直角坐标系解决立体几何问题

1、在立体几何中引入向量之前，求角与距离是一个难点，在新课标中，从 向量的角度来研究空间的点、线、面的关系，我们只要通过两个向量的数量 积运算、运用向量的模、平面的法向量就可以解决常见的角与距离的问题。 而且，运用向量来解题思路简单、步骤清楚，对学生来说轻松了很多。重点：用空间向量数量积及夹角公式求异面直线所成角。难点：建立恰当的空间直角坐标系关键：几何问题转换为代数问题及正确写出空间向量的坐标。I、空间直角坐标系的建立平面直角坐标系空间直角坐标系空间向量的数量积公式(两种形式)、夹角公式和空间向量的数量积的 几何性质。(用媒体分步显示下列内容)1 .向量的数量积公式(包括向量的夹角公式)：若 a

2、 与 b 的夹角为 9 (0 < 9 < tt ),且2=仅1,丫 i,z 1, b =x2,y 2,z 2,则 a ' b=| a| b |cos 0 或a b = x iX2+yiy2+ziZ2若a与b非零向量cos 0 =X1X2 y1y2 Z1Z222222y Z1. X2 y2Z22,向量的数量积的几何性质：两个非零向量a与b垂直的充要条件是a- b =0两个非零向量a与b平行的充要条件是a b=±| a| b |利用空间向量知识求异面直线所成角的一般步骤：(1)根据图形建立合理的空间直角坐标系；(2)确定关键点的坐标；(3)求空间向量的夹角；D(4)得

3、出异面直线的所成角。用向量解决角的问题 两条异面直线a、b间夹角 在直线a上取两点A B,在直线b上取两点G D,若直线a与b的夹角为AB CDuuu uur则 cos | cos AB,Cd |注意，由于两向量的夹角范围为0 ,180 ,而异面直线所成角的范围为90 ,若两向量夹角 为钝角，转化到异面直线夹角时为180°A例 1:在长方体 ABCD-XBCD 中，AB=BC=4 AA=6, 求异面直线DA与AC的所成角；分析：在此题的解答中，设计如下问题贯穿整个过程以期共同解高。问题1:此题在立体几何中我们应该如何解决？（异面直线平移相交，求相交直线的交角）问题2:利用空间向量求解

4、，对几何体如何处理？（求向量DA与AC的数量积，当然应先建立空间直角坐标系）问题3:如何建立空间直角坐标系？并说明理由。（以DA为X轴，以DC为Y轴，以DD为Z轴）问题4:建立空间直角坐标系后，各相关点的坐标是多少？（请学生个别回答）例2.直棱柱ABCD-AiGD,底面是边长为 4 的菱形，且/DAB=60 , AA=6, AC与 BC交于E, A1C1与BQ交于Ei,（1）求：DA与AG的所成角；（2）若F是AE的中点，求：BE与FD的所成角；直线a与平面 所成的角 （如图1 1）可转化成用向量a与平面 的法向量n的夹角 表示，由向量平移得：若z图1 1图1 2图13平面 的法向量n是向量的

5、一个重要内容，是求直线与平面所成角、求点到平面距离的必备工具.由n可知，要求得法向量n ,只需在平面 上找出两个不共线向量a、b ,最后通过解方程组a n 0得到n .bn 0例4、在直三棱柱ABC AB1C1中，底面是等腰直角三角形， ACB 90,侧棱AA1 2, D、E分别是CG与A,B的中点，点E在平面ABD上的射影是 ABD的重心G ,求直线AB与平面ABD所成角正弦值.x例 8.三棱柱 OAB 01ABi ,平面 OBB1O1 平面 OAB , O1OB 60 ,A0B 90且0B 001 2, 0A J3 ,求：二面角01 AB。的余弦值大小.B1z .01A1/2->X例

6、9.如图，在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD 中，ADBC , /ABC=90°,1 AD=-2求侧面SCD与面SBA所成的二面SA±W ABCD, SA=- , AB=BC=1 2角的余弦值大小。用向量解决距离问题两点A, B间距离| AB |由AB2AB AB可算出;22a b ,y若AB a b ,则由数量积得A若已知两点坐标，则可直接用两点间距离公式点P到直线AB的距离过点P作直线AB的垂线PD ,垂足为D ,则由PD AB且点A,B,D共线得PD?AB 0, AD AB ,解出D点后再求| PD |。例1、直角坐标系中的三点 A 0,1,V3 , B <3

7、,0,0C 0,2,0，求点A到直线BC的距离。解：过A作AH BC,垂足为H设BHBC, BC3,2,0二 BH3,2,0,2 ,0 ,则H点坐标为近3 ,2 ,0二 AH.33 ,21,0,33 ,又; AH? BC 0,52 3 3 c一,A AH ,-,4377 7AH24:7异面直线a、b的距离a EF 0可先设a、b的公垂线段EF ( E a、F b ),再由垂直向量性质得b EF 0从而得到E、F的坐标，最后算出所求EF例2、正方体ABCD A1B1C1D1的边长为1,求异面直线A1C、BD的距离?分析：从正方体条件得，运用坐标向量的方法较好建立直角坐标系，设EF是所求的公垂线，

8、令BEBD、AFkAC ,则 BE 1,1,0、E 的坐标为 1, ,0 ,同理 Fk,k,1 k ,再由 EF BD 0、EF A1C 0,算得12-> k 2最后算出EF、23EF这个方法不但能求出直线上的点的坐标，也能求出空间向量的表示式，是 向量运用中常用的一个小技巧.点P到平面的距离h先设平面 的斜线为PA A ，再求 的法向量n ,运用向量平移，不PA n难得至时t论“ h等于PA在法向量n上的射影PA2的绝对值”，即hn最后由此算出所求距离.例 3、正四棱柱 ABCD AB1C1D1, AB 1,AA1 2, E是CG的中点，求点D1到平面BDE的距离.分析：如图建立直角坐

9、标系，得各点坐标，设平面BDE的法向量为n (x, y, z),由n DEn DB0yz 0；令y 1,得法向量,1) 0D1E在n上的投影为D1E -n 生3, 点D1到平面BDE的距离为 也. n 33此类题目，是在立体几何学习中的必须解决的重点题和难题，传统的解题方法很多，也很复杂。运用平面法向量的知识，能直接算出所求距离，避免繁复的 逻辑推理。两平行平面，之间的距离由平行平面间的距离定义知道，平面上任意一点A到的距离就是到 的距离，因此，我们也可把 到 的距离转化为A到 的距离，运用求点与面距 离的方法来求。1、(2011年高考陕西卷理科 16)(本小题满分12分)如图：在 VABC中，ABC=60, BAC=90,AD是BC上的高，沿AD把VABD折起,底面使 BDC=90(I)证明：平面 ADB 平面BDC ;uur uur(n)设E为BC的中点，求AEfDB夹角的余弦值。2、(2011年高考北京卷理科 16)(本小题共14分)如图，在四棱锥 P ABCD中，PA 平面ABCD ,ABCD 是菱形，AB 2, BAD 60o.(I)求证：BD 平面PAC;(n )若PA AB,求PB与AC所成角的余弦值;(m)当平面 PBC与平面PDC垂直时，求PA的长.3、(2011年高考全国新课标卷理科18)(本小题满分1