3b c 0a 1解得：b 2 3分c 3所以这个二次函数的表达式为：y x2 2x 3 3分方法二：由已知得：C (0, 3), A(1, 0) 1分设该表达式为：y a(x 1)(x 3) 2分将C点的坐标代入得：a 1 3分所以这个二次函数的表达式为：y x2 2x 3 3分(注：表达式的最终结果用三种形式中的任一种都不扣分)(2)方法一：存在，F点的坐标为(2, 3) 4分理由：易得D (1, 4),所以直线CD的解析式为：

24、y x 3，E点的坐标为(一3, 0) 4分由 A、C、E、F 四点的坐标得： AE=CF=2, AE / CF 以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形，存在点F,坐标为(2, 3) 5分方法二：易得D (1, 4),所以直线CD的解析式为：y x 3 .E点的坐标为(一3, 0) 4分 以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形 .F 点的坐标为(2, 3)或(一2, 3)或(4, 3)代入抛物线的表达式检验，只有(2, - 3)符合，存在点F,坐标为(2, 3) 5分(3)如图，当直线 MN在x轴上方时，设圆的半径为 R (R>0),则N (R+1, R), 1 . 17代入抛物

25、线的表达式，解得 R 1一上2当直线MN在x轴下方时，设圆的半径为r (r>0),代入抛物线的表达式，解得1.17117圆的半径为17或2,172yRr1rD1R 'TnMMNBx(4)过点P作y轴的平行线与 AG交于点Q,易得G (2, 3),直线AG为y x 1 . 8分设 P (x, x2 2x 3),贝U Q(x, -x-1), PQ x2 x 2 .x 2) 31S APG S APQ S GPQ 二( x21 ,当x 一时， APG的面积最大2此时P点的坐标为154S APG的最大值为27810分8.(本小题 12 分)解：(1)解方程 x210x+16=0 得 x1

26、=2, x2= 8点B在x轴的正半轴上，点 C在y轴的正半轴上，且 OBvOC点B的坐标为(2, 0),点C的坐标为(0, 8)又,抛物线y= ax2+ bx+ c的对称轴是直线 x= 2，由抛物线的对称性可得点 A的坐标为(一6, 0)A、B、C 三点的坐标分别是A (6,0)、B (2,0)、C(0,8)(2) ,点C (0, 8)在抛物线y=a*+bx+ c的图象上，c= 8,将 A (6, 0)、B (2, 0)代入表达式 y= a*+bx+ 8,得0=36a 6b+80=4a+2b+8解得所求抛物线的表达式为y = 2x2 8x+ 833(3) AB=8, OC= 81 Sa ABC =2>< 8X8=32(4)依题意，AE = m,则 BE=8-m,.OA=6,OC=8, . AC= 10. EF/AC . BEFA BACEF BEAC ABEF 8- m